100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC docx

Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác... Cho n,k là cỏc số nguyờn dương.. Chứng minh rằng:... Cho a,b,c là ba số thực dương.

100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

1 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh: 3

2

b c c a a b

2 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2  y2 z2 3

Chứng minh : xy  yz  zx  3

z x y

3 Cho x, y, z >0 thoả xy z 1 Chứng minh: 1 4 9

36

  

x y z

4 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh: xyz(x yz y)( z x z)( x y)

5 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh : 1 1 1

 a b  b c  c a 

6 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh :

(  )  (  )  (  )  2

a b c b c a c a b

7 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz  x  y   z 2

Chứng minh : 3

2

8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2+b2+1 ab+a+b

b) a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)

c) a3+b3  ab(a+b)

d) a4+b4 a3b+ab3

9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a+b+c)2  3(ab+bc+ca)

b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6abc

10 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2

Chứng minh rằng: a4+b4 a3+b3

b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3

Chứng minh rằng: a4+b4+c4 a3+b3+ c3

11.Cho a,b,c là các số dương,

Chứng minh rằng:

a b c

a b b c a c

12 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :

a b c d

a b c b c d c d a d a b

13 Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a) bc ac ab

a b c

a  b  c   

b) ab bc ca a b c

 

c)

ab bc ca

b  c  a   

14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

a)

b  a  b  a

b)

a b c

b  c  a   

c)

 

15 Cho x y z , , 0 và xyz 1 Chứng minh:

3 (1  )(1  )  (1  )(1  )  (1  )(1  )  4

16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab  bc  cd  da  1 Chứng minh:

1 3

b c d c d a a b d a b c

17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:

2

(  )  (  )  (  )  2(    )

a a b b b c c c a a b c d

18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2  y2  z2  3. Chứng minh: xy  yz  zx  3

19 Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1 Chứng minh:

x xy y y yz z z zx x

20 Cho a b c , ,  0. Chứng minh:

a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd

21 Cho x, y, z là các số dương Chứng minh:

3

       

22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:

x y z

yz zx zx

23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2  b2 c2  2( ab  ac )

24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 Chứng minh:

3 2

1   1   1  

25 Chứng minh rằng :

a)

2

;

b)

2

26 Chứng minh m,n,p,q ta đều có

m2+ n2+ p2+ q2+1 m(n + p + q + 1)

27 Cho a, b, c, d,e là các số thực,

Chứng minh rằng

a)

2

4

b)a2 b2  1 ab   a b

c) 2 2 2 2 2  

a  b  c  d  e  a b   c d  e

28 Chứng minh rằng:  10 10 2 2  8 8 4 4

a  b a  b  a  b a  b

29 Cho x.y =1 và x.y = 1 Chứng minh

x y



  2 2

30 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng

(a+b)(b+c)(c+a)  8abc

31 Cho a>b>c>0 và a2 b2 c2  1 Chứng minh rằng:

1 2

b c a c a b

32 Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 Chứng minh rằng:

a  b  c  d  a b  c  b c  d  d c  a  10

33 Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

(a  c)2 (b  d)2  a2  b2  c2 d2

34 Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a3 2b3 2c3  3 a b2  b c2  c a2

35 Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng

a b c b c d c d a d a b

36 Cho a

b<

c

d vµ b,d > 0 Chøng minh r»ng:

a

b< 2 2

ab cd c

d







37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 1 1 1 3

2  n 1   n  2   n  n  4

38 Chøng minh r»ng:

1 1 1 1 2  n 1 1 

       ( Víi n lµ sè nguyªn dương)

39 Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng:

a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

40 Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1

Chøng minh r»ng

9

a 2bc b 2ac c 2ab

(1)

41 Chøng minh r»ng

2

n

     (nN; n 1)

42 Cho n  N vµ a+b> 0

Chøng minh r»ng

n

a b 2





n n

2

 (1)

43 Cho abc = 1 vµ a3 36 Chøng minh r»ng:

2 a

3 b

2+c2> ab + bc + ac

44 Chøng minh r»ng

a) x4 y4  z2   1 2x.(xy2  x   z 1)

b) a2 5b2 4ab  2a  6b   3 0

c) a2 2b2 2ab  2a  4b   2 0

45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng

 

