Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng trên các số phức[r]
Trang 1Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Số phức
GV: Hồ Thanh Lai
CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
A Kiến thức cơ bản cần nhớ.
1 Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số: z = a + bi, ( a, b R, i 2 = - 1)
2 Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có:
+) Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i
+) Môđun của số phức : |z| a2 b2
+) Số phức liên hợp : zabi
+) Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b)
3 Các phép toán đối với số phức
+) Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và nhân các số thực với chú ý i2 = - 1
+) Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
2 2
2 1 2 2
2 1 2
1
|
|
.
.
z
z z z z
z z z
z
+) Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau
Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng trên các số phức.
4 Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có =b 2 – 4ac
+) Nếu > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt
a
b x
2 2
, 1
+) Nếu = 0, PT có nghiệm kép x 1 = x2 =
a
b
2
+) Nếu < 0, PT có 2 nghiệm phức
a
i b x
2
|
| 2
, 1
5 Một số kết quả cần nhớ :
1 i0 = 1 i 4n = 1 2) i1 = i i 4n + 1 = i
3 i2 = - 1 i 4n + 2 = - 1 4) i3 = - i i 4n + 3 = - i
5 (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i
B Các dạng bài tập.
Bài 1 Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.
1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2 2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3
3) Z = (1 – i)(2 – i)(3 + i) 4) Z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010
5) Z =
i
i i
i
1
2 1 2
1
1
6) 2 ( 3 2 ) 2
2 4
) 2 1 )(
1 (
i i
i i
) 1 (
) 4 ( 3
2
i
i i
z
1
iz
i z
9) z2 – 2z + 4i 10) Z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i)
Hướng dẫn : với các bài tập này, ta phải đưa các số phức đã cho về dạng z = a + bi
Lop12.net
Trang 2Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Số phức
GV: Hồ Thanh Lai
Bài 2 : Giải các phương trình sau trên tập số phức( z là ẩn)
1) (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i 2)
i
i z
i
i
2
3 1 1
2
3) z2 – 7z – 17 = 0 4) z4 – 2z2 – 63 = 0
5) (z – i)(z2 + 1)(z3 + i) = 0 6) (z2 + z)2 +4(z2 + z) – 12 = 0
7) z 2z 2 4i 0 8) z2 z 0
9) z2 + |z| = 0 10) z2 + |z|2 = 0
2
1 ( 3 )
2
i iz i z
2
2 3
4 z z z
z
Hướng dẫn : Đây là các phương trình ẩn z, ta giải như với PT trên tập số thực.
Bài 3 : Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau ( z là số phức).
1) 2(x + i) + 1 – 5yi = 3 – 8i 2) x(1 + 3i) + y(i – 2) = 5 + i
3) x(1 + 4i) + (y2 – 5)I = 3y + 3 4) x(3 + 5i)+ y(1 – 2i)2 = 9 + 14i
5) x(1 + i) + 4y – 6 – (3y + 5)I = 0 6) 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = (2z – 1)(z2 + xz + y) 7) z4 – 4z2 – 16z – 16 =(z2 – 2z – 4)(z2 + xz – y)
8) z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 2 =(z2 + 1)(z2 - xz – y)
9) z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 - xz + y)
10) z3 – 2(1 + i)z2 + 4(1 + i)z – 8i = (z –ai)(z2 + bz + c) (a, b , c R)
Hướng dẫn: Thực chất đây là bài toán so sánh 2 số phức.
Bài 4: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa mãn điều kiện sau.
1) |z – 1 – i| = 1 2) |z + 3i + 4| < 2
3) | z - 2 + i| = 2z 4) |z + + 3 – i| > 3z
5) |z - + 1 + i| = 2z 6) 2|z – i| = |z - + 2i|z
7) |2i - 2 | = | 2z – 1|z 8) |2iz – 1| = 2|z + 3|
9) |z2 - z2 | = 4 10) |z + 2| + |z – 2| = 6
11) |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20 12) |z – 2| = x + 3
13) | z – 2| - | z + 2| = 6 14) | z + 4| = y – 5
15) (2 – z)(i + ) là 1 số thực tùy ýz 16) (2 – z)(i + ) là 1 số ảo tùy ýz
17) là 1 số thực ?
i
z
i
z
18) k , k là 1 số thực dương ?
i z
Bài 5 : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau.
4
i
z
i
i
i z z
2 1
3 1
3) 1 1 và
i
z
z
1
3
i z
i
3
1
z
z
1
2
i z
i z
Hướng dẫn : Dấu (||) trong các bài tập này được hiểu là môđun của các số phức
Bài 6: (TN-2008) Tính giá trị của biểu thức: P = 2 2
1 i 3 1 i 3
Bài 7: (ĐH-2009A) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt: z2 2z 10 0 Tính giá trị của biểu thức: 2 2
Bài 8: (ĐH-2009B)Tìm số phức z thỏa mãn : z (2 i) 10và z z 25
Bài 9: (ĐH-2009D)Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện: z (3 4 )i 2
Lop12.net