Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc t-ơng ứng Các sai lầm th-ờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp[r]
Trang 1GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 2
Mục lục
Trang
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi 7
Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A r n và Pn 10
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ 17
Các sai lầm th-ờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp 25 Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề 26
Vấn đề 5: Chứng minh một hệ thức bậc hai của C n k 30 Vấn đề 6: Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa C n k 32
Vấn đề 8: Tìm hệ số của một luỹ thừa trong một biểu thức khai triển 36
Vấn đề 10: Tính các tổng C bằng ph-ơng pháp đạo hàm và tích phân n k 41
Trang 2GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 3
Lời nói đầu
1 Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đ-a ra những ph-ơng pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh khi học tập môn toán Trong ch-ơng trình toán ở tr-ờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung khó
đối với học sinh Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau không thấy được đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này th-ờng gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên th-ờng gây đ-ợc sự hứng thú trong học tập cho học sinh Chính vì vậy, việc h-ớng dẫn và đ-a ra ph-ơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp
là hết sức cần thiết Nó đòi hỏi ng-ời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả năng s- phạm của mình
Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các ph-ơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho sáng kiến kinh nghiệm của mình Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các tr-ờng Cao đẳng hay Đại học
2 Mục đích, nhiệm vụ và đối t-ợng nghiên cứu
2.1 Mục đích nghiên cứu:
Phát hiện và hệ thống hóa những ph-ơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở tr-ờng THPT
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu và đ-a ra các ph-ơng pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp
2.3 Đối t-ợng nghiên cứu:
Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của hàm
số (tùy mức độ nhận thức của học sinh)
3 Ph-ơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp
4 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:
Mở đầu
Ch-ơng I: Khái niệm mở đầu
Ch-ơng II: Chỉnh hợp – hoán vị
Ch-ơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton
Kết luận sáng kiến kinh nghiệm
Trang 3GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 4
A Cơ sở lý thuyết
I Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử
Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết d-ới dạng (a1, a2,…, ak,…, an) gọi là một bộ sắp thứ
tự gồm n phần tử hay gọi tắt là bộ n sắp thứ tự
II Quy tắc cơ bản của phép đếm
1 Qui tắc nhân của phép đếm
Giả sử một hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác nhau để thực hiện giai đoạn A, một khi đã thực hiện xong A ta có n cách thực hiện giai đoạn B, một khi đã thực hiện xong B ta có p cách thực hiện giai đoạn C …thì ta có tất cả m n p cách
chọn để th-c hiện hành động H
2 Qui tắc cộng của phép đếm
Nếu r tập hợp A1, A2,… Ar đôi một rời nhau lần l-ợt có số phần tử là n1, n2 ,… n r thì phần hợp
của các tập hợp này có số phần tử là n1 + n2 +… + n r
B ph-ơng pháp giải toán
Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân
Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các giai
đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm
Ví dụ 1 Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ng-ời tham dự Mỗi ng-ời chơi
đúng một bàn với người khác Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt
Giải
Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn)
• Với ng-ời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh Còn lại 2n – 2 ng-ời ch-a
đấu, nên
• Với ng-ời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh Còn lại 2n – 4 ng-ời ch-a đấu
• Với ng-ời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh
………
• Với người thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại
Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi
Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng
Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo
n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một
trong hai công việc
Ví dụ 1 Nếu th- viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có
85 + 63 = 148 cách để m-ợn một quyển Toán hoặc Lí từ th- viện
Trang 4GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 5
Ví dụ 2 Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ?
