PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + + + … + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé Bài toán 1: Giải phương trình sau: Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau: Mặt khác, ta có: Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình sau (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng: và Ta đi đến lời giải như sau: (2) Mặt khác, ta có: > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta viết lại như sau: (4) Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có: Pt () Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
Trang 1TUYỂN CHỌN
50 BÀI TOÁN
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
Xem thêm tài liệu hay tại: www.boxtailieu.net
Trang 2Bài 1: Giải bất phương trình x+ 1 −x2 ≥ 2 3 − x− 4 x2
x x
x
x− + − + − + − ≥ ∈
Hướng dẫn: Điều kiện: x≥ 1
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0410249
42321
≥++
−+
−
−+
6 1
1
1 ) 2 (
0 3 ) 1 3 ( ) 2 ( 2 2 3
) 6 3 ( 2 1 1 2
0 ) 2 6 9 )(
2 )(
2 2 3 ( 2 ) 1 1 (
2 2 2
−
+ +
−
− +
−
−
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x
x x x
x x
- Dễ thấy (3 1) 3 ( 3 1 1 ) 3 1 0 , 1
2 2 3
6 1
−
+ +
x
- Hơn nữa (1) ⇔ x− 2 ≥ 0 ⇔x≥ 2 Kết hợp điều kiện thu được x≥ 2
Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 log+ 2x+log2(x+2)>log 2(6− x)
So sánh với điều kiện KL: Nghiệm BPT là 2 <x< 6
4 2 2
7 1 19
22 9
2 3
2 3
R x x
x x
x x x x
∈
>
− + +
−
− + +
≥
0422
1
2 3
x x x x
≥
− +
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0 2 17 24 8
1 1 4
2 2 7
1 19
22
>
− +
− +
−
−
⇔
− + +
>
−
−
− +
x
Trang 3) 1 ( 0 1 ) 1 2 ( 2 1 1
1 ) 2 ( 0 ) 1 8 8 )(
2 ( 1 1
−
−
x x
x x x
x
x
- Rõ ràng 2 ( 2 1 ) 1 2 ( 2 1 ) 1 1 0 , 1
1 1
x nên (1) ⇔x− 2 > 0 ⇔x> 2
5
log 4x+ 1 − log 7 2 − x ≤ + 1 log 3x+ 2
x x x
x x x
x x x
x x
x
x− − + ≥ + + + ∈
Hướng dẫn: Điều kiện: x∈R. Khi đó :
0 ) 5 2 1
2 ( 2 ) 5 2 2
)(
1
≤ +
−
− + +
+
− + +
05
21
2
547)52)(
1(2522
14
)1(
0)521
2
)13(25
22
)(
1(
0521
2
)13)(
1(2)
522
)(
1(
0521
2
)524
4(2)522
)(
1(
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
+
−++
−+
++
−+
++
⇔
≤+
−++
−+
+
−++
⇔
≤+
−++
−+
++
−++
⇔
≤+
−++
−+
−++
+
−++
⇔
x x x
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
- Do 7 2 − 4 + 5 = ( − 2 ) 2 + 6 2 + 1 >
x x
x 2 4
Trang 4Bài 8: Giải bất phương trình: x2 +5x<4 1( + x x( 2+2x−4)) (x∈ R)
Hướng dẫn: x2+5x<4 1( + x x( 2+2x−4)) (*)
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 1 5 0
1 5
x x
⇔ <
Bài 10: Giải bất phương trình (x+2)(x−2 2x+ − ≤ +5) 9 (x 2)(3 x2+ − −5 x2 12)+35x2+ 7
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: 5
2 2
Trang 5- Ta có với
2
2 2
2 2
) 2 (
R x x
x x
x
∈ + +
≥ + + + + +
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
1)
1(0)3)(
1(265
2
1
0)32(265
2762
4215
−
⇔
≥+
−++++
−
≥
−+++
−+
⇔++
≥+++
−+
⇔
x x
x x
x x x
x
x
x x x
x x
x x x
Chú ý rằng
2
5 ,
0 ) 3 ( 2 5 5
x nên (1) ⇔x− 1 ≥ 0 ⇔x≥ 1
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x≥ 1
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
2 2
x x
- Với − ≤2 x< ⇒0 bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với x≥ ⇒2 bất phương trình đã cho ⇔ 2 x− 2 + 2(x− 2)(x+ 2) ≥x x
