ỨNG DỤNG HÌNH học của TÍCH PHÂN BT muc do 3

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị yx và y x 2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể xung quanh trục Oy... Tìm giá trị lớn nhấtcủa diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P và

Câu 1. Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx2 4x3 , y x 3 (phần tô đậm trong

Câu 2. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y8x,

yx và đồ thị hàm số y x 3 là phân số tối giản a

x y

Khi đó a b 67.

Câu 3. Cho hàm số yf x  có đồ thị yf x  cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a , b , c như

hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

yf x ax bx cx d a b c d  a có đồ thị là  C Biết rằng đồ thị  C đi qua

gốc tọa độ và đồ thị hàm số yf x'( ) cho bởi hình vẽ bên Tính giá trị H f(4) f(2)?

Lời giải

Theo bài ra yf x( )ax3bx2cx d a b c d , , , ,a0 do đó yf x  là hàm bậc hai

có dạng yf x a x 2b x c  

Dựa vào đồ thị ta có:

1

44

a b c

3 1 dx 58

4 4



3



Câu 7. Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A, Bsao cho AB là một đường

kính của đường tròn O2;3 Gọi  D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài

đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ) Quay  D quanh trục O O ta được một1 2khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y 9 x2 , trục Ox, x 0, x 3.

Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình2

H xung quanh trục 2 Ox trừ đi thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 1 H 1

xung quanh trục Ox

2

1 4

0d

1

2 0

3

x x

Câu 8. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng

cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB 5cm, OH 4

cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

A 160 2

cm

2140cm

214cm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   16 2 16

3

S  S  cm 2

Diện tích của hình vuông là: S  hv 100 cm2.

Câu 9. Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là

10cm đang đựng một lượng nước Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc

nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy

x O

h

A

α α

S(x)

Câu 10. Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x   1 x 1 thì được thiết diện là một tam giácđều Tính thể tích V của vật thể đó

3

Lời giải

Tại vị trí có hoành độ x   1 x 1 thì tam giác thiết diện có cạnh là 2 1 x 2

Do đó tam giác thiết diện có diện tích    22 3

4 12

2 44

1248

x x

Vậy:

2 3 3

Câu 12. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  7t m/s Đi được  5 s người lái xe

phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc70

a  m/s2 Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khidừng hẳn?

 

Câu 14. Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ bên Đặt    

2;6max

Gọi S , 1 S , 2 S , 3 S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 yf x  với

Câu 16. Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 và đường thẳng y mx với m 0

Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m để diện tích hình phẳng  H là số nhỏ hơn 20



Theo đề bài: S 20

3206

m

   m3120 m4.9324

Do m là số nguyên dương nên m 1;2;3; 4

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.

Câu 17. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị yx và y x 2 quay quanh trục tung tạo nên một vật thể

xung quanh trục Oy

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:

1 2 0

d

V y y y  

1

2 0

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của đường tròn x2y2 1 làphần tô màu vàng như hình vẽ.

Diện tích hình phẳng trên là:  

1

2 0

02

2

x  t

1

2 1





2 2 0cos dt t

t t







2 0

1 sin 2

t t

e dx

I x x.Đặt

* Xét tích phân

1 1 0

x x

x

x x

Câu 21. Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị hàm số  yf x 

trên đoạn 0;5 được cho như hình bên.

Câu 22. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có

chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên)

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A 800cm 2 B 800 2

cm

2400cm

2250cm

Lời giải

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10cm1dm), các cánh hoa tạo bởi cácđường parabol có phương trình

22

x

y  ,

22

x

y  ,

22

y

x  ,

22

y

x  Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạnbởi hai đồ thị hàm số

22

Câu 23. Cho hàm số yf x ax3bx2cx d , a b c d, , , ,a0 có đồ thị là C Biết rằng đồ

thị  C đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số yf x  cho bởi hình vẽ

x

024

x x x

x x

A V 1,52m3 B V 1,31m3 C V 1, 27m3 D V 1,19m3

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

x y

B'

A A'

Gọi S là diện tích của Elip ta có 1 1

1 2

2 5 5

S ab  Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng 2 MN

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên

ta có phương trình của đường thẳng MN là 1

4

1d4

Thể tích của dầu trong thùng là 3 3 1,52

Từ đồ thị ta có phương trình của parabol là y x 2 4x3

Parabol  P cắt Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x 1, x 3

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P với trục hoành ta có

3 2 1

4 3 d

3 2 1

4 3 d

3 3



Câu 27. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x= y, y=- +x 2

và x = quay quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây ?0

ïï =- +íï

ï =ïïïî

( )

