Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại góc tọa độ O.. Viết phương trình tiếp t[r]
Trang 1CÁC
A HÀM BA VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 2
, làm tâm !"
Có 2 cực trị
CT
CĐ
M
M'
U
CT
CĐ
M
M'
U
Không có cực trị
M
M'
U
M
M' U
I Tính "# "$%&
1) Hàm "x Ỵ ¡ Û y'= 3ax2+ 2bx+ c³ 0 "x Ỵ ¡ Û
'
0 0
y
a
ìï >
ï í
ï D £ ïỵ Hàm "x Ỵ ¡ Û y'= 3ax2+ 2bx+ c£ 0 "x Ỵ ¡ Û
'
0 0
y
a
ìï <
ï í
ï D £ ïỵ
2) Cho D là )'*" '+ , )'*" trên :¡ (- ¥ ,a), (b,+ ¥ ), ( )a b,
Hàm Û y'= 3ax2+ 2bx +c³ 0 "x Ỵ D
Û m³ g x( )"x Ỵ D Û max ( )
x D
Ỵ
³ ( )
m£ g x "x Ỵ D Û min ( )
x D
Ỵ
£
Trang 2II '( )*+
1) Tính nhanh ('( )*+-
Chia y cho y’ ta 38 / y = y p x' ( )+ Ax+ B
9% (x y0; 0) là : - thì y0 = y x p x'( ) ( )0 0 + Ax0+ B = Ax0+ B
<3=" trình 3>" ?" qua hai : - là :d y = Ax+ B
2) Hàm 01 23( ba không có ('( )*+8 !9:( có hai ('( )*+
Hàm $ không có : - Û Dy' £ 0
Hàm $ có : - (có hai : - Û Dy' > 0
3) Hàm $ có : - sao cho hoành B C : 6 D = hoành B C : 0
0
a
ìï > ï
Û í
ï D > ïî Hàm $ có : - sao cho hoành B C : 6 E = hoành B C : 0
0
a
ìï <
ï
Û í
ï D > ïî
4) Hàm $ 6 : - 6 x = x0 Û y x'( )0 = 0
Hàm $ 6 : 6 6 x = x0 Û ( )
( )
0 0
y x
ïï í
ïïî Hàm $ 6 : 6 x = x0Û ( )
( )
0
0
y x
ïï í
ïïî
5) Hàm $ 6 : - 6 , sao chox1 x2
a) x1< x2< 0 : - có hoành B âm), 0< x1< x2
1 0 2
x < < x
x < a < x x1< x2 < a a < x1< x2
1
3
b
a
3
c
x x
a
=
6) Trung "$;/ (<, hai ('( )*+ )!&=( )*>( Ox
Û
!" C B Ox B -K Ox
Hướng dẫn:
0 0
a
ìï ¹ ï í
ï D >
ïî Trung C hai : - , , này B Ox khi
y
b y a
æ ö÷
ç- ÷=
ç
7) Có hai : - !" nhau qua I x y( 0; 0) ( hai : - cách 5 I )
là trung C hai : -
Û I x y( 0; 0)
Hướng dẫn:
0 0
a
ìï ¹ ï í
ï D >
ïî
là trung C hai : - khi: và ( ; )
yæççç- ö÷÷÷= y
Trang 38) Hàm 01 có hai "$;/ ('( )*+ @/ AB hai phía (<, )*>( Ox
Hướng dẫn:
Hàm $ có hai : - khi 0
0
a
ìï ¹ ï í
ï D >
ïî
hai : - H 45 hai phía C -K Ox thì y x y x( ) ( )1 2 < 0
Trong 2 , là "Q C I3=" trình x1 x2 y'= 3ax2+ 2bx + c= 0
! là 1 2 2 ,
3
b
a
3
c
x x
a
= Chú ý: y1= y x p x'( ) ( )1 1 + Ax1+ B = Ax1+ B
( ) ( )
9) Hàm 01 có hai "$;/ ('( )*+ @/ AB /=) phía (<, )*>( Ox Û
( ) ( )1 2
0 0
0
a
y x y x
ìï ¹ ïï
ïï D >
í ïï
ïïî
10) Hàm 01 có hai "$;/ ('( )*+ @/ phía trên (<, )*>( Ox Û
( ) ( )
1 2
0 0
0 0
a
y x y x
ìï ¹ ïï
ï D >
ïï í
ïï
ïïî
11) Hàm 01 có hai "$;/ ('( )*+ @/ phía trên (<, )*>( Ox Û
( ) ( )
1 2
0 0
0 0
a
y x y x
ìï ¹ ïï
ï D >
ïï í
ïï
ïïî
x1
x2 y(x2)
y(x1)
O
x1 x2 y(x2)
y(x1)
O
x1 x2
y(x2)
y(x1) O
x1 x2 y(x2)
y(x1)
O
x1 x2
y(x2)
y(x1)
O
Trang 4III ' )E# 6 giao.