Trang 6Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [− 2;0)∪{1 + 5}
Bài 13: Giải bất phương trình sau : 2
x x
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó 2x−1 ≠ x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
2
133,2
1330
131
22
12
22133)
12(3)
12(
)1(3
2 2
2 2
2 2
2 2
≥
−
⇔+
x x x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
2
2
x
x x
x
Trang 7+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
)12
(
02)
52)(
12()252)(
12
(
02)
5124(29124
2 2
2 3
2 2
2 3
−
−
−+
−
x f x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
2 0
) (
t
x t x
f
Do vậy ta có phân tích
1 2 2
)(
2 2
( 2 )
5 2 ( 2 5 2 )
+
− +
−
x f
Khi đó (1) (2 1)( 2 2 2)(2 2 2 1) 0
≤+
−+
1
2x− = ⇔x= (không thỏa mãn)
442
22
x x
2 2
2
0 1 2
2 2
x x
x x
2
0 1 2
x x
x
Kết hợp với đk ta được x≤ 0
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x≤ 0
5
log 4x+ 1 − log 7 2 − x ≤ + 1 log 3x+ 2
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7
x x x
x x x
x x x
Trang 8Giao với điều kiện, ta được: 1 1
Bài 19: Giải bất phương trình 8x3−2x≥(4+ x−1)(x+14 8+ x−1)
Hướng dẫn: Điều kiện : x≥ 1
Bài 20: Giải bất phương trình: (x +2)( 2x + −3 2 x +1)+ 2x2 +5x +3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 1
Đặt
2 2 2
Trang 9TH1:
11
5
0252
035010
x x
x x
5 3 2 5 2
47 14 2 5
3 2 5 2
2
2 2
>
− + +
−
x x
x
x x x
x x
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0 2 5 11 2 3 ) 2 ( 5 ) 5 11 2
(
2
0 2 ) 5 )(
1 2 ( 3 20 27 4
) 5 )(
2 )(
1 2 ( 6 45 9 2 5 2 3 50 10
2 2
2
2 2
≥
− +
− +
−
− +
x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x x
2
22 6
; 2
22 6 0
7 12 2 2 5
11 2
0 ) 5 2 )(
( 0 3 5 2
2 2
2 2
−
⇔
−
≥ +
−
⇔
≥ +
−
x x
x x x
x x
b a b
a b a ab
b a
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
S
Bài 22: Giải bất phương trình 3x2 12x 5 x3 1 x2 2x
−+
−
≤+
−
0 ) 2 ( 1
0 5 12
−
x x
x x
x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
) 1 ( ) 1 )(
1 ( 2 1 2 5
12
− +
+
− +
−
− +
≤ +
x
0
232
)23(3)(
0)1(
.2)(
1(26102
2 3 2
2 2
3
2 2
3
≥+++
−+
+
−
−++
⇔
≥++
−
−+
−+
−
⇔
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
Trang 10) 1 ( 0 2 3 2
2 3 3
2 2
3
2
≥ + +
+
− +
+ +
x x x x x
x x
Đặt 3 32 2 ( 0 )
2
≥
= + +
+
−
t t x x
x
x
x thì (1)
) 2 ( 0 2 4 2
3 1
3
1 0 2 3
≥ + +
⇔ + +
≤ +
−
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x≥ 2 Kết luận nghiệm S =[2;+∞)
11
x x x
x x
++
x x x
x x
+
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là S= − +∞( 1; )
Bài 24:Giải bất phương trình sau:
Trang 11−+
x
Hướng dẫn: Điều kiện: x≥ 1
Bất phương trình đã cho tương đương với
)2(22
.3
4)
2)(
(3822)2)(
(6
101211)2)(
1(6)2(
9
2 2
2 2
2 2
2 2
++
<
+
−
⇔++
<
−
−+
−++
x x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x
x x
b
x x
2
57 5 2
57 5
0 8 5
0 2 2 8
4
2
2 2
x x
x
x x x
x x
x x x b a
0 2 2 8
4
2
2 2
x x
x x x
x x
x x x b a
Trang 12Bài 27: Giải bất phương trình 2.14x 3.49x 4x 0
3 3
t
t t
−
= log 3 ;
2 7
S
R x x x
x x
4 ) 1 (
0 1 ) 1 3 ( 5 ) 1 ( 1 1 2
) 2 2 ( 4
0 ) 4 30 45
)(
1 ( ) 1 1 2 ( 4
0 4 34 75
45 4 1 2 4
2 2 2
2 3
− +
−
−
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x
- Nhận xét
2
1 , 0 1 ) 1 2
1 3 ( 5 1 ) 1 3 ( 5 1 1 2
; 2 1
Bài 29: Giải bất phương trình: log (2 x−2) log+ 0,5x< 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x> 2
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là x> −2
Trang 14Từ (1) và (2) suy ra ( ) 0 g x > ∀ > x 0
+ f x( ) 0> ⇔x− >4 0⇔x> Kết hợp ĐK suy ra đáp số: 4 x> 4
R x x x
x
x − ≤ − − + + ∈
0)3)(
3(
20
1
092
08
2 2
3 3
x x x x
x x x
Bất phương trình đã cho tương đương với
2 3
3 2
3 3
2 0
) 3 3
2 (
0 3 3
3 2 2
3 2
3
) 1 )(
3 ( 2 2
) 1 )(
3 )(
3 ( 2 1 9 2 8
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
−
=
⇔ + +
− +
− +
x x
x
x x x
x x
x x
x
x x x x x x x
x
x x x
x x
x
x x x x x
x x x
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm
Trang 15t t g'(t)
(t ) Vậy g(t) t
t
−
= +
12
65
1)(
2(
03117
22
65
2)
2(
2
0)3(117)2(65422
2
2 2
2 2
>
−+++
++++
++
−++++
++
−+
−++
−
−
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x x
+ Nhận xét
5
6 ,
2 5
13 5
6 3
1
5
6 2
1 3 11 7
1 2
6 5
+ + +
x x x x
x + + + + + ≥ + + ∈
Hướng dẫn: Điều kiện x≥ − 2
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
0 6 3 ) 1 ( 2 2
2
2
≥ + +
− + + + +
− +
x
Trang 16) 1 ( 0 6 3 2
1 2
2
1 )
2 )(
1 (
0 6 3 2
) 2 )(
1 ( 2 2 2
6 3 2 )(
1 ( 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
+ +
+ + + +
−
⇔
≥ + + +
− + +
+ + + +
− +
⇔
+
− + + +
− + +
⇔
x x
x x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
632
12
2
1)
++
+++
x x
x x
2
1 1 1
x
x x
> ⇔ > −
−
* Bất phương trình (3) 2 0 2 2 5
54(1 )
Trang 17Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 2 1; 2 2 5;1
213(
)213)(
213()213)(
13(
134)213)(
13(
)13(2152)213)(
13(
2 2
<
−
−+
−+
⇔
++
−+
>
−++
⇔
++
−
>
−++
⇔
+
−++
>
−++
x x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
x x x
x
+ Ta có
3
1 ,
0 1 1
3x+ +x+ > ∀x≥ − nên
(1) 0 ( 3 1 2 ) ( 1 ) 0 ( 2 )
1 1 3
) 1 ( ) 2 1 3 (
>
−
− +
⇔
>
+ + +
−
− +
x x
x x x x
Xét hai trường hợp xảy ra
) 1 (
x
x x
1 0
0 0
1 3 4 0
0 2
1 3
x x
x x x
x x
x
0134
10
21
) 3 4 5 3 ( 2
R x x x
x x
x
∈ +
<
+ +
+
− +
53343
7
333
501029346
7
333
5)
733()152912
(
4
7
333
5
733152912
225152912
28
7
534532
.5)3453
(
2
)392)(
392(5)345
3
(
2
2 2
2
2 2
−
⇔
<
−+
−
⇔
<
−+
−
⇔
−++
+
<
−+
−
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
Trang 18x 2 4
Bài 43: Giải bất phương trình: log0,2 x +log (x 1)0,2 + < log (x0,2 +2)
Hướng dẫn: Điều kiện: x > 0 (*)
log x log (x 1) log (x 2) ⇔ log (x0,2 2 +x) < log (x0,2 +2)
⇔ x2 + x > x +2 ⇔ x > 2 (vì x > 0)
Vậy bất phương trình có nghiệm x > 2
Bài 44: Giải bất phương trình: x2+20x+4+ x ≤2x+ 4
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*)
Bất phương trình thành: t2+16 2t 1≤ −
1 t
t 3 2
Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0; [ ;1]∪4 +∞]
Trang 19Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 1 3
5≤x≤10
Bài 46:Giải bất phương trình: (x +2)( 2x + −3 2 x +1)+ 2x2 +5x +3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 1
Đặt
2 2 2
Trang 2011
2 2
x x
x x
Trang 21Bài 49: Giải bất phương trình sau 3 1 1 2