100 bài bất đẳng thức

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT.. “Vì chất lượng thật trong giáo dục”.[r]

100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

1 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh: 3

2

b c c a a b

2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 y2 z2  3

Chứng minh : xy yz  zx 3

z x y

3 Cho x, y, z >0 thoả x y z   1 Chứng minh: 1 4 9

36

  

x y z

4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz (x y z y z x z)(   )(  x y)

5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh :   1 1  1 1  1 11

6 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh : 3 1 3 1 3 1 3

a b c b c a c a b

7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z   2

Chứng minh : 3

2

8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a 2 +b 2 +1 ab+a+b

b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2  a(b+c+d+e)

c) a 3 +b 3  ab(a+b)

d) a 4 +b 4  a 3 b+ab 3

9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a+b+c) 2  3(ab+bc+ca)

b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 ) 6abc

10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2

Chứng minh rằng: a 4 +b 4  a 3 +b 3

b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3

Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4  a 3 +b 3 + c 3

11.Cho a,b,c là các số dương,

Chứng minh rằng:

1 a b c 2

12 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :

1 a b c d 2

13 Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a) bc ac ab a b c

b) ab bc ca a b c

 

c) a3 b3 c3 ab bc ca

14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a)a22 b22 a b

b  a  b a

b)a2 b2 c2 a b c

c) a2 b2 c2 a b c

 

15 Cho x y z, ,  0 và xyz 1 Chứng minh:

16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da   1 Chứng minh:

3 3 3 3 1

3

17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:

1 1 1 27 2

18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2 y2 z2 3. Chứng minh: xy  yz  zx 3

z x y

19 Cho cỏc số dương x, y, x thỏa xyz = 1 Chứng minh:

5 5  5 5  5 5 1

20 Cho a b c, , 0. Chứng minh:

4 4 14  4 4 14  4 4 14  4 4 14  1

a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd

21 Cho x, y, z là cỏc số dương Chứng minh:

3

22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:

x y z

yz zx zx

23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2b2 c2  2(ab ac )

24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh:

2 2 2 3.

2

25 Chứng minh rằng :

a) ;

2

b)

2

26 Chứng minh m,n,p,q ta đều có

m + n + p + q +1 m(n + p + q + 1)2 2 2 2

27 Cho a, b, c, d,e là các số thực,

Chứng minh rằng

a) a2 b2 ab

4

b)a2 b2 1 ab a b 

c)a2b2 c2d2e2 a b c d e    

28 Chứng minh rằng: a10 b10a2 b2  a8 b8a4 b4

29 Cho x.y =1 vµ x.y = 1 Chøng minh x2 y2

x y



30 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng

(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

31 Cho a>b>c>0 vµ a2 b2 c2 1 Chøng minh r»ng:

3 3 3 1

2

b c a c a b

32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:

a b  c d a b c b c d d c a 10

33 Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

(a c) 2 (b d) 2  a2 b2  c2 d2

34 Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a32b32c3  3 a b b c c a2  2  2

35 Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng

36 Cho < vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng: <a

b

c d

a

d



37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 1 1 1 3

38 Chøng minh r»ng:

1 1 1   ( Víi n lµ sè nguyªn dương)

39 Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng:

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

40 Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1

Chøng minh r»ng

(1)

9

41 Chøng minh r»ng

12 12 12 2 1 ( )

n

42 Cho nN vµ a+b> 0

n

a b 2



2



43 Cho abc = 1 vµ a3 36 Chøng minh r»ng: a2 b 2 +c 2 > ab + bc + ac

3 

44 Chøng minh r»ng

a) x4 y4z2  1 2x.(xy2   x z 1)

b) a2 5b2 4ab 2a 6b 3 0   

c) a22b2 2ab 2a 4b 2 0   

45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng

 

 

