Đề thi học sinh giỏi toán 6

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA, AB.. Vẽ tia Oy' là tia đối của tia Oy.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A = (1+

1

3).(1+

1

8).(1+

1

15) (1+

1

2499)

2) Tính nhanh B =

3 9 27 : 7 49 343

3 9 27 7 49 343

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Tìm x, biết:

x 1.2 2.3 3.4 8.9 45

2) So sánh: E =

99 100

2018 1

2018 1



 và F =

98 99

2018 1

2018 1





Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm số tự nhiên x, y biết 5x + 11y = 26

2) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0 ), biết ab ba là số chính phương

Câu 4: (3,0 điểm)

1) Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 6cm, OB =10cm Gọi E, F lần lượt

là trung điểm của OA, AB Tính độ dài đoạn thẳng EF

2) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy = 500;

xOz = 1000 Vẽ tia Oy' là tia đối của tia Oy Tính số đo y Oz,

3) Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng Qua hai điểm

ta kẻ một đường thẳng Tính số đường thẳng kẻ được

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số Tìm giá trị lớn nhất của 1918

abc A

a b c

-

Hết -Họ và tên học sinh:………Số báo danh:……… Giám thị 1:……… Giám thị 2:………

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI ĐỀ THI HSG MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút

điểm

1

1

A = (1+

1

3).(1+

1

8).(1+

1

15)……… (1+

1

2499)

A =

4 9 16 2500

3 8 15 2499

=

2.2 3.3 4.4 50.50

1.3 2.4 3.5 49.51

A =

2.3.4 50 2.3.4 50

1.2.3 49 3.4.5 51

=

50 2 100

1 51 51 Vậy A=

100 51

0,25 0,25 0,25 0,25

2

B =

3 9 27 : 7 49 343

3 9 27 7 49 343

B =

3 9 27 : 7 49 343

B =

: 4

2 8 Vậy B =

1 8

0,50

0,25 0,25

2

1

x 1.2 2.3 3.4 8.9 45

x

        

.x

8 23 x

9 45

23 8 23

45 9 40

Vậy

23 x 40



0,25 0,25 0,25 0,25

Ta có E =

99

100

2018 1

2018 1



  2018.E =

100

100

2018 2018

2018 1





 2018.E = 1- 100

2017

2018  1

F =

99 99

2018 1

2018 1



  2018.F =

99 99

2018 2018

2018 1



  2018.F = 1- 99

2017

2018  1

Vì 100

2017

2018  1< 99

2017

2018  1  1 - 100

2017

2018  1> 1- 99

2017

2018  1 hay 2018 E > 2018 F  E > F

Vậy E > F

0,25 0,25

0,25 0,25

3

1

+ Với y = 2, ta có 112 = 121 > 26  y = 2 không thỏa mãn

Do y là số tự nhiên nên y 0;1

+ Với y = 1, ta có 5x +11 = 26 5x = 15 vì x là số tự nhiên

 không có giá trị nào của x thỏa mãn 5x = 15 y =1

không thỏa mãn

+ Với y = 0 ta có 5x + 1 = 26 5x = 25 = 52 nên x = 2 (thỏa

mãn)

Vậy x = 2; y = 0

0,25 0,25 0,25 0,25

2

Ta có ab ba 9.(a b )

Do a, b là các chữ số, ablà số nguyên tố, nên 3  b

 9.(a - b) là số chính phương khi a - b1;4

+ Với a - b =1 mà ab là số nguyên tố  ta được số ab = 43

+ Với a - b = 4 mà ab là số nguyên tố  ta được số ab = 73

Vậy ab 43;73

0,25

0,25 0,25 0,25

O

Vì hai điểm A,B cùng nằm trên tia Ox mà OA<OB

( 6 cm < 10 cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B

OA+AB =OB

Thay số 6 + AB = 10  AB=4 cm.Vậy AB= 4cm

Vì E là trung điểm của OA nên EA = 2

OA

Thay số EA = 6 : 2 = 3 cm

F là trung điểm của AB nên AF = 2

AB

Thay số AF = 4 : 2 = 2 cm

Do A nằm giữa O và B, mà E là trung điểm của OA, F là

trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F 

EF = EA + AF = 3+2 = 5cm.Vậy EF = 5cm

0,25

0,25

0,25 0,25

2

y'

z

y

x O

Vì hai tia Ox, Oy cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia

Ox, mà

xOy < xOz nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz

 xOy+ yOz=xOz Thay số 500 +yOz = 1000  yOz= 500

Do tia Oy' là tia đối của tia Oy  y Oz, , yOzlà hai góc kề bù

 y Oz, +yOz= 1800 Thay số:y Oz, + 500=1800  y Oz, = 1300

Vậy y Oz, = 1300

0,25

0,25 0,25

0,25

3

Giả sử trong 2018 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng

Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường

thẳng

Làm như vậy với 2018 điểm ta được 2018 2017 = 4 070 306

đường thẳng

Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng

kẻ được là: 2 035 153 đường thẳng

Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3;

Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân biệt hẳng hàng là l;

Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm

phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là: 3 - 1= 2

Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng

hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ được kẻ được là:

2 035 153 - 2 = 2 035 151

Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng

t

0,25 0,25

0,25

0,25

5

100 10

A

+ Nếu b = c = 0 thì A = 100 + 1918 = 2018

+ Nếu b hoặc c khác 0 thì

100 100 100

1918 100 1918 2018

A

a b c

  Nên A 2018

Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a 1; 2; ;9 ; b = c = 0

0,25 0,25

0,25 0,25

* Chú ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa