Tài liệu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. Trong

Phòng GD – ĐT Long điền Kỳ thi chọn HSG huyện

Năm học : 2005 – 2006

MÔN THI: TOÁN – THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT

A – Trắc nghiệm : (4 điểm)

1 Biểu thức x2 − 4 xác định với những giá trị nào sau đây :

A x ≤ 2 ; B x≥ − 2; C 





≥

−

≤

2

2

x

x

; D − 2 ≤x≤ 2

2 Giá trị của x để x 12 + 18 =x 8 + 27 là

A x = 32 ; B x = −32 ; C.x =23; D x = −23

3 Phát biểu nào sau đây là sai :

A Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy

B Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

C Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

D Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với 1 dây thì hai đầu mút của dây đó đối xứng với nhau qua đường kính ấy

4 Cho các hàm số : y = 0,3x ; y = - x

4

3

; y = 3x ; y = -2x, kết luận nào sau đây là không đúng

A Đồ thị của các hàm số đã cho đều là đường thẳng đi qua gốc toạ độ

B Các hàm số đã cho đều xác định với mọi x

C Các hàm số đã cho đều đồng biến

D Đồ thị của các hàm số đã cho đều cắt nhau tại một điểm O (0,0)

Đáp án :

B – Tự luận : (16 điểm)

Câu 1 : (3đ) Giải hệ phương trình

         = + = + = + ) 3 ( 3 4 1 1 ) 2 ( 6 5 1 1 ) 1( 2 3 1 1 x z z y y x Giải : Trừ vế với vế của phương trình (2) cho phương trình (3) ta được : ) 4 ( 2 1 1 1 − = − x y

Lấy phương trình (4) cộng với phương trình (1) ta được : 2 = 1 ⇒y= 2 y

Thay y = 2 vào (1) ta được x = 1

Thay x = 1 vào (3) ta được z = 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là : x = 1; y = 2; z = 3

Câu 2 : (3đ) Cho A = x x x x x − −x+x − + − + − − 3 1 2 2 3 6 5 9 2 a, Rút gọn A b, Tìm giá trị của x để A < 1 c, Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Giải :

a, ( 22)( 9 3) ( 2)(9 3)+((2 −+21)()( −−32)) − − − − − − − = x x x x x x x x x x A (1,5 đ)

3

1 )

3 )(

2 (

) 1 )(

2 (

) 3 )(

2 (

2 )

3 )(

2 (

2 4

2 9 9 2

−

+

=

−

−

+

−

=

−

−

−

−

=

−

−

− +

− + +

−

−

=

x

x x

x

x x

x x

x x x

x

x x x x

x

A có nghĩa khi x≥ 0 ,x≠ 4 ,x≠ 9

3

4 1

3

1

<

⇔

<

−

⇔

<

−

⇔

<

−

+

x x

Kết hợp với điều kiện trên ta có : A< 1 khi 0 ≤x< 9 và x ≠ 4

3

1

− +

=

−

+

=

x x

x

A (0,75 đ)

A nguyên khi và chỉ khi 4 chia hết cho x − 3 Tức là x − 3 nhận các giá trị :

4

;

2

;

± Từ đó ta tìm được các giá trị nguyên của x là : 1; 4; 16; 25; 49

Đối chiếu với điều kiện trên ta có : với x ∈{1 ; 16 ; 25 ; 49} thì A nhận giá trị nguyên

Câu 3: (3 đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:

x(m + 2) + (m - 3)y = m – 8 (1)

a, Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1)

b, Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải :

a, (1 đ) Vì đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1) nên x = -1 và y =1 thoả mãn

phương trình (1), do đó: (-1).(m + 2) + (m - 3).1 = m – 8

⇔ -m - 2 + m – 3 = m – 8

⇔ -5 = m – 8

⇔ m = 3

Vậy với m = 3 thì đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1)

b, ( 2 đ) Gọi (x0; y0) là toạ độ điểm cố định mà (d) đi qua

Ta có : (m + 2)x0 + (m - 3)y0 = m - 8 ∀m

⇔ mx0 + 2x0 + my0 – 3y0 = m -8 ∀m

⇔ mx0 + 2x0 + my0 – 3y0 - m + 8 = 0 ∀m

⇔ (mx0 + my0 - m) + (2x0 – 3y0 + 8) = 0 ∀m

⇔ m (x0 + y0 - 1) + (2x0 – 3y0 + 8) = 0 ∀m

2

1 01

0105 0832

0222 0832

01

0

0 00

0 00

00 00

00

y

x yx

y yx

yx yx

yx

Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2)

Câu 4: (3đ)

a, Một tam giác vuông có tỷ số các cạnh góc vuông bằng k Tính tỷ số các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông lên cạnh huyền

b, Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông, biết rằng tỷ số hai cạnh góc vuông bằng 5 : 4 và cạnh huyền dài 8,2 cm

Giải :

a, Gọi b’ và c’ là hình chiếu của các cạnh góc vuông b và c trên cạnh huyền a Ta có : b2 = a.b’, c2 = a.c’ nên b c2 =b c''









 Mà theo giả thiết k

c

b = Vậy tỷ số 2

'

'

k c

b, Aùp dụng câu a ta có '' =1625

c

b

(1) và từ giả thiết ta được: b’+c’=8,2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :







=

=

⇔









=+

=

2,3'

5' 2,8' ' 16

25 '

'

c

b cb

c b

Câu 5 : (4đ) Cho đường tròn (O, AB2 ), lấy điểm M thuộc đoạn OA, H là trung điểm của MB, từ H kẻ tia Hx sao cho Hx vuông góc với MB và cắt đường tròn (O) tại C, đường tròn đường kính AM cắt AC tại E

a, Tứ giác BCEM là hình gì ?

b, Chứng minh tam giác EHC cân tại H

c, Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AM

Giải : Hình vẽ đúng cho 0,5 điểm

a,(1,5 đ) Tứ giác BCEM cóù:

góc ACB = góc AEM = 900

⇒ ME // BC ⇒ Tứ giác BCEM là hình thang vuông

b, ( 1 đ) Chứng minh tam giác EHC cân tại H

Kẻ HG ⊥ EC ⇒ EG = GC (Vì HM = HB và HG//ME//CB)

⇒ HG vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác EHC ⇒ Tam giác EHC cân tại H

c,( 1 đ) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AM.

Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM

Ta có: *) góc IEM = góc IME ( Vì IE = IM)

*) góc IME = góc ECH ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)

*) góc ECH = góc HEC ( Vì ∆EHC cân cmt)

Từ đó suy ra : góc IEM = góc HEC

Mà góc MEH + góc HEC = 900

Suy ra : góc IEM + góc MEH = 900 hay HE ⊥ IE Vậy HE là tiếp tuyến của (I; IE)