2

2 2

2

8

x y







46 Cho xy  1 Chøng minh r»ng

1 xy



47 Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1

Chøng minh r»ng 2 2 2 1

3

48 Cho 0 < a, b,c <1 Chøng minh r»ng:

2a3 2b3 2c3  3 a b2  b c2  c a2

49 Cho a ,b ,c ,d > 0 Chøng minh r»ng:

2          3

a b c b c d c d a d a b

50 Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c

Chøng minh r»ng:

1    2

b c c a a b

51.Chøng minh:

a) 1 1 1 1

1.3  3.5   (2 n  1).(2 n  1)  2

b) 1 1 1

1.2 1.2.3 1.2.3

n

52.Chứng minh rằng: bc  ca  ab    a b c  a b c , ,  0

53.Chứng minh rằng:

2 2 2

2  2  2      0

abc

54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác CMR: a)       1

8

p a  p b p c    abc;

b) 1 1 1 2 1 1 1

55 Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: b c a c a b a b c           abc

56 Cho a>0, b>0 Chứng minh: 1 3

57.Chứng minh rằng:

, , 0 2

 

a b c

a b b c c a

58 Cho x y z , , (0;1) và xyyzzx1 Chứng minh:

2 2 2 3 3

2

1   1   1  

59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng:

a b c

b c a    c a b a b c         60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc

61 Cho ∆ABC Chứng minh :

p a p b p c

p a   p b   p c     

62 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:

1 1 1

1

2  a  2  b  2  c 

63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh

3 3 3

2 2 2

    

64.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

4 4 4 3 3 3

2  2  2   

65 Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 3 3 3 2 2 2

a b c a b b c c a

66.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: 4 4 4 13 13 13

67 Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

5  5  5  4  4  4

68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2 2

5 5 5 3 3 3

1 1 1

b c a a b c

69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2 2

1 1 1

a b c

b  c  a   a b  c

70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

3 3 3

2 2 2

2 2 2

      

71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giỏc Chứng minh

b c a c a b a b c

a a b c b b c a c c a b

72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 3 3 3 2 2 2

    

73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 4 4 4 3 3 3

    

74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: a5 b5 c5 a b3 2 b c3 2 c a3 2

75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k là cỏc số nguyờn dương Chứng minh:

  

a b c a b b c c a

76.Cho a>0, b>0

Chứng minh:

4

4 4

   

  

 

77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2

2 2 2

     

78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

     

n

79 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

80 Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng:

1 1 1

1

81 Cho x, y, z laứ ba soỏ thoỷa x + y + z = 0 Chứng minh raống :

3 4  x  3 4  y  3 4  z  6

82 Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a  b c 1 Chứng minh rằng:

7

2

27

ab bc ca abc

83 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = 1 Chứng minh rằng:

    

4

84 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

3

a b   b  c  c  a 

85 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:

 3 3 3

2

b c c a a b

a b c

86 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

      3

87 Cho các số thực dương x y z Chứng minh rằng: , ,

x y z

x y z

88 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c, , thỏa mãn 2 2 2

1

a b c  , ta có:

3

89 Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = 1 Chøng minh r»ng :

3 1 3 1 3 1 3

90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3

Chứng minh rằng:

3

b   c   a  

91 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 32 x2 23 y2 32 z2 12 12 12

x y  y z z x  x  y z

92 Cho a, b,c là các số không âm Chứng minh rằng

a b c b c a c a b

93 Cho các số dương a b c ab , , :  bc  ca  3.

Chứng minh rằng: 21 21 21 1

.

1  a b (  c )  1  b c (  a )  1  c a b (  )  abc

94 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1

Chứng minh rằng :

2

95 Cho 3 số dương a,b,c thoả món: ab + bc + ca = abc Chứng minh:

  

a a b b c c

96 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

2

y

97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1 Chứng minh rằng:   

98 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2-x + 2-y +2-z = 1.Chứng minh rằng :

x y z  y z x  z x y

4

99 Cho a, b, c là những số dương thoả mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng 10a 3b 2009 3

3b  2009c  2009c 10a   10a  3b  2

100 Cho ba số dương x y z , , Chứng minh rằng:

9

  

x y z x y y z x z