1) H )!+ hàm 01 (I) Ox )J$ 3 "$;/ phân 2$%) M)N( C!E# 6 trình y = 0 có 3 6!$%/ pb)
Hàm $ có hai : - H 45 hai phía C -K Ox
Û
Û
( ) ( )1 2
0 0
0
a
y x y x
ìï ¹
ïï
ïï D >
í
ïï
ïïî
Chú ý:
0
Thì I3=" trình y = 0 có 3 "Q pb Û Ax2+ Bx+C = 0có 2 x0
2) (C) (I) Ox )J$ 3 "$;/ phân 2$%) cách "B& nhau
Trung C hai : - B -K Ox
3
b y a
æ ö÷
ç- ÷=
ç
3) H )!+ hàm 01 (I) Ox )J$ /=) "$;/
Hàm $ có hai : - H 45 B phía C -K Ox '+ không có : -
Û
'+
Û
( ) ( )1 2
0 0
0
a
y x y x
ìï ¹
ïï
ïï D >
í
ïï
ïïî
0 0
a
ìï ¹ ï í
ï D £ ïî
Chú ý:
0
4) EX 6 )!Y 6 d qua M x y( 0; 0) ( )Î C có !% 01 góc k (I) ( )C )J$ 3 "$;/ phân 2$%)
Hướng dẫn:
3>" ?" d có I3=" trình d y: = k x( - x0)+ y0
có 2 ( ), 0
( )0
0 0 0
g g a
g x
ìï ¹
ïï
ïï
Û íD >
ïï
ïïî
Trang 5BÀI \
Tính "# "$%&
1) Tìm m
y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – 1 ^/ 2 1
2) Tìm m
3
2
£ 3) Tìm m các hàm $ /
'( )*+
1) Xác m hàm $ có & và CT : y = x3 + mx2 + 3mx + 5
Đáp số: m < 0, m > 9
2) c#dNe f1 Tìm m hàm $ không có : - y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x – 1
Đáp số: 0 m 1/4
3) c# # % D_97] Cho hàm $ y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – 6
LE giá - nào C m thì hàm $ 6 & 6 x = 1
Đáp số: m = 1
4) Cao Y 6 2009 !1$ A, B, D
Cho hàm $ y = x3- (2m- 1)x2 +(2- m x) + 2 (1)
1
2 Tìm các giá - C m hàm $ (1) có : 60 : và các : - C hàm $ (1) có hoành
3
m m x m x
m x
5 )Q - 1< x1< x2
-< < -6) c#lm TPHCM A_01] Cho hàm $ y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + 11 – 3m
Tìm m hàm $ có & và CT oI PT 3>" ?" qua & và CT
Đáp số: m 3, y = -(m - 3)2x + 11 – 3m
7) Tìm m hàm $ f(x)x3 mx2 7x3 có 3>" ?" qua : 6 và : vuông góc 4E 3>" ?" y x3 7
2
8) Cho hàm $ y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m
Xác m hàm $ có & và CT
CMR khi 2 3>" ?" &0 CT luôn qua B
Đáp số: m < 0, m > 1; y = 2(m - 1)x + (10 - m), A(-1/2; 3)
3
3 9) c6 r 9s"0 2000] Cho hàm $ 3 2 2 Xác m
C hàm $ có hai : 6 và : H 45 hai phía C -K tung
Đáp số:1 £ m £ 2
10) c6 r l gia Hà 9B0 1997] Cho hàm $ 3 2 (a là tham $ 1 LE t"
yx ax x
giá - nào C a thì C hàm $ có : 60 : 0 các này cách 5 -K tung
Đáp số: a0
