Chuyên đề Khoảng cách và góc

Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của ABC.. Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo y  t.[r]

Khoảng cách và góc Loại 1 Khoảng cách

A Tóm tắt lý thuyết

Cho điểm M x ;y 0 0, đường thẳng  : ax  by   c 0 (a 2  b 2  0) Khi đó khoảng cách

d M;  từ M đến  được tính bởi công thức

| ax by c |

d M;

 



B Các ví dụ

Ví dụ 1 [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

1) M 13;14  và  : 4x  3y 15   0

2) M 5; 1   và : x 7 2t

y 4 3t

 



 

  



Giải

1)   4.13 3.14 15

2 2

4 3



2) Từ PTTS của , khử tham số t, ta được:

y 4

x 7



    : 3x  2y 13   0

   3.5 2.   1 13



Ví dụ 2 [ĐHA06] Cho các đường thẳng d : x 1  y  3  0, d : x 2  y  4  , 0 d : x 3  2y  0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ 3 M đến đường thẳng d 1

bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2

Giải

3

M  d  tọa độ M có dạng M 2a;a 

Ta có  1 2a a 3 3 a 1

1 1



 

2a a 4 a 4 2

2 1

 

Do đó d M;d 1 2d M;d 2  3 a 1 a 4

  3 a 1   2 a  4

    





 a 11

a 1

 



 



 

M 2;1





Vậy M 22; 11   hoặc M 2;1 

Ví dụ 3 [SGK10NC] Cho ba điểm A 3;0 , B 5;4 và P 10;2  Viết PTĐTH đi qua P

đồng thời cách đều A và B

Giải

Giả sử  là đường thẳng cần tìm  đi qua P  phương trình  có dạng

: a x 10 b y 2 0

     (a 2  b 2  0 )   : ax  by 10a   2b  0

Ta có   3a 10a 2b 7a 2b

d A;   d B;   7a  2b  15a  2b  7a 2b 15a 2b

7a 2b 15a 2b







 b 2a

a 0











* Xét trường hợp b  2a: cho a  1  b  2  x  2x 14   0

* Xét trường hợp a  0 (  b  0):  : by  2b   0  : y   2 0

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC Biết A 2;0, B 4; 2  , S ABC  10 và C nằm trên đường thẳng d : y  x

Giải

S  AB.d C; AB  d C; AB   2SABC AB Lại có AB  6; 2  



AB  2 10  d C; AB  10  1

AB : 



  AB : x  3y  2  0 C  d  tọa độ C có dạng a;a 

  a 3a 2 2 2a 1  

1 3



Từ  1 và  2 suy ra 2 2a 1

10   10  2a 1   5  2a 1 5

2a 1 5

 





  



Vậy C 2;2  hoặc C  3; 3

Ví dụ 5 [ĐHB02] Cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm  1

2

I ;0 , AB: x – 2y  2  và 0

AB  2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng A cĩ hồnh độ âm

Giải

* Gọi H là trung điểm của AB  1

2

2

IH  AD  AH  2IH (do giả thiết

AB  2AD)  1  

 

1 2

5 2

2 2

2 2

IH d I; AB



 

    2 Từ  1 và  2  AH  5

* Ta thấy  AHI vuơng tại H nên 2 2 2 25  

4

AI  AH  HI  3 A  AB  tọa độ A cĩ

dạng A 2a  2;a  5 

2

AI  2a; a 



Từ  3 và  4 suy ra

5a  10a    a 2  2a  0  a 0

a 2





 



thỏa mãn loại

A 2;2





* B  AB, BI 2  AI 2  B 2;2 







 C 3;0 , D I B







 D  1; 2 Vậy A 2;0, B 2;2 , C 3;0 , D  1; 2

: ax by c 0 : ax by c 0







, (a 2  b 2  0) Chứng minh cơng thức tính khoảng cách

 1 2

d   ; giữa  , 1  2

| c c |





Giải

Lấy M x ;y 0 0  2  ax 0  by 0  c 2  0

Ta cĩ d  1 ; 2  d M;  1  0 0 1

| ax by c |



2 2



| c c |





(ĐPCM)

