Qua P vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau.. Qua P vẽ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau.. Chứng minh: a, PA.PB = PC.PD b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí
Trang 1ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU
Năm học:2009-2010
Môn: Toán 9( Vòng 2) - Thời gian:120 phút
a, Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b, So sánh P và |P|
c, Tìm m để phương trình (ẩn x ) P=
1
m x
x+ có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho Parabol(P): 1 2
2
y= x và đường thẳng (d): mx y+ =2
a, Chứng minh khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
b, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
c, Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất
Bài 3: a, Cho x, y thoả mãn: 2 2
x −y +y −x =1(1) Chứng minh: x2+y2 =1(2)
b, Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được không? Vì sao?
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm P ở bên trong đường tròn đó Qua P vẽ hai dây cung AB
và CD vuông góc với nhau Chứng minh:
a, PA.PB = PC.PD
b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí điểm P
c, Khoảng cách từ tâm O đến AC bằng nửa độ dài cạnh BD
d, Nếu điểm P cố định, hai dây AB và CD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P thì hãy xác định vị trí của AB và CD để SACBD lớn nhất?
ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU
Năm học:2009-2010
Môn: Toán 9( Vòng 2) - Thời gian:120 phút
a, Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b, So sánh P và |P|
c, Tìm m để phương trình (ẩn x ) P=
1
m x
x+ có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho Parabol(P): 1 2
2
y= x và đường thẳng (d): mx y+ =2
a, Chứng minh khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
b, Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
c, Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất
Bài 3: a, Cho x, y thoả mãn: x 1−y2 +y 1−x2 =1(1) Chứng minh: x2+y2 =1(2)
b, Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được không? Vì sao?
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) và điểm P ở bên trong đường tròn đó Qua P vẽ hai dây cung AB
và CD vuông góc với nhau Chứng minh:
a, PA.PB = PC.PD
b, Tổng AC²+CB²+BD²+DA² không phụ thuộc vào vị trí điểm P
c, Khoảng cách từ tâm O đến AC bằng nửa độ dài cạnh BD
d, Nếu điểm P cố định, hai dây AB và CD thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau tại P thì hãy xác định vị trí của AB và CD để SACBD lớn nhất?
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 3BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1 điểm
b,
1 điểm
c,
0.5 đ
ĐK: x≥0;x≠4
2 :
x
−
=
1
x x x
+
Ta có:
2
x− x+ = x− + >
1
x x x
− + >
+
1
m x
+
Đặt x t t= ( ≥0) phương trình trở thành:
2
( 1) 1 0
t − m+ t+ = (1)
để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình 2
có 2 nghiệm ≥0 và ≠2
ĐK (m+1)2− >4 0 m> −1 m> −1
m+ >1 0 ⇒ m< −3⇒ 3
2
m≠
5 2(− m+ ≠1) 0 m> −1
3
2
m≠
Vậy với m>-1 và m≠3
2 thì pt(1) có 2 nghiệm phân biệt
0.25đ
0.25đ
0.5 đ
0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ
0.25đ
1 điểm
b,
1 điểm
c,
0.5
điểm
Gọi điểm cố định là I(x y0; 0)
0 0 2
mx y
0 0 2 0
mx y
⇔ + − = với ∀ m ⇔ x0=0
y0=2 Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là I(0;2)
Từ mx y+ = ⇒ = −2 y 2 mx Ta xét pt:1 2
2
2x = −mx+
x mx
⇔ + − = có ∆ =' m2+ >4 0 với ∀ m
⇒(P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Gọi toạ độ A và B lần lượt là ( ;x y A A) và ( ;x y B B)
Ta có: x A = − −m m2+4;y A =m2+m m2+ +4 2
x B = − +m m2+4;y B =m2−m m2+ +4 2
AB²=(x A−x B)2+(y A−y B)2 =4(m2+ +4) 4m m2( 2+4)
= 4m4+20m2+ ≥16 16
0.5 đ
0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ
P H
K O
Trang 41 d
c,
1 điểm
d,
1 điểm
cõn Do đú BD=AE; AD=BE
ta cú: AC²+CB²+BD²+DA² =(AC²+AE²)+(BC²+BE²) = CE²+CE²=4R²+4R²=8R² Khụng phụ thuộc vào vị trớ điểm P
2BD
Tớnh được AB²+CD²=4(2R²-OP²) (P cố định)
nhất
0.5 đ
0.5 đ
0.5d 0.5 đ 0.5d 0.5 đ
Chú ý: mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.