Trang 611) Cho hàm $ 3 2 m hàm $ có : 6 và : " >
hai giá
12) Cho hàm $ y = 4x3 – mx2 – 3x + m
CMR m hàm
Đáp số: x&.xCT = -1/4 < 0
13) J$ ^( 2007 !1$ B
-1
2 Tìm các giá - C m hàm $ (1) có : 60 : và các : - C hàm $ (1) cách 5 góc r B O
14) Cho hàm $ y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – 1
Tìm m hàm $ 6 &0 CT 6 x1, x2 và x1+ x2 = 2
Đáp số: m = -1
1 3
Tìm m hàm $ có )'*" cách ", hai : - là D G1
Đáp số:m = 0
16) c# # % A_01] Xác m hàm $ y = x3- 3mx2 + m3 có các &0 CT !" nhau
2
1 2 qua 3>" ?" y = x
Đáp số: m 0 (có &0 CT), m = 2
' )E# 6 giao
Tìm m
2< m ¹ 2) c#NR 98] Cho hàm $ y = x3+ 3x2+ 1, 3>" ?" d qua A(- 3;1)và có
Xác
Đáp số:0< k¹ 9
3) J$ ^( 2006 !1$ D
Cho hàm $ y = x3- 3x+ 2
1
2 mr d là 3>" ?" qua A(3;20) và có Q $ góc là m, tìm m 3>" ?" d Z
4 < m ¹
4) J$ ^( 2008 !1$ D
Cho hàm $ y = x3- 3x2 + 4 (1)
1
2 &!" minh -H" r 3>" ?" qua I ( )1;2 4E Q $ góc k ( k > - 3) 5 Z hàm
Trang 7B HÀM 4 VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN.
0
y = ax + bx + c a ¹
-K Oy làm -K !"
Có 3 cực trị
y
CĐ M'
CT CT
Có 1 cực trị
M'
CT
M
CĐ
M' M
I '( )*+
,
3
y = ax + bx y' = 0 Û 4ax3+ 2bx = 0
x
é = ê
ê
Û
2
(2) 2
x
b x
a
é = ê ê
ê = -ê 1) Tính nhanh : - và parabol qua ba : -
Chia y cho y’ ta 38 /
'
9% (x y0; 0)là : - thì 2
L 3>" cong qua các : - là parabol 2
2) Hàm $ cĩ 1 : - '+ cĩ 3 : -
Hàm $ cĩ B : - Û 0
2
b a
Trang 8 Hàm $ có ba : - Û 0
2
b a
- >
3) Hàm $ có : không có : 6
là parabol quay lên
Û
Û
0 0 2
a
b a
ìï >
ïïï
í
ïïïî
4) Hàm $ có : 6 không có :
là parabol quay "
Û
Û
0 0 2
a
b a
ìï <
ïïï
í
ïïïî
5) Hàm $ có hai : 0 B : 6 Û 0
0 2
a b a
ìï >
ïïï í
ï - >
ïïïî
6) Hàm $ có hai : 60 B : Û 0
0 2
a b a
ìï <
ïïï í
ï - >
ïïïî
II E )E# 6 giao.
^ giao C và -K Ox là $ "Q C I3=" trình ax4+bx2+ c= 0 (1)
+ t = x2 ³ 0, khi 2 I3=" trình (1) 3=" 3="/ at2+ bt + c= 0 (2)
Ta G w "Q t > 0 C I3=" trình (2) cho ta hai "Q x = ± t C I3=" trình (1)
1) H )!+ (I) Ox )J$ 4 "$;/ phân 2$%)
(1) có 4
(2) có 2
2) H )!+ (I) Ox )J$ 2 "$;/
(1) có 2 "Q
Û
(2) có 1
Û
1 2
0
0 2
b
a
é < <
ê
ê
Û
ê = = - >
ê
3) H )!+ (I) Ox )J$ 3 "$;/
(1) có 3 "Q
Û
(2) có 1
Û
1 2
Û = <
