ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + ĐÁP ÁN TOÁN 9

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2008 – 2009

MÔN : TOÁN 9

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1.(2 đ) Tính giá trị của biểu thức: A= 4+ 7 − 4− 7 − 2

Câu 2.(4 đ) Cho ba số thực x ,y , z sao cho : x + y + z = xy + yz + xz Tính B=(x2009−1)(y2009−1)(z2009−1)

Câu 3.(4 đ) Cho hàm số y = (2m + 1)x + 2m Tìm m để

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1 ; -3 )

b) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y = x + 1

c) Đồ thị hàm số đi qua giao điểm của đường thẳng y = 2 và y = 2x – 3

Câu 4.(3 đ) Cho VABC đường cao AH ( H ∈ BC ) ,biết AH = 5 ; BC = 8 Tính 1 1 ?

tgB tgC+ =

Câu 5.(7 đ) Cho nửa đường tròn ( O ; R ) đường kính AB ,trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường

tròn (O) vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn (O) ,tia AM cắt By tai D ,tia

BM cắt Ax tại C , tiếp tuyến tại M cắt Ax và By lần lượt tại E và F

a) Chứng minh rằng ·EOF 90= 0

b) Chứng minh E là trung điểm của AC ; F là trung điểm của BD

c) Tính : MB.MD + MA.MC theo R

Hết

Họ tên thí sinh : ……… số báo danh ………

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN

Câu 1

4 2( 7 1 7 1)

0

=

Suy ra : A = 0

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ

Câu 2

x + y + z = xy + yz + xz

 xy + yz + xz – x – y – x = 0

 (x – 1)(y - 1)(z – 1 ) = 0



 − = <=> =

 − =  =

B= x − y − z − = 0

0,5 đ

1 đ 1,5 đ

1 đ Câu 3

Để y = (2m + 1)x + 2m là hàm số bậc nhất cắt Ox và Oy tạo thành OABV thì :

2m + 1 ≠ 0

 m ≠ - 1

a)

Thay x = 1 ; y = - 3 vào hàm số ta được :

- 3 = (2m + 1).1 + 2m

 m = - 1

0,5 đ 0,5 đ

c)

Giao điểm của hai đường thẳng y = 2 và y = x + 1 là :

 2 = x + 1

 x = 1 Vậy giao điểm là ( 1 ; 2 )

Thay x = 1 và y = 2 vào hàm số ta được

2 = (2m +1).1 + 2m

4

m=

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

5

H B

A

C

Ta có : tgB AH

BH

= ; tgC AH

HC

=

Suy ra :

1,6 5

HB HC tgB tgC AH AH

BC tgB tgC AH

0,5 đ

1 đ 1,5 đ

Câu 5

2 1

2 1

x

y

R

D

C

F E

B A

O

M

0,5 đ

a)

180

AE BF AB AEF BFE

⊥

Mà µE1 =E Fµ µ2; 1=Fµ2 ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

Suy ra : µE + µ2 F = 902 0

Hay ·EOF 90= 0( đpcm )

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

b)

Xét ∆ABM có

2

AB

MO= ,do đó ∆ABM vuông tại M Xét V⊥AMDta có

ME = AE ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ) (*)

=> ·MAE= ·AME

Mà :

0 0

90 90

MAE MDE

AME EMD

Suy ra : ·MDE EMD=· => ME = ED (**)

Từ (*) ; (**) suy ra AE = ED

Chứng minh tương tự ta được : BF = FC

Vậy E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

c)

Xét V⊥ABC có : MA.MC = MB2

Xét V⊥ABD có :MB.MD = MA2

Mà MA2 + MB2 = AB2

Suy ra : MA.MC + MB.MD = AB2

hay MA.MC + MB.MD = 4R2

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cũng cho điểm tối đa.