20

y x x

x

ìï = ³ïï

ïï

Û íï =- +

ï =ïïïî

Phương trình hoành độ giao điểm : x2=- +x 2 Û x2+ -x 2 0= ( )

( )

12

é =ê

Û ê

êThể tích vật tròn xoay sinh ra khi hình ( )H quay quanh trục Ox là :

=-( ) ( )

1

2

2 20

Câu 28. Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 3 2

2

y x và nửa đường elip có phương trình

21

42

y  x ( với 2 x 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Gọi S là diện tích

2 1

a b c

Câu 29. Cho parabol  P : y x 22 và hai tiếp tuyến của  P tại các điểm M  1;3 và N2;6.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và hai tiếp tuyến đó bằng

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại M  1;3 là d y1: 2x1

Phương trình tiếp tuyến tại N2;6 là d2:y4x 2

Phương trình hoành độ giao điểm của d và 1 d : 2 2x 1 4x 2 1

Lời giải

Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau:

Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ; y  ; 0 x 0; x 1

Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối tròn xoay có thể tích

1

0 0

x

V x x  Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x; y  ; 0 x 1; x 2

Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích

3

2 2

1 1

Lời giải

Hình phẳng đã cho được chia làm 2 phần sau:

Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ; y  ; 0 x 0; x 1

Khi quay trục Ox phần 1 ta được khối tròn xoay có thể tích

1

0 0

x

V x x  Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x; y  ; 0 x 1; x 2

Khi quay trục Ox phần 2 ta được khối tròn xoay có thể tích

3

2 2

1 1

V V V   

Câu 32. Cho parabol  P y x:  2 và hai điểm A, B thuộc  P sao cho AB 2 Tìm giá trị lớn nhất

của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P và đường thẳng AB

B b b là hai điểm thuộc  P sao cho AB 2

Không mất tính tổng quát giả sử a b

Theo giả thiết ta có AB 2 nên b a 2b2 a22 4b a  2 b a 21 4

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là yb a x ab  

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P và đường thẳng AB ta có

D

Lời giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là

2

1 e

lnd

Câu 34. Cho hình thang cong  H giới hạn bởi các đường y  , ex y  , 0 x 0, x ln 8 Đường thẳng

x k 0kln 8 chia  H thành hai phần có diện tích là S và 1 S Tìm 2 k để S1S2

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.

Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax 2c

Vì  P đi qua đỉnh I0;12,5 nên ta có c 12,5

 P cắt trục hoành tại hai điểm A  4;0 và B4;0 nên ta có 0 16a c  25

25

12,532

Ta có parabol đã cho có chiều cao là h12,5m và bán kính đáy OD OE 4m

Do đó diện tích parabol đã cho là: 4 200 2

Câu 36. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x  ax3bx2 , cácc

đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây



Câu 38. Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn

 C x: 2y 32 1 xung quanh trục hoành là

Câu 39 [HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y x và tiếp tuyến với đồ thị tại M4, 2 và trục hoành là

Câu 40 [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho  H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ

và được giới hạn bởi các đường có phương trình 10 2

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số yx và y x  2 là:  x x  2 x1.

v t t t , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu

chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳngcùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng am s2 (a là hằng

số) Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

bằng

A 22m s  B 15m s  C 10m s  D 7m s 

Lời giải

+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm

B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây

+) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng v t B  a t at Cd   , lại có v B 0 0 nên

v t  t  t m/s , trong đó  t là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu

chuyển động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳngcùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng am/s2 (a là hằng

số) Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

bằng

A 25 m/s   B 15 m/s   C 9 m/s   D 42 m/s  

Lời giải

Khi B đuổi kịp A tức là A đã chuyển động được 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát và

A chuyển động được quãng đường bằng

2 0

Vì B chuyển động với gia tốc bằng am/s2 nên vận tốc của B là v t  at C

Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t10;v 0 c10a

Vận tốc chất điểm B tại thời điểm t là v t  at10 (m/s)a

Quãng đường chất điểm B đi được trong 15(s) kể từ khi bắt đầu xuất phát là

Câu 43. Cho hai hàm số f x  a x2 b x2 c x 2 và g x  dx2 e x2 (a, b, c, d, e  ) Biết

rằng đồ thị của hàm số yf x  và yg x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2

6

x x x x

Câu 44. Cho hai hàm số   3 2 3

4

f x ax bx cx và   2 3

4

g x dx ex , a b c d e   Biết rằng, , , , 

đồ thị của hàm số yf x  và y g x   cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2 ; 1;

3 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A S 6 B S  5 C S 5 D S 6.