4) H )!+ (I) Ox )J$ 1 "$;/
(1) có 1 "Q
Û
(2) có 1
Û
1 2
1 2
0
0 2
b
a
é < =
ê
ê
Û
ê
5) H )!+ không (I) Ox
(1) không có "Q
Û
Trang 9(2) vô "Q '+ có hai "Q âm
Û
1 2
0 0
éD <
ê
Û ê < <
ê
6) H )!+ (I) Ox )J$ 21 "$;/ b3C thành (cC 01 (= 6
Û 0< t1< t2 - t2 < - t1 < t1 < t2
RO 2 - t2 + t1 = - 2 t1 Û t2 = 3 t1
m* Q I3=" trình:
1 2
1 2
9
b
a c
t t a
ìï
ïï ïï
-í ïï ïï
ïïî
Trang 10BÀI \
1) J$ !^( (d ! sát 2000
Tìm m hàm $ 1 4 2 3 x có : mà không có : 61
Đáp số:
2) J$ !^( 4$e trúc 1999
Tìm k hàm $ 4 ( ) 2 x có B : -1
Đáp số: k£ 0 '+ k ³ 1
3) J$ ^( 2002 !1$ B
1
2 Tìm m hàm $ (1) có ba : -1
4) HVQHQT 1997
Xác m hàm $ y = x4- 2mx2+ 2m+ m4 có : 6 : I thành tam giác 5 1
3
5) ' 2+ 2004
Cho hàm $ y = x4 - 2m2x2 + 1
1 N*' sát và 4j 4E m=1
2 Tìm m hàm $ có 3 : - là 3 x C B tam giác vuông cân
Đáp số:
6) \ II 1997
Cho hàm $ y= (1-m) x4-mx3 +2m-1
Tìm m
Đáp số:
' )E# 6 giao
1) Z' 2+URRU
Cho hàm $ y=x4 –mx2+ m -1
1 N*' sát và 4j hàm $ khi m=8
2 Tìm m
Đáp số:
2) Cho ( )C m :y = x4- 2(m+1)x2+ 2m+ 1 Tìm m ( )C m
thành GI $ B"1
Đáp số: m = 4 '+ 4
9
m =
-3) J$ ^( 2009 !1$ D
Cho hàm $ y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có là (Cm), m là tham $ 1
1
2 Tìm m 3>" ?" y = -1 Z (Cm)
Đáp số:
4) TPHCM 1996
Cho Cm : y= x4 -2 m x2 + m3-m2
1 N*' sát và 4j hàm $ !" 4E m = 1
2 Tìm m
Đáp số:
5) &e 2000
1 N*' sát và 4j C hàm $ y= x4-5x2+4
2 Tìm m
Đáp số:
Trang 11C HÀM f VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
ax b
y
cx d
y
+
!" qua giao I C hai Q
M' N'
I
M
M'
I
M
N
I Tính "# "$%&
Hàm
gọi là hàm nhất biến.
y 9% ad- bc> 0 hàm
y 9% ad- bc< 0 hàm
II $%/ (3
1) RQ !" x d, Q ngang
c
y c
=
III Tích (!c) (<, )$eC )&Pe
1) 9% M B (C), %I % 6 M Z hai 3>" Q 6 A và B thì:
y M là trung C AB
y Tam giác MAB có
2) 9% M B B trong hai 3>" Q thì qua M x ){ 38 B %I % 4E (C)
IV ' )E# 6 giao.
Giao C C :y ax b và 3>" ?"
cx d
Xét I3=" trình ax b kx m
+
+ Û ax +b= (kx+ m cx)( +d) (x c 5 không là "Q C 2 I3=" trình trên)
d
=
-()
Û Ax2+ Bx+C = 0
y (C) Z d 6 1 Û () có 1 "Q1
y (C) không Z d Û () vô "Q1
V $;/ ":) 2$%)
Hai B hai nhánh sao cho )'*" cách "t hai 2 là "Z G
Trang 12BÀI \.
