Bài tập Bất đẳng thức & bất phương trình 10

BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Chú ý các tính chất sau:.. Chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1.[r]

Trang 1

Trường THPT Tiên Lãng Gv: Đoàn Cao Thắng

BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRèNH Phương phỏp 1: Phương phỏp biến đổi tương đương

Chỳ ý cỏc tớnh sau:

 2

A B   C 0 2 2 2

A B   C   0 , ( 0)

khụng õm ; Cỏc # $% & $ ' ! )* + nhúm, tỏch cỏc - $/ $0 12 3- # $% &

1 & minh cỏc $% & sau:

1 a2b2 2ab 2 2 2 2 3

3(a  b c ) (a b c)  

4 a2    b2 b2 ab bc ca 5 2 2 2   6

a    b c 3 2 a b c  2 2 2 2 2  

a     b c d e a b c d e  

2& minh cỏc ; sau:

1 a2b2c22ab 2ac 2bc  2 2 2 2

a / 4 b    c ab ac 2bc

3 a22b22ab 2a 4b 2 0    4 2 2

a 5b 4ab 2a 6b 3 0

Phương phỏp 2 : Dựng bất đẳng thức Cauchy

4 & minh cỏc $% &

1 a b 2 a b, 0 2 3

(a b)( ) 4 ,a b 0

a b

,a b 0

a b a b 



(a b c)( ) 9 , ,a b c 0

a b c

, ,a b c 0

a b c  a b c 

 

(a b c d)( ) 16 , , ,a b c d 0

, , ,a b c d 0

a b c   d a b c d 

  

8 ac b 2 ab a b c, , 0 9 10

c

2

a bc

c



       

   

11 (p+2)(q+2)(p+q) 16pq (p,q 0)  12 a2 + b2 + c2  2a(b + c)

13 a + b + c  ab bc ca (a, b, c 0). 14 2a2 + b2 + c2 2a(b + c).

15 a + b + 2a2+ 2b2 2ab + 2b a + 2a b (a, b 0)  16 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

, , 0

a b c

a  b c bc  ca  ab  bc ca ab a b c a b c, , 0

2 4

1

x

x 



2 4

x x

 

8 0<x<1 1

x

x x



2 2

2 2 1

 



 

2 2

1

x x







24 3 2 11 x 7 x 6 -7  x 11 25 GH a+b=1, a>0,b>0 thỡ 4a 1 4b 1 2 3

26 (1+a1)(1+a2) (1+an) 2 n H a1,a2, ,an>0 và a1a2 an=1

5 & minh M#

1 c a b 3 a b c, , 0 2

p  p q   q pq 

3 a6+b6+1 3a 2b2 4  x y z x y z 9 xyz x,y,z  0

6 6

2 2

2

a b

3 16 b 0,a 4

3 a>b>0

a

b a b



6 & minh M#

6 , , 0

a b c

, , 0 2

a b c

3 2 2 2 9   4. GH a+b=1.Cm: (2a+1)(2+b) 49/8

a b c, , 0

b ca ca b a b c 

5.a 1 a 2 3 / 9 0  a 1 6   1x 2y 4x y  2 0 x 1, 0 y 2    

7 (Kỹ thuật thờm bớt trong BĐT Cụsi )

Trang 2

1 Cho a,b,c>0 CMR      (Thờm !C"<7NR COSI 0V )

a b b c c a 2

2 Cho a,b,c>0 CMR      (Thờm a,b,c) 3 Cho a,b,c>0 CMR (Thờm b+c )

a b c

bc ca ab

3 Cho a,b,c>0 và abc=1 CMR :    (Thờm(1+b)/8+(1+c)/8…)

(1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 4

4 Cho a,b,c,d>0 NX món a+b+c+d=4 CMR:     (Thờm (b+c+d)/9 )

       

b c d c d a d a b a b c 3

5 Cho a,b,c>0 CMR1      (Thờm a,b,c) 2

a b c a b c

2

a b c a b c

(Thêm a )

b c a b c a

b c c a a b 2

2 2 2 a(b+c)

a , b , c hoặc

4

.(Th m 1 )

b c a b c a ê b b

8.(Kỹ thuật cosi ngược dấu).

