Tài liệu Bài tập hình học 10 chương 1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I
n ttrieu.w
ordpress.com
1.1 Hãy tính số các vec tơ (khác −→
0 ) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau:
a) Hai điểm
b) Ba điểm
c) Bốn điểm
1.2 Cho hình vuông ABCD tâm O Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau (khác −→
0 ) nhận đỉnh
và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối
1.3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA Chứng minh: −−→
N P = −−→
M Q và−→
P Q =−−→
N M 1.4 Cho tam giác ABC Các điểm M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC So sánh độ dài của hai vec tơ −−→
N M và−→
BC Vì sao hai vec tơ đó cùng phương
1.5 Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D Chứng minh rằng nếu −→
AB =−−→
DC thì −→
AD =−→
BC
1.6 Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) −→
AB và −→
AC cùng hướng, |−→
AB| > |−→
AC|
b) −→
AB và −→
AC cùng hướng
c) −→
AB và −→
AC cùng phương,
1.7 Cho hình bình hành ABCD Dựng −−→
AM =−→
BA,−−→
M N =−→
DA,−−→
N P =−−→
DC,−→
P Q =−→
BC Chứng minh
−→
AQ =−→
0 1.8 Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh:
−→
EF = −−→
CD 1.9 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Điểm I là giao điểm của AM và BN , K là giao điểm của DM và CN Chứng minh:
−−→
AM =−−→
N C,−−→
DK =−→
N I 1.10 Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B0 là điểm đối xứng với B qua O Chứng minh
−−→
AH =−−→
B0C
Trang 22 Sử dụng tổng và hiệu hai vec tơ
2.1 Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD
a) Tìm tổng của hai vec tơ −−→
N C và−−→
M C; −−→
AM và−−→
CD; −→
AD và −−→
N C
b) Chứng minh: −−→
AM +−−→
AN =−→
AB +−→ AD
2.2 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Chứng minh
−→
OA +−→
OB +−→
OC +−−→
OD +−→
OE +−→
OF =−→
0 2.3 Cho tam giác ABC Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC
a) Tìm hiệu−−→
AM −−−→
AN ;−−→
M N −−−→
N C;−−→
M N −−−→
P N ;−→
BP −−→
CP b) Phân tích −−→
AM theo hai vec tơ −−→
M N và −−→
M P 2.4 Cho hình thoi ABCD có \BAD = 60◦ và cạnh là a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Tính |−→
AB +−→
AD|; |−→
BA −−→ BC|; |−→
OB −−−→
DC|
ĐS: |−→
AB +−→
AD = a√
3|; |−→
BA −−→ BC| = a√
3; |−→
OB −−−→
DC| = a
√ 3 2
2.5 Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo Hãy tính |−→
OA −
−→
CB|; |−→
AB +−−→
DC|; |−−→
CD −−→
DA|
ĐS: a
√ 2
2 ; 2a; a√
2 2.6 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng
−→
AD +−→
BE +−→
CF =−→
AE +−→
BF +−−→
CD
2.7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E Chứng minh rằng
−→
AC +−−→
DE −−−→
DC −−→
CE +−→
CB =−→
CB
2.8 Cho tam giác ABC Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có
−→
OA +−→
OB +−→
OC = −−→
OM +−−→
ON +−→
OP 2.9 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho
AE = EF = F C; BE cắt AM tại N Chứng minh−−→
N A và −−→
N M là hai vec tơ đối nhau
2.10 Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau a)−−→
M A −−−→
M B =−→
BA b) −−→
M A −−−→
M B =−→
AB c) −−→
M A +−−→
M B =−→
0 2.11 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu |−→
CA +−→ CB| = |−→
CA −−→ CB| thì tam giác ABC vuông tại C
2.12 Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh −→
AB +−→
BC +−−→
CD =−→
AE −−−→
DE
2.13 Cho 3 điểm O, A, B không thẳng hàng Với điều kiện nào thì vec tơ −→
OA +−→
OB nằm trên đường phân giác của [AOB ?