Giải Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) rồi ng-ợc dòng thời gian trở về quá khứ thì khi
số năm là bội của 12 là năm Tuất Ta có tất cả
12
2006 = 167 năm Tuất Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất
Bài Tập
1.1 Có bao nhiêu số chẵn , lớn hơn 5000 , gồm 4 chữ số khác nhau
HD : Chữ số hàng ngàn 5 và chữ số hàng đơn vị là chẵn
+ Có 3.5.8.7 = 840 số chẵn bắt đầu bằng chữ số lẻ
+ Có 2.4.8.7 = 448 số chẵn bắt đầu bằng chữ số chẵn
Vậy tổng cộng có 1288 số
1.2 Giả sử p1,p2, , p n là các số nguyên tố khác nhau Hỏi có bao nhiêu -ớc số của số
1k 2k k n
n
q p p p ĐS: (k1 + 1) (k2 + 1 )… (k n + 1)
1.3 Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập đ-ợc bao nhiêu:
a) Số tự nhiên gồm có ba chữ số khác nhau;
b) Số tự nhiên gồm có hai chữ số khác nhau;
c) Số tự nhiên
ĐS: a) 6 số; b) 6số; c) 15 số
1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau đ-ợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
H-ớng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng ab Xét các tr-ờng hợp của b ta có 13 số
1 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu
a) Số đó nằm từ 200 đến 600
b) Số đó gồm 3 chữ số
c) Số đó gồm 3 chữ số khác nhau
ĐS : a) 32 b) 64 c) 24
1.6 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.108 chia hết cho 3 có thể viết bởi các chữ số 0, 1, 2
ĐS : 4373
Trang 5
GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 6
Ch-ơng II chỉnh hợp - hoán vị
a Cơ sở lí thuyết
I kháI niệm về giai thừa
1 Định nghĩa: Với n ,n 1
Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n đ-ợc gọi là n - giai thừa Ký hiệu: n!
! 1.2
* Quy -ớc: 0! = 1 và 1! = 1
2 Tính chất
* ! (n n 1)!.n * ! ( 1)( 2)
n
!
( )!
n
n k
Ii chỉnh hợp
1 Định nghĩa
Cho một tập A có n phần tử Một chỉnh hợp n chập r (r n) của n phần tử là một bô sắp thứ tự gồm r phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho
2 Tính chất
Hai chỉnh hợp n chập r của n phần tử là khác nhau nếu
- Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau
- Hoặc chúng gồm r phần tử nh- nhau nh-ng sắp xếp theo thứ tự khác nhau
3 Số chỉnh hợp chập r của n phần tử là
A r n = n(n – 1)(n – 2) (n – r + 1) !
( )!
n
n k bằng tích của r số nguyên d-ơng liên tiếp
Iii hoán vị
1 Định nghĩa
Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là một chỉnh hợp n chập n )
2 Số cách hoán vị n phần tử là Pn = n! (nghĩa là bằng tích của n số d-ơng đầu tiên )
Trang 6
GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 7
b ph-ơng pháp giải toán
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi
Ví dụ 1 Cho một đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 với điểm
đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác?
Giải
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì không thẳng hàng Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập đ-ợc là một chỉnh hợp chập
2 của 15 phần tử Vậy số vectơ là: 152 15! 15.14 210
(15 2)!
Ví dụ 2 Có thể lập đ-ợc bao nhiêu số với ba chữ số khác 0 cho tr-ớc
Giải
Mỗi số có r chữ số là một chỉnh hợp chập r của 3 số đã cho (r 3) Vậy có A13 số với 1 chữ
số , A32 số với 2 chữ số , A33 số với 3 chữ số Tổng cộng có
A13 + A23 + A33 = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số
Ví dụ 3 Trong một tr-ờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, một môn chính và một môn phụ Hỏi có mấy cách chọn?