1 Cho a,b,c0 NX món a+b+c=3 CMR

1   

a b b c c a 2

2   

1

a 2b b 2c c 2a

 2  2  2

1 b 1 c 1 a 2

2 2 2 2 2 2 2 2

3 Cho a,b,c,d>0 NX món a+b+c+d=4 CMR    

2

III.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACỐPSKI

2 2 2 2 2 Daỏu "=" xaừy ra khi vaứ chổ khi ay = bx

(ax + by) (a + b )(x + y )

TQ:Cho hai boọ soỏ ( , , )a a1 2 a n vaứ ( , , , )b b1 2 b n ta coự : (a b1 1a b2 2 a b n n)2 (a12 a22 a n2)(b12 b22 b n2)

Daỏu "=" xaừy ra khi vaứ chổ khi 1 2 vụựi quy ửụực raống neỏu maóu baống 0 thỡ tửỷ cuừng baống

n n

a

1 Cho a,b,c > 0 CMR:

a 3 3 31 1 1  2 b c

c b a c b a c b









  



3a b c  abc a b c  3 3 3  3

9a b c  abc

2 Cho a,b,c  NX món a+b+c = 1 CMR:

4

1

3 CMR : a.xyx y1 y x1 1'4 x,y  1 b ab  cac cbc 1'4 0 < c a,b

4 Cho a,b,c > 0 CMR: a.( a + b )4 8(a 4 + b4) b 2 2 2 2    2 2

d b c a d c b

c 2 2 98 1'4 2a+3b7 d 1'4 ab+bc+ca = abc

2 17

ca

c a bc

b c ab

a b

IV: BÀI TOÁN CỰC TRỊ

1 Cho a b, 0, tỡm GTNN ] P= 2 2

 b

a

Trang 3

x y z



  









, , 0

a b c



  







3



 







, 0



2 2 1



2 2 2

4

IV.BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

24.Cho x  y  z 10 CMR: x1 y2  z3 4

25.CMR :21a21b2ab  ab1ab 1ab

26.CMR 1'4 `4 a,b R ta cú   

V.BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG TÍNH CHÁT TỈ SỐ

A.T/C:Cho ba



1 thi



1 thi

3 GH cho thờm d>0 thỡ GH     



B.Bài tập

1 Cho a,b,c>0,CMR    

3 Cho a,b,c,d>0 CMR         Khụng là

2a b c 2b c d 2c d a 2d a b P

II: Tỡm giỏ trị lớn nhất , giỏ trị nhỏ nhất

27 Cho x,y > 0 Tỡm GTNN:

a A = 1'4 x + y = 1 b B = x + y 1'4

y

1

y x

c C = x 4x2 d D =

1

2 



x x

28 Tỡm GTNN ] 4/ &

a A = 2 12 1'4 x > 0 ; B = 1'4 x > 0 ; C =

x

x

2

1 3

x

x

 22

2

1

x



b 2 2 4H M# x,y,z > 0 và x + y + z 1

2 2 2

z

z y

y x

29 Tỡm giỏ

x

2x

30 Tỡm GTNN

Trang 4

1 y=x 42 (x>0) 2 y=1+ (0<x<1) 3 y=

x



11 

2 2

2

1

a

x



2, 4, 3

abc

32 GH x,y>0và x+y1, tỡm GTNN ] P= 2 1 2 1 4xy



33 GH x,y thay $g4 NX món 0 x 3, 0 y 4 Tỡm GTLN ] A=(3-x)(4-x)(2x+3y)   

Trang 5

DÙNG i ;jG\ kl ;m TèM GTLN, GTNN o Ump kl & HÀM Ts

Bài 1 : Tỡm GTNN ] :

f x, y  x y 1  x 1  y2

f x, y x y x 2xy4x 1   4y2 24x2 2 6xy

f x, y



 Bài 2 : Tỡm GTLN ] :

c)   3x22 4xy2

f x, y





 Bài 3 : Tỡm GTNN ] :

x



Bài 4 : Tỡm GTLN ] :

f x  1 x 1 x

f x



2 3 2

x

f x





f x  ax a x 0 x a

Bài 5 : Tỡm GTLN, GTNN ] :

f x 3x4 3 x  3 x 3

f x 3sin x4 cos x2 0  x 180

x y 2, x0, y0

a) GTNN ] : A 1 1 b) GTLN ] :

c) GTLN ] : 2

Cxy Bài 7 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0) Hóy tỡm GTNN ] :

Bx y Cx 1 4y 3   

d) D  x y x 9y2 y 9x2

Bài 8 : Cho 2

x

x a

e) y       x 1 x 2 x 3 x 4

a 5b 4ab 2a 6b 3 0

Phương phỏp : Dựng bất đẳng thức Cauchy

4 & minh cỏc $% &

1 a b...

3 Cho a,b,c,d>0 NX a+b+c+d=4 CMR    

2

III.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACỐPSKI

2 2 Daỏu &# 34; =&# 34; xaừy vaứ...

1 Cho a,b,c>0 CMR      (Thờm !C &# 34;<7NR COSI 0V )

a b b c c a

2 Cho a,b,c>0 CMR      (Thờm a,b,c) Cho a,b,c>0 CMR (Thờm b+c )

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	187,34 KB