2.14 Cho 2 lực −→
F1 và −→
F2 có điểm đặt O và tạo với nhau góc 60◦ Tìm cường độ tổng hợp lực của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực −→
F1 và −→
F2 đều là 100 N
ĐS: 100√
3 N 2.15 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành Các đường thẳng này cắt AB và
DC lần lượt tại M và N , cắt AD và BC lần lượt tại E và F Chứng minh rằng
a)−→
OA +−→
OC = −→
OB +−−→
BD =−−→
M E +−−→
F N
Trang 33 Sử dụng tích vec tơ với số thực
3.1 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng
−→
AB +−→
AC +−→
AD = 2−→
AC 3.2 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích các vec tơ
−→
AB,−→
BC,−→
CA theo hai vec tơ −→u =−−→AK, −→v =−−→BM
3.3 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho−−→
M B = 3−−→
M C
Hãy phân tích vec tơ −−→
AM theo hai vec tơ −→u =−→AB, −→v =−→AC 3.4 Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM Chứng minh
rằng
a) 2−→
DA +−−→
DB +−−→
DC =−→
0 b) 2−→
OA +−→
OB +−→
OC = 4−−→
OD với O tùy ý
3.5 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Chứng
minh rằng
2−−→
M N = −→
AC +−−→
BD =−→
BC +−→ AD
3.6 Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm K sao cho
3−−→
KA + 2−−→
KB =−→
0 3.7 Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho
−−→
M A +−−→
M B + 2−−→
M C = −→
0 3.8 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, F A Chứng minh rằng hai tam giác M P R và N QS có cùng trọng tâm
3.9 Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác Gọi
D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, CA, AB Chứng minh rằng
−−→
M D +−−→
M E +−−→
M F = 3
2
−−→
M O
3.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt −→u =−→AE, −→v =−→AF Hãy phân tích các vec
tơ−→
AI,−→
AG,−→
AE,−−→
DC theo hai vec tơ −→u , −→v
ĐS: −→
AI = 12−→u +1
2
−
→v ;−→AG = 2
3
−
→u +2 3
−
→v ;−−→DE = −−→v ;−−→DC = −→u − −→v 3.11 Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC sao cho M B = 2M C Hãy phân tích vec tơ
−−→
AM theo hai vec tơ −→u =−→AB, −→v =−→AC.
ĐS: −−→
AM = 13−→u +2
3
−
→v 3.12 Cho 4ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh
AC sao cho AK = 1
3AC Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
ĐS: −−→
BK = 43−→
BI
3.13 Cho 4ABC Hai điểm M, N được xác định bởi −→
BC +−−→
M A =−→
0 ;−→
AB −−−→
N A − 3−→
AC =−→
0 Chứng minh M N k AC
ĐS: −−→
M N = 2−→
AC
Trang 43.14 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD Chứng minh rằng:
2−−→
M N =−→
AC +−−→
BD 3.15 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng
−→
AB + 2−→
AC +−→
AD = 3−→
AC 3.16 Chứng minh rằng nếu G và G0 lần lượt là trọng tâm của hai 4ABC và 4A0B0C0 thì
3−−→
GG0 =−−→
AA0+−−→
BB0+−−→
CC0 3.17 Cho 4ABC có D là trung điểm của BC Xác định vị trí của điểm G biết −→
AG = 2−−→
GD 3.18 Cho 2 điểm A và B Tìm điểm I sao cho −→
IA + 2−→
IB =−→
0 3.19 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho
−→
GA +−→
GB +−→
GC +−−→
GD =−→
0 3.20 Cho 4ABC và 4A0B0C0 Chứng minh nếu −−→
AA0 +−−→
BB0 +−−→
CC0 =−→
0 thì hai tam giác đó
có cùng trọng tâm
3.21 Cho hai vec tơ không cùng phương −→a và−→b Dựng các vec tơ a) 2−→a +−→b ; b) −→a − 2−→b c) −−→a + 1
2
−
→
b
3.22 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O và cạnh a
a) Phân tích −→
AD theo hai vec tơ −→
AB và −→
