MÔT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn không âm. Bài 3: Cách làm tương tự bài 3[r]

MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS

1) Định nghĩa bất đẳng thức

+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b

+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,

2) Một số tính chất của bất đẳng thức:

a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu)

b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c

Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì

thì bất đẳng thức không đổi chiều

c) Nếu a>b+c thì a-c>b

Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này

sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó

d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d

Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được

một bất đẳng thức cùng chiều

Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều

e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d

Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta

đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc

Nếu a>b và c<0 thì ac

Tức là:

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng

thức không đổi chiều

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng

thức đổi chiều

g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd

Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế

đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều

Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược

chiều

h) Nếu thì

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy

nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức

k) Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì

Nếu a>b và n nguyên dưong thì

1 Phương pháp sử dụng định nghĩa

Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc )

- Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

- Ví dụ :

Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi

là bất đẳng thức Ơclit )

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b

Giải:

Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b

2 Phương pháp biến đổi tương đương

- Để chứng minh

ta biến đổi tương đương

trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức

- Một số hằng đẳng thức thường dùng :

(A+B)2=A2+2AB+B2

(A-B)2=A2-2AB+B2

(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

Ví dụ:

Chứng minh rằng thì

Giải.

Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:

(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

3 Phương pháp quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1

bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên

chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học

- Ví dụ :

Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.

Với

thì

Giải:

Dùng phương pháp quy nạp:

+ Với n = 2 đúng

+ Với n = k đúng cần chứng minh

(để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì

4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy:

Với 2 số a,b không âm ta có:

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Chứng minh:

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):

Cho n là số tự nhiên thì

Dấu "=" xảy ra khi

Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng:

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 3 số dương ta có:

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Cách khác:

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

5 Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski

Cho a, b, c là số thực thì

hoặc viết

Dấu "=" xảy ra khi

Tổng quát:

Dấu "=" xảy ra khi

Giải:

6 Phương pháp phản chứng.

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,

ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn 3 bất

đẳng thức:

Giải:

Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức

Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

Mà theo bất đẳng thức Cô-sy thì

Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn bất đẳng thức trên

7 Phương pháp làm trội, làm giảm.

Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

Ví dụ: Với n là số tự nhiên thì:

Với số tự nhiên k>1 ta có:

Thay k = 2,3,4 n rồi cộng các 2 vế của các bất đẳng thức ta được:

8 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số:

Để chứng minh b < f(x) < a với mọi x ta đặt y = f(x) <=> y - f(x) = 0 có nghiệm

<=> b < f(x) < a Từ đó suy ra đpcm

Ví dụ: Chứng minh rằng:

(x;y) thỏa mãn (*) khi và chỉ khi phương trình:

có nghiệm

có nghiệm Với y= 1 thì x = 0

Với y khác 1 thì

9 Phương pháp dùng tính chất tỉ số:

Nội dung: Cho ba số a,b,c >0 ta có:

Nếu thì

Nếu thì

Nếu d > 0 và thì

Ví dụ: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng:

Giải: Ta có:

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

10 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.

a/

b/

d/ dấu = khi A.B >0

e/ dấu = khi A>B>0 hoặc A<0

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Giải: Ta có:

BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

Bài 1: Cho hai số thực.

Chứng minh rằng :

Bài 2: Cho ba số thực Chứng minh rằng :

Bài 3: Cho 5 số thực

Cmr :

Bài 4: Cho các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

Bài 5: Cho Chứng minh rằng :

Bài 6: Cho Chứng minh rằng :

Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh:

Bài 8: Cho Chứng minh:

Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh

rằng:

Bài 11: Cho Chứng minh :

Bài 12: Cho ba số thực dương Cmr :

Bài 13: Cho a,b,c > 0 và Cmr :

Híng dÉn gi¶i

Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý không dùng bất

đẳng thức Cosi vì bài không cho a, b không âm

Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình

phương luôn không âm

Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số không âm.

Bài 6 : Biến đổi tương đương

Biến đổi tạo thành biểu thức không âm

Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :

Bài 8: Tương tự bài 7

Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: (đã chứng minh bài 8)

Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử:

(p là nửa chu vi )

Bài 10:Biến đổi

lại áp dụng bài 8 là xong

Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.

Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành

Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !

Bài 13 : BĐT

áp dụng bài 11 xong !