2

2 2 2

8

x y







46 Cho xy 1 Chøng minh r»ng 

1 2 1 2 2

1 xy



47 Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1

Chøng minh r»ng a2 b2 c2 1

3

48 Cho 0 < a, b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a32b32c3 3 a b b c c a2  2  2

49 Cho a ,b ,c ,d > 0 Chøng minh r»ng:

2        3

a b c b c d c d a d a b

50 Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c

Chøng minh r»ng:

1   2

b c c a a b

51.Chøng minh:

a) 1 1 1 1

1.3 3.5  (2 1).(2 1) 2

b) 1 1 1 1 2

1.2 1.2.3 1.2.3

n

52.Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c       , ,  0

a b c

53.Chứng minh rằng:

a b c b c a abc

b c a a b c

54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác CMR:

a) p a p b p c        18abc;

b) 1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

55 Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng:b c a c a b a b c         abc

56 Cho a>0, b>0 Chứng minh: 1 3

57.Chứng minh rằng: 2 2 2 , , 0

2

 

a b b c c a

58 Cho x y z, ,  (0;1) và xy yz zx   1 Chứng minh:

2 2 2 3 3

2

59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c

60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc

61 Cho ∆ABC Chứng minh :

 2  2  2      

p a p b p c

62 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:

1 1 1 1

2 a2 b2 c 

63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh

3 3 3

2 2 2

    

a b c

a b c

b c a

64.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 4 4 4 3 3 3

2  2  2   

a b c a b c

b c a b c a

65 Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 13    13 13 12  12  12

66.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: a4  b4  c4  13  13  13

67.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: a25  b52  c25  a4 b4  c4

68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

a52 b52 c25 13 13 13

b c a a b c

69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

a2 b2 c2 1 1 1

b  c a   a b c

70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2 2

      

a b c

a b c

a b c abc

71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh

  4  4 4

a a b c b b c a c c a b

72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a3   b3 c3 ab2 bc2 ca2

73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a4 b4 c4 ab3 bc3 ca3

74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a5  b5 c5 a b3 2b c3 2c a3 2

75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là cỏc số nguyờn dương Chứng minh:

a n k b n k c n k a b n k b c n k c a n k

76.Cho a>0, b>0

Chứng minh: 4 4 4

   

  

a b a b

77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2

2 2 2

     

  

a b c a b c

78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

     

  

n

a b c a b c

79 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

3 3 3 2 2 2 2 2 2

80 Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:

1 1 1

1

81 Cho x, y, z laứ ba soỏ thoỷa x + y + z = 0 Chứng minh raống :

3 4  x  3 4  y  3 4  z  6

82 Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a b c   1 Chứng minh rằng:

2 7 .

27

ab bc ca abc

83 Cho x , y , z là ba số thực thỏa món : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 Chứng minh rằng:

    

x y z y z x z x y  5 5 5

4

84 Cho a, b, c là cỏc số thực dương Chứng minh rằng:

4 4 3

85 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:

 3 3 3

2

b c c a a b

86 Cho a,b,c là cỏc số dương thỏa món a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

87 Cho cỏc số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:

.

2  2  2   

88 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , thỏa món a2 b2 c2  1, ta cú:

3

89 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng :

a b c b c a c a b 

90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món ab + bc + ca = 3.

Chứng minh rằng: 2 3 2 3 2 3 3

b c a 

91 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 32 x2 23 y2 23 z2 12 12 12

92 Cho a, b,c là cỏc số khụng õm Chứng minh rằng

93 Cho cỏc số dương a b c ab bc ca, , :   3.

Chứng minh rằng: 21 21 21 1

94 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.

Chứng minh rằng :

2

95 Cho 3 số dương a,b,c thoả món: ab + bc + ca = abc Chứng minh:

  

a a b b c c

96 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

32 2  23 2  32 2  12  12  12

y

97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1 Chứng minh rằng:

  

98 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1.Chứng minh rằng :

4 4 4

x y z  y z x  z x y

4

x  y  z

99 Cho a, b, c là những số dương thoả mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng 10a 3b 2009 3

3b 2009c 2009c 10a 10a 3b   2

100 Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

9

  

x y z x y y z x z