AF b) Tính độ dài của vec tơ 12−→
AB + 12−→
BC theo a
ĐS: a) −→
AD = 2−→
AB + 2−→
AF ; b) a
√ 3
2 3.23 Cho 4ABC có M là trung điểm của BC Phân tích −−→
AM theo −→
AB và −→
AC
ĐS:−−→
AM = 12−→
AB + 12−→
AC 3.24 Cho 4ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
N A = 2N C Gọi K là trung điểm của M N Phân tích −−→
AK theo −→
AB và −→
AC
ĐS: −−→
AK = 14−→
AB + 13−→
AC 3.25 Cho 4ABC Dựng −−→
AB0 =−→
BC,−−→
CA0 =−→
AB,−−→
BC0 =−→
CA
a) Chứng minh A là trung điểm của B0C0
b) Chứng minh các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy
3.26 Cho 4ABC Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = 14CA, J là điểm thỏa−→
BJ = 12−→
AC −23−→
AB a) Chứng minh −→
BI = 34−→
AC −−→
AB
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng
c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài
3.27 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh với M bất kỳ ta có
−−→
M A +−−→
M B +−−→
M C +−−→
M D = 4−−→
M O
3.28 Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh 4AN P và 4CM Q có cùng trọng tâm
3.29 Cho tứ giác ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh−→
AB +−−→
CD = 2−→
IJ 3.30 Cho 4ABC
Trang 5a) Tìm điểm K sao cho−−→
KA + 2−−→
KB =−→
CB
b) Tìm điểm M sao cho −−→
M A +−−→
M B + 2−−→
M C = −→
0 ĐS: a) K là trọng tâm của 4ABC; b) M là trung điểm IC với I là trung điểm AB 3.31 Cho 4ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh: −−→
HA +−−→
HD = 2−−→
HO;−−→
HA +−−→
HB +−−→
HC = 2−−→
HO; −→
OA +−→
OB +−→
OC = −−→
OH c) Gọi G là trọng tâm của 4ABC Chứng minh −−→
OH = 3−→
OG Từ đó có kết luận gì về 3 điểm
O, H, G
ĐS: c) O, H, G thẳng hàng
4.1 Trên trục (O; −→e ) cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ −4; 3; 5; −2.
a) Biểu diễn các điểm đã cho trên trục
b) Tính độ dài đại số của các vec tơ −→
AB,−−→
AM ,−−→
M N 4.2 Trên trục (O; −→e ) cho các điểm A, B, C tùy ý.
a) AB = AB nếu −→
AB cùng hướng với −→e b) AB = −AB nếu −→
AB ngược hướng với −→e c) AB + BC = AC
4.3 Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5 Chọn hệ trục tọa độ (A;−→
i ;−→
j ) trong đó−→
i và −→ AD cùng hướng, −→
j và −→
AB cùng hướng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm M của CD
4.4 Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, \BAD = 60◦ Chọn hệ trục tọa độ (A;−→
i ;−→
j ) sao cho −→
i và −→
AD cùng hướng Tìm tọa độ của các vec tơ
−→
AB,−→
BC,−−→
CD,−→
AC
4.5
4.6 Cho 4ABC Các điểm M (1; 0), N (2; 2), P (−1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
4.7 Cho hình bình hành ABCD có A(−1; 3), B(2; 4), C(0; 1) Tìm tọa độ đỉnh D
ĐS: D(−3; 0) 4.8 Cho ba điểm A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0) Chứng minh A, B, C thẳng hàng
4.9 Cho A(3; 4), B(2; 5) Tìm x để C(−7; x) thuộc đường thẳng AB
ĐS: x = 14 4.10 Cho A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3) Chứng minh AB k CD
4.11 Cho 4ABC có A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
ĐS: G(−1; 2) 4.12 Cho 4ABC có A(1; −1), B(5; −3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox Tìm tọa độ điểm C
ĐS: C(0; 4)
Trang 64.13 Cho A(−2; 1), B(4; 5) Tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành với
O là gốc tọa độ
ĐS: C(2; 6) 4.14 Viết tọa độ của các vec tơ sau:
−
→a = 2−→i + 5−→j ; −→b = 5
3
