V MỘT SỐ PP KHÁC GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
4
x
+ + − ≤ − b) 1+ −x 1− ≤x x
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 2( 1)
2
1
1 2 4 2
− + +
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) x+ + − − ≤2 x2 x 2 3x−2 b)
2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x
− + − − >
+
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
a) x+ +9 2x+ >4 5
HD: Dùng pp hàm số, nhận thấy vế trái đồng biến, mà f(0) = 5 nên bất phương trình có nghiệm x > 5
b) 2 x3+ − x2 4 x + + ≥ 4 x x2+ 2
HD:
2
2
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
51 2
1 1
− − <
−
x x
2
− +x x− ≥
x
c) x− ≥1 x( x− −1 x) + x2−x d) 2− ≤ 2+
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
a) − + + ≥ 4 − +
2 3 x 2 x 2 3 (3 x 2)( x 2) b) 2− ≥ 2−
c) (4 x − 1) x3+ ≤ 1 2 x3+ 2 x + 1
Bài 7: Giải bất phương trình:
2
1
2 1
x
x
− − −
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
2
2
2
2
2
( 1) 1 1
1 1
0
1
3 (3 1)
8 5 1 0
x
x
− +
≥ ∨ ≤
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
09 BẤT PHƯƠNG TRÌNH – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 21)
2
2
x
2x 3
x 1 1
> +
x − 2x − + 8 2x − 4x 1 11 + ≥ (3)
5)
2
x
2
11) x 2 5 x 1
+ − − ≥
12)
2
3 x
(12)
H ướ ng d ẫ n gi ả i:
1) Đ i ề u ki ệ n: x 1
x 1 1
≥ −
+ ≠
≥ −
≠
⇔(1) + + > +
+ −
2
⇔ + + + + > + ⇔ 2 x 1 + − ( x 1 + > ) 0
⇔ x 1 2 + − x 1 + > 0
> −
> −
+ <
x 1 4
> −
+ <
> −
<
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (1) là S = ( − 1 ; 3 \ 0 ) { }
Trang 32) Điều kiện:
2
2
− ≥
1 x 2 1 x
2
≥
≤ −
⇔
1
2 1
2
⇔(2) − 2 + 2 − < +
x 1 0
+ >
> −
> −
>
>
>
− >
>
− ≠
2
>
≠ ±
>
≠
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (2) là S = 1 ; 2 \ 1 { }
Đặt: = − ( )2 ≥
⇔(3) t − + 9 2t 1 11 − ≥ ⇔ − + − + t 9 2t 1 2 t − 9 2t 1 121 − ≥
2 2t 19t 9 131 3t
≥
⇔ − >
≥
131 3t 0
t 9
131 3t 0
t 9
2
131 t
3 131
3
≥
⇔
≤ <
Trang 4t
3
131
9 t
3
25 t 685
≥
≤ <
≤ ≤
131 t
3 131
3
≥
≤ <
⇔ ≥ t 25
x 1 − ≥ 25 ⇔ − ≥
− ≤ −
x 1 5
x 1 5
≥
≤ −
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là S = ( −∞ − ∪ ; 4 ] [ 6 ; + ∞ )
4) Điều kiện:
2
2
2
− ≥
2
2
x 1
≥
≤ −
− ≤
− ≥ −
⇔ ≥ x 1
Kết luận: t ậ p nghi ệ m b ấ t ph ươ ng trình (4) là S = [ 1 ; + ∞ )
5) Đ i ề u ki ệ n:
2
− ≥
>
2 x 16 x 3 7 x ( 2 )
≥
− <
≥
>
≤
>
≤ ≤
⇔
− < < +
>
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (5) là S = ( 10 − 34 ; + ∞ )
6) Điều kiện:
2
2
− + ≥
− + + ≥
(6)
Trang 5⇔ + − 2 > 2 −
2
⇔(6) > − ⇔ + − > ⇔ >
< −
2 2 t 1
t 2 lo¹i ( )
2
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (6) là S =
;
>
< −
−
x 1
t
Vậy:
+
3
x 1
< ≤
−
0
11 11
x 1
x
8
0
x 1
x 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (7) là S =
11
; 2
2
(x 1)(x 2) 0
⇔(8) ( x 1 x + ) ( − 2 ) − 2 x − + − 2 2 x 1 + ≥ 0
Trang 6⇔ ( )( )
+ − >
− − >
+ − <
− − <
⇔
+ >
− >
=
+ <
− <
x 1 4
⇔
>
=
<
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (8) là S = [2 ; + ∞ )
9) Điều kiện: 0 ≠ x ≤ 2
⇔(9) 4x − + 3 2 − − x 2x ≥ 0 ⇔ 2 − + x 2x − 3 ≥ 0
Đặt: t = 2 − x ; 0 ≤ ≠ t 2
(1 t)(2t 1)
0
−
−
1 t
0
2t 1 0
Do :
≤
≤ ≤
<
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (9) là S = ( − ∞ ; 0) ∪ [1 ; 2]
⇔
≠
− ≠ −
≥
≥
≥
=
=
⇔ x = 5
+) ⇔(10)
0
− + −
0
− + −
− + −
§ Æt : t x 1 ; 0 ≤ ≠ t 2
⇔ = −2 ⇔ = +2
Trang 7(10) ( )
− + +
2 2
( )( ) ( − )( + )
⇔
1 t 5t 4
t 1 2 t ≥ 0
−
t 1 0
1 t
⇔
x 1 0
x 1 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (10) là S = [ ] 1 ; 2 ∪ ( 5 ; + ∞ )
( )( )
( )( )
+ <
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (11) là S = [ 2 ; 7 )
12) Điều kiện:
≠
≠
⇔
− ≤ ≤
x
⇔
(12) − − ( ) ( )
2
1 1 4x
x
3 1 4x − > 4x − 3 ; nghiệm đúng ∀ ∈ − { }
1 1