1
x y x
-= + a) N*' sát và 4j (C)
b)
không w1
c)
B thì M là trung
d) N là B Q !"0 !" minh -H" qua N x ){ 38 B %I % 4E (C)
1
x y x
+
= + a) N*' sát và 4j (C) C hàm $ k cho
b) &!" minh (C) luôn Z d y: = 2x+ m 6 hai A, B xác m AB "Z G1 c) Tìm hai M, N B hai nhánh C (C) sao cho )'*" cách MN "Z G1
d) Tìm M B (C) MI "Z G0 trong -3>" 8I này %I % C (C) 6 M vuông góc 4E MI
e) mr (D) là 3>" ?" có I3=" trình y = ax+b 4E a¹ 0 Tìm )Q C b
6 a sao cho (D) %I xúc 4E (C)
3) Cao Y 6 2008 !1$ A, B, D
Cho hàm $
1
x y x
=
-1
2 Tìm m 3>" ?" d y: = - x+ m
4) \ TV 4!1$ A g/ 2005
1
x y x
+
= +
&!" minh -H" d y: = 2x + mluôn
Đáp số: m = 4
5) \ TPHCM !1$ A g/ 2004
1
x
x
+
= -a) Xác m d y: = 2x+ m
B song song nhau
b) Tìm m B (C) sao cho w" )'*" cách O M % hai Q là "Z G1
Đáp số: a) m = - 1, b) x0 = 1± 2
Trang 13\i TRÌNH \ l m n o HÀM C : y f x
I
a) \!E# 6 trình )$eC )&Pe )J$ M(x0 , y 0 )(C)
() : y = f ’(x0)(x-x0) + y0
b) \!E# 6 trình )$eC )&Pe có !% 01 góc k cho )*Ep(
i) $eC )&Pe song song Ap$ "EX 6 )!Y 6 d :yaxb
o R%I % () song song 4E 3>" ?" d khi : f ’(x0) = a
m* I3=" trình tìm x0 suy ra y0 ? % vào I3=" trình
ii) $eC )&Pe vuông góc Ap$ "EX 6 )!Y 6 d :yaxb
o R%I % () vuông góc 4E 3>" ?" d khi : f ’(x0) a= –1
m* I3=" trình tìm x0 suy ra y0 ? % vào I3=" trình
c) \!E# 6 trình )$eC )&Pe qua A (x A ,y A )
o 3>" ?" () qua A(xA; yA) khi: yA= f ’(x0)(xA-x0) + f(x0)
m* I3=" trình tìm x0 suy ra y0 ? % vào I3=" trình
d) 5 )Q %I xúc C hai thi hàm $ C1 :y f x và C2 :yg x là
q "7 ta có cách A$e) C!E# 6 trình )$eC )&Pe qua A (x A ,y A ) !E sau:
Cách 2:
o <3=" trình 3>" ?" qua A (xA,yA) có ( )D :y = k x( - x A)+ y A
o %I xúc 4E (C) khi và x khi Q sau có "Q
( ) '
ïï í
ïïî m* Q I3=" trình tìm k ? % vào I3=" trình
Ví Z> 1 L% I3=" trình %I % C hàm $ 3 6
FI $ / y24x53
Ví Z> 2 L% I3=" trình %I % C hàm $ yx4 x2,
2
Ví Z> 3 L% I3=" trình %I % 4E $ 2
2
x y x
FI $ / y x 1, 1 7
y x
Trang 14BÀI \
1) L% I3=" trình %I % C hàm $ yx33x1,
a) R%I có hoành B x = 3
b) R%I % qua 2; 1
3
A
c) R%I % song song 4E 3>" ?" y9x2
FI $ / a)y24x53, b) y 3x 1,y 1, c) y9x15;y9x17
2) Cho hàm $ 4 2
:
C yx x
a) Tìm I3=" trình 3>" ?" d %I xúc 4E (C) 6 1; 0
b) Tìm 3>" ?" %I xúc 4E (C) và qua A1; 0
c) Tìm 3>" ?" vuông góc 4E 1 3 và %I xúc 4E (C)
2
y x
FI $ / a)y2x2 , b)y 2x2;y0; 4 , c)
1 27
y x y2x2
3) Cho hàm $ 2 có là (C)
2
x y x
a) oI I3=" trình %I % C (C) 6 giao C nó 4E hai -K r B1
b) Tìm 3>" ?" %I xúc 4E (C) và qua A6; 5
c) Tìm 3>" ?" song song 4E d :y 4x3 và %I xúc 4E (C)
2 4
y x y 4x17 y 4x1
4) J$ ^( 2008 !1$ B
Cho hàm $ y = 4x3- 6x2+ 1 (1)
1
Đáp số:y = 24 x + 15, 15 21
y = x
-5) J$ ^( 2005 !1$ D
mr ( )C m là hàm $ 1 3 2 1 (*)
m
1
song 4E 3>" ?" 5x- y = 0
Đáp số:m = 4
6) Cho hàm $ y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 Tìm M (C) C hàm $ k cho sao cho %I % 6 M
qua " r B O
FI $ / 1;12
7) &!" minh -H" O 7; 0 có 4j 38 hai %I % vuông góc nhau % hàm $
2
2
1
... B2) Hàm 01 23( ba khơng có (''( )*+8 !9:( có hai (''( )*+
Hàm $ khơng có : - Û Dy'' £
Hàm $ có : - (có hai : -...
3) Hàm $ có : - cho hồnh B C : 6 D = hoành B C : 0
0
a
ìï > ï
Û í
ï D > ïỵ Hàm $ có : - cho hồnh... í
ï D > ïỵ
4) Hàm $ 6 : - 6 x = x0 Û y x''( )0 =
Hàm $ 6 : 6 6 x = x0