−
→
i − 5−→
j ; c = 3−→
i ; −→
d = −2−→
j 4.15 Viết vec tơ −→u dưới dạng −→u = x−→i +y−→j khi biết tọa độ của −→u là (−3; 2), (4; −1), (3; 0), (0; −2). 4.16 Cho −→a = (1; −3),−→b = (0; 2) Tìm tọa độ của các vec tơ −→x = −→a +−→b ; −→y = −→a −→−b ; −→z = 3−→a − 4−→b
4.17 Xét xem các cặp vec tơ sao có cùng phương không ? Trong trường hợp cùng phương thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng
a) −→a = (2; 3),−→b = (−10; −15) b) −→u = (0; 7), −→v = (0; 5)
c) −→m = (−2; 1), −→n = (−6; 3) d) −→c = (3; 4),−→d = (6; 9)
4.18
a) Cho A(−1; 8), B(1; 6), C(3; 4) Chứng minh A, B, C thẳng hàng
b) Cho A(1; 1), B(3; 2) và C(m + 4; 2m + 1) Tìm m để A, B, C thẳng hàng
4.19 Cho bốn điểm A(−2; −3), B(3; 7), C(0; 3), D(−4; −5) Chứng minh AB k CD
4.20 Cho 4ABC Các điểm M (1; 1), N (2; 3), P (0; −4) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
4.21 Cho hình bình hành ABCD Biết A(2; −3), B(4; 5), C(0; −1) Tìm tọa độ của đỉnh D 4.22 Cho 4ABC đều có cạnh a Chọn hệ tọa độ (O;−→
i ;−→
j ) trong đó O là trung điểm của cạnh
BC, −→
i cùng hướng với −→
OC,−→
j cùng hướng với −→
OA
a) Tính tọa độ của các đỉnh của 4ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của 4ABC
4.23 Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ tọa độ (O;−→
i ;−→
j ) trong đó O là tâm của lục giác đều, hai vec tơ −→
i và −−→
OD cùng hướng, −→
j và −→
EC cùng hướng Tính tọa độ các đỉnh của lục giác biết độ dài cạnh của lục giác là 6
5.1 Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD Nối AF và CE, hai đường này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N Chứng minh
−−→
DM =−−→
M N =−−→
N B
5.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng Dựng các vec tơ
−−→
EH và −→
F G bằng−→
AD Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành
5.3 Cho 4 điểm A, B, C, D Tìm các vec tơ
a) −→u =−→AB +−DC +−→ −−→BD +−→CA b) −→v =−→AB +−CD +−→ −BC + |vtDA.→
5.4 Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tùy ý Chứng minh rằng
−−→
M A + |vtM C +−−→
M E =−−→
M B +−−→
M D +−−→
M F
Trang 75.5 Cho 4ABC Tìm M thỏa mãn điều kiện −−→
M A −−−→
M B +−−→
M C =−→
0 5.6 Cho 4ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF =
F C, BE cắt trung tuyến AM tại N Tính −→
AE +−→
AF +−−→
AN +−−→
M N 5.7 Cho hai điểm A và B Điểm M thỏa mãn điều kiện |−−→
M A +−−→
M B| = |−−→
M A −−−→
M B| Chứng minh rằng OM = 12AB với O là trung điểm của AB
5.8 Cho 4ABC và M tùy ý Chứng minh −→v =−−→M A + vtM B − 2−−→M C không phụ thuộc vào vị trí của điểm M Hãy dựng điểm D sao cho −−→
CD = −→v 5.9 Cho 4ABC Gọi M, N, P là những điểm được xác định như sau
−−→
M B = 3−−→
M C,−−→
N C = 3−−→
N A,−→
P A = 3−→
P B a) Chứng minh 2−−→
OM = 3−→
OC −−→ OB
b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
5.10 Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD Hãy phân tích −→
AE theo hai vec tơ
−
→u =−AD, −→ →v =−→AB.
5.11 Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6 Chọn hệ tọa độ (O;−→
i ;−→
j ) sao cho −→
i
và −→
OC cùng hướng, −→
j và −→
OB cùng hướng
a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của 4ABC
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I’ của I qua tâm O Chứng minh A, I’, D thẳng hàng
d) Tìm tọa độ của các vec tơ −→
AC,−−→
BD,−→ BC