Ví dụ 7 [SGKNC] Viết PTĐTH  ' song song và cách đường thẳng  : ax  by   c 0 một khoảng bằng h cho trước

Giải

'/ /

   phương trình  ' có dạng  ' : ax by   c'  0

d    '; h 

| c c ' |

h







 | c c' | h a   2  b 2 

c c ' h a b

c c ' h a b









c ' c h a b

c ' c h a b











' : ax by c h a b 0 ' : ax by c h a b 0









Vậy  ' : ax by    c h a 2  b 2  0 hoặc  ' : ax by    c h a 2  b 2  0

C Bài tập

Bài 1 Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau

1) M 1;1 , d : x   y 2  0

2) M 2;1 , x 1 y 1

d :  





3) M 1;5 , d : x 2t

y 4 t







 



Bài 2 Cho M x ;y 0 0 Chứng minh d M;Ox  y 0 , d M;Oy  x 0

Bài 3 Cho P 2;5  và Q 5;1  Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng các từ Q

tới đường thẳng đó bằng 3

Bài 4 [CĐ09NC] Cho các đường thẳng  1 :x  2y  3  0 và  2 :x  y   1 0 Tìm toạ độ điểm

M thuộc đường thẳng  sao cho khoảng cách từ điểm 1 M đến đường thẳng  bằng 2 1

2

Bài 5 [ĐHB04] Cho hai điểm A 1;1 , B 4; 3   Tìm điểm C thuộc đường thằng

x – 2y – 1  sao cho khoảng cách từ 0 C đến AB bằng 6

Bài 6 Biết diện tích  ABC là 3

2

S  , A 2; 3  , B 3; 2   và trọng tâm G của tam giác thuộc

đường thẳng có phương trình d : 3x    Tìm tọa độ đỉnh y 8 0 C

Bài 7 [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A 1;4 và các đỉnh B, C thuộc

đường thẳng x    Xác định toạ độ các điểm y 4 0 B và C , biết diện tích tam giác ABC

bằng 18

Bài 8 [ĐHD10NC] Cho điểm A 0;2  và  là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

Bài 9 Cho d : 3x  2y   Viết phương trình đường thẳng 4 0 d ' trong các trường hợp sau 1) d d, d '  2 2) d d, d '  3

D Đáp số

Bài 3 d : x  2  0 hoặc d : 7x  24y 134   0

Bài 4 M 1; 1   hoặc  1 5

M  ; 

C  ; 

Bài 6 C 1; 1   hoặc C  2; 10

2 2

B ; , 3 5

C ; hoặc 3 5

B ; , 11 3

2 2

C ;

Bài 8  : 5  1 x  2 5  2 y  0 hoặc  : 5  1 x  2 5  2 y  0

Loại 2 Phân giác

A Tóm tắt lý thuyết

Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình

1 : a x 1 b y 1 c 1 0

    ,  2 : a x 2  b y 2  c 2  0

Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng là

0

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Cho  ABC với  7

4

A ;3 , B 1;2  và C 4;3 Viết phương trình đường phân giác trong góc A

Giải

Ta có

7

4

1

4

AB :





  AB : 4x  3y  2  0, AC : y  3  0

 phương trình các đường phân giác góc A là

4x 3y 2 y 3

4x 3y 2 y 3

0 0







 

1 2

4x 2y 13 0 d 4x 8y 17 0 d





Ký hiệu F x;y  là vế trái của PTĐTH d , ta có 1 F B F C      5   17 85  0  B và

C nằm về cùng một phía d  1 d là phân giác ngoài góc 1 A  d là phân giác trong góc 2

A

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là d : 4x 2  8y  17  0

Ví dụ 2 Cho  1 : 3x  y  7  và 0  1 : 2x  6y  0

1) Chứng minh  và 1  cắt nhau và viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 2