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có      

4 1 2

S   f x dx f  f  ,      

5 2 4

1

x x

Suy ra

1

2 1

V x e dx =

2 2 1 1

= x e x 21 e x 21 = e2

Câu 48. Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y x2, y x 2, x Tính thể tích 1 V của

vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng  H quanh trục hoành.

Câu 49. Cho hàm số y x 2 2x có đồ thị  P Các tiếp tuyến với đồ thị tại O0;0 và tại A3;3cắt

nhau tại B Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA của  P và hai tiếp tuyến BO,

Tiếp tuyến tại O0;0là OB y: y  0 x 00  y2x

Tiếp tuyến tại A3;3 là AB y: y  3 x 33  y4x 9; 3; 3

3 0

2

Sx xx  x x  9 98 894(đvdt)

Câu 50. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x0, x3 biết rằng thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x0 x 3 là hình chữ nhật có

V x  x x 18(đvtt)

Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x , đường thẳng y 2 x và trục hoành.

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục Ox bằng

Câu 52. Cho hình thang ABCD có AB song song CD và AB AD BC a CD   , 2a Tính thể tích

khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB

A 5 3

35

a A 

Cách 2: Thể tích khối tròn xoay được tạo ra theo đề bài là thể tích khối trụ có chiều cao 2a bánkính đáy bằng 3





  x1.Diện tích hình phẳng cần tìm:

1

0

11

Câu 54. Cho hình ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 3

9

y x , cung tròn có phương trình y 4 x2(với 0 x 2)và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành là

2 3

Câu 55. Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường  y x , y 2 x , trục Oy Quay  H quanh

trục Ox Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

x Vậy thể tích V của khối tròn xoay tạo thành là:

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và

x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm cóhoành độ x0 x  là một tam giác đều cạnh 2 sin x

x x



 

4 0

1sin 2

C y x  x và tiếp tuyến của

đồ thị  C tại điểm có hoành độ x 1

y x x  k y' 1  9.

0 1 0 4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm có hoành độ x 1 là: y9x5.

Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 9x5 1

3 2 1



Câu 62. Cho vật thể  T giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0, x 1 Cắt vật thể đó bởi mặt phẳng vuông

góc với trục Ox tại x, với 0 x 1, người ta được thiết diện là hình vuông có cạnh bằng2

03

x x

  

23



Câu 63. Cho hình phẳng giới hạn bởi Elip

2

2 14

x y

2 1

Câu 64. Cho hình  H giới hạn bởi trục hoành, một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc Parabol đó

tại điểm A2;4 (như hình vẽ bên dưới)

x y

Câu 65. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x x 2 và trục Ox Tính thể tích V

của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox

a t t t Tính quảng đường L vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

h t là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ

tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là 1 3

500

h t  t và lúc đầu hồ bơi không có

nước Hỏi sau bao lâu thì bơm được số nước bằng 3

4độ sâu của hồ bơi (làm tròn đến giây)?

A 2 giờ 36 giây B 2 giờ 34 giây C 2 giờ 35 giây D 2 giờ 36 giây

Lời giải

Gọi x là thời điểm bơm được số nước bằng 3

4 độ sâu của bể ( x tính bằng giây ).

Ta có: 3

0

1

3d 210500

2 1

.2 .1

+V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay 2 H1: 2

4

x

y  , y  , 0 x 2, x 4quanh trục Ox

2

4 2 2

2

62d

Câu 69. Kí hiệu S S S lần lượt là diện tích hình vuông có cạnh là 1, ,2 3 1, hình tròn có bán kính bằng 1,

hình phẳng giới hạn bởi hai đường y2 1 x y2, 2 1  x Tính tỉ số 1 3

2

S



A 1 3

2

15

Tiếp tuyến tại A1;7 có phương trình: y2.1 6  x17 hay y4x11 d1 .

Tiếp tuyến tại B  1;19 có phương trình: y2 1  6 x1 19 hay y8x11d2.

Phương trình hoành độ giao điểm của d d là 1, 2 4x118x11  x0

  (đvtt)

Câu 72. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t là thể tích nước bơm được sau   t giây.

Cho h t  6at22bt và ban đầu bể không có nước Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là3

90m , sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 504m Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm3được 9 giây

a b





 