Giải
Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử.Vậy có :
A23 = 3.2 = 6 cách chon
Ví dụ 4 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đ-ợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau
Giải
- Ta sẽ chọn đ-ợc một số nh- vậy bằng cách chọn một trong 3 chữ số chẵn 0, 2, 4 làm chữ số hàng đơn vị rổi ghép với một chỉnh hợp chập 4 của 5 chữ số ch-a dùng đến có 3.A45 số nh- vậy
- Nh-ng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nh- vậy đ-ợc lập bằng cách chọn một trong hai
số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 ch-a dùng đến, và cuối cùng đặt số 0 tr-ớc 4 số đó có 2.A34 số nh- vậy
- Vậy có 3.A54 – 2.A34 = 5.4.32
.2 – 4.3.22
= 312 số
Ví dụ 5 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số
khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,
Giải
- Ta sẽ đ-ợc một số nh- vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A46 số nh- vậy
Trang 7GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 8
- Nh-ng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nh- vậy đ-ợc thành lập bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt chữ số 0 tr-ớc 4 chữ số đó Có 4A35 số nh- vậy
- Vậy ta có 5A46 – 4A35 = 6.52
.4.3 – 5.42
.3 = 1560 số
Bài tập 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó
a) Có một chữ số 1
b) Có chữ số 1 và các chữ số dều khác nhau
HD & ĐS :
a) Có cả thảy 4.73 = 1372 số trong đó có 3.72 = 147 số bắt đầu bằng 0 Còn lại
1372 – 147 = 1225 số
b) Có tất cả 4A = 840 số trong đó có 3A = 90 số bắt đầu bằng 0 Còn lại 840 – 90 = 750 số 2.2 Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau
HD & ĐS : A104 – A39 = 4536
2.3 Từ sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9
a) Có bao nhiêu gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra ?
b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ?
c) Có bao nhiêu số chẵn ?
d) Có bao nhiêu số lẻ ?
e) Có bao nhiêu số là bội số của 5 ?
ĐS : a) A36 = 120 b) 2A25 = 40 c) 2A52 = 40
d) 120 – 40 = 80 e) 1A25 = 20
2.4 Tìm tất cả các số nguyên d-ơng có 3 chữ số khác nhau
a) Có bao nhiêu số lớn hơn 700 ?
b) Có bao niêu số lẻ ?
c) Có bao nhiêu số chẵn ?
d) Có bao nhiêu xố chia hết cho 5 ?
ĐS : a) 3.8.9 = 216 b) 8.8.5 = 320
c) 9.8.1 + 8.8.4 = 256 d) 9.8.1 + 8.8.1 = 136
2.5 Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng đầu và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái đ-ợc lấy
từ 26 chữ cái A, B, …, Z Các chữ số được lấy từ 0, 1, …, 9
a) Có bao nhiêu biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác nhau
b) Có bao nhiêu biển số có 2 chữ cái khác nhau đòng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ
đó khác nhau
ĐS a) 3 420 000 biển số b) 487 500 biển số
2.6 Có bao nhiêu số d-ơng bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một khác nhau
ĐS : 738 số
2.7 Từ X = {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập đ-ợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5
ĐS : 54 số
2.8 Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau
ĐS : 1260 số
Trang 8GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 9
Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị
Ví dụ 1 Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo d-ợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ?
Giải
Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử Vậy có :
P 3 = 3! = 6 số
(các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321 )
Ví dụ 2 Ng-ời ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề, mỗi chủ đề gồm 10 câu hỏi Cần sắp xếp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kề nhau
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải
Chủ đề 2, 3 đứng tuỳ ý : tr-ớc tiên, sắp theo chủ đề, đây là hoán vị của 4 chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, mỗi chủ đề có 10! cách Vậy có :
4!5.10! = 120.10! cách
Chủ đề 2, 3 đứng kề nhau : Xem chủ đề 2 và 3 là một phần tử, ta có hoán vị của 3 phần tử (2,3), 4, 5 hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, có : 5.10! cách Nên có :
2.3!.5.10! = 60.10! cách
Vậy số cách sắp theo yêu cầu là :
120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách
Ví dụ 3 Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kính th-ớc khác nhau đôi một Có bao nhiêu cách sắp
các bi này thành một hàng sao cho hai bi cùng mầu không đ-ợc nằm kề nhau
Giải
Xét một hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, mỗi ô đ-ợc đánh số từ 1 đến 10
- Lấy 5 bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách Sau đó lấy 5 bi trắng bỏ vào 5
vị trí còn lại ta cũng có 5! cách Vậy tr-ờng hợp này có 5!.5! cách
- Lập luận t-ơng tự lấy 5 bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy 5 bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cũng
có 5!.5! cách
Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là :
2.5!.5! = 28 800 cách
Ví dụ 4 a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn
b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành một chuỗi
c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh
Giải
Trang 9GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 10
a) Vị trí t-ơng đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc phần tử đầu tiên) Vậy số cách sắp xếp là
n
n !
= (n – 1)!
Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng của n phần tử là Pn – 1 = (n – 1)! ''
b) Với cách xâu nhất định, khi ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đ-ợc một cách hoán vị khác mỗi cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất cả
2
1
Pn - 1 =
2
! 1
n
cách xâu c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi số đa giác là
2
! 1
n
Bài tập
2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5
HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0 Vậy có 6! – 5! = 720 số
2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh l-u niệm, biết rằng trong đó có 3 em không đứng xa nhau
HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt Với mỗi cách trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó Vậy có 5!.3! = 720
2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ng-ời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu
a) Các học sinh ngồi tuỳ ý
b) Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn
ĐS : a) 10! = 3 626 800 cách
b) 2!.5!.5! = 28 800 cách
2.12 Từ X = {1, 2, 3, 4,5, 6} thiết lập các chữ số khác nhau Hỏi trong các số lập đ-ợc có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạch nhau
ĐS : 480 số
2.13 Xét các số gồm chín chữ số trong đó có 5 số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số mà
a) Năm chữ số một xếp kề nhau
b) Các chữ số đ-ợc xếp tuỳ ý
ĐS : a) 120 số b) 3024 sô
2.14 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần
ĐS : 720 số
Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A r n và Pn
Ví dụ 1 Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đ-ợc lập từ 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Giải
Gọi n = a1a2a3a4a5 Số các số n là A56 =
! 1
! 6 = 720 số
Trang 10GV Dương Đỡnh Chiến – Trường THPT Chi Lăng 11
Xét các chữ số hàng dơn vị, mỗi chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 xuất hiện
6
720 = 120 lần
Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là :
120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 120.28 = 3360
T-ơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 3360.10
tổng các chữ số hàng trăm là: 3360.102
tổng các chữ số hàng ngàn là: 3360.103
tổng các chữ số hàng vạn là: 3360.104
Do đó S = 3360(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 3360.11111 = 37 332 960
Ví dụ 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau Tính tổng các số trên
Giải
Gọi n = a1a2a3a4a5 và X = {5, 6, 7, 8, 9}
Số các số n chọn từ X là 5! = 120
Xét các chữ số hàng đơn vị, do số lần xuất hiện của 5 loại chữ số bằng nhau nên mỗi chữ số xuất hiện
5
120
= 24 lần
Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là :
24(5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 24.35 = 840
T-ơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 840.10
tổng các chữ số hàng trăm là: 840.102
tổng các chữ số hàng ngàn là: 840.103
tổng các chữ số hàng vạn là: 840.104
Do đó S = 840(1 + 10 + 102
+ 103
+ 104
) = 840.11111 = 9 333 240
Ví dụ 3 Chứng minh rằng tích P = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hết cho tích P = 1.3.5…(2n –1) Tính th-ơng số
Giải
Ta có (n!)P = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)]
= P.2n
.n!
'
P
P
= 2n
Ví dụ 4 GiảI bất ph-ơng trình : A3
x + 5A2x 21x
Giải
Điều kiện x N và x 3
A3x + 5A2x 21x
! 3
!
x
x
+ 5
! 2
!
x
x 21x x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) 21x
(x -1)(x – 2) + 5(x – 1) 21 (do x 3 )
x2+ 2x – 24 0
–6 x 4
Do x N và x 3 nên x = 3, x = 4 là nghiệm