1

 và  2

2) Xác định phân giác góc tù tạo bởi  và 1  2

Giải



  

   và 1  cắt nhau Phương trình hai đường phân giác của các 2

góc tạo bởi  và 1  là 2

 2  2

0

 4x 4y 7 0 2x 2y 7 0





Vậy phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi  và 1  là: 2

1

d : 4x  4y  7  0 và d : 2x 2  2y  7  0

2) Ta thấy A 0;7    1 Ta có  

 

0 28 7 21 1

2 4 2

2 4

 

2 2



Từ d A;d 1 d A;d 2  d là phân giác góc tù tạo bởi 2  và 1  2

Chú ý: Xét hai đường thẳng cắt nhau  và 1  Giả sử 2 d , 1 d là hai đường phân giác của các 2

góc tạo bởi  và 1  Lấy 2 A     , tính các khoảng cách từ 1 2 A đến d , 1 d Khi đó 2

+) Khoảng cách lớn hơn là khoảng cách từ A đến phân giác góc tù, khoảng cách nhỉ hơn là khoảng cách từ A đến phân giác góc nhọn

+) Hai khoảng cách bằng nhau trong trường hợp    1 2

Ví dụ 3 [SGKNC] Cho hai đường thẳng  1 : x  2y  3  , 0  2 : 3x  y  2  Viết PTĐTH 0

 đi qua điểm P 3;1  và cắt  , 1  lần lượt tại 2 A và B một tam giác cân có đáy là AB

Giải

Ta thấy:  thỏa mãn yêu cầu bài toán   vuông góc với một trong hai phân giác của các góc tạo bởi  và 1  2

Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi  và 1  là 2

x 2y 3 3x y 2

x 2y 3 3x y 2

0

0









1 2







*   d 1   2 2  1;  2  3   : 2 2  1 x  3 2  3 y 1   0

  : 2 2  1 x  2  3 y  5 2  6  0

*   d 2   2 2  1;  2  3   : 2 2  1 x  3 2  3 y 1   0

  : 2 2  1 x  2  3 y  5 2  6  0

C Bài tập

Bài 1 Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng d và 1 d 2

trong các trường hợp sau

1) d : x 1  2y   1 0, d : x 2  3y  3  0

2) d : 1 x 2t

y 4 t







 



, d : x 2  y  7  0

3) d : 1 x 3t

y 4 t







 



, d : 2 x t

y 3t











1

2







2) 1

2

: 2y 11 0 : 2x 3 0







3) 1

2

: x 2y 6 0 : 2x y 6 0







Bài 2 Viết phương trình các đường phân giác trong của  ABC biết rằng các cạnh của nó nằm

trên các đường thẳng có phương trình 3x  4y  0, 4x  3y  0 và 5x 12y 101    0

Bài 3 Cho A 1;2 , B 3; 4   và C  1; 2 Hãy lập phương trình các đường phân giác trong

và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của  ABC

Bài 4 Cho  1 : 3x  y 1   và 0 2 : x 2 t

y t

 







Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo bởi  và 1  2

Bài 5 Lập phương trình đường thẳng qua P 2; 1   sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d : 2x 1  y  5  0 và d : 3x 2  6y   1 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của

1

d và d 2

ĐS: d : 3x y 5 0

d : x 3y 5 0

  







Bài 6 [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C 4; 1, phân giác trong góc

A có phương trình x  y – 5  Viết phương trình đường thẳng 0 BC, biết diện tích tam giác

ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

ĐS: BC : 3x 4y 16    0

Loại 3 Góc giữa hai đường thẳng

A Tóm tắt lý thuyết

* Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b được ký hiệu là  a, b hoặc đơn giản hơn là 

a, b và số đo của nó được định nghĩa như sau:

+) Nếu a và b cắt nhau thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của

các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b

+) Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước số đo góc giữa hai đường thẳng

a và b bằng 0 

* Nhận xét:

+) a, b 90 

+) Gọi u 

và v 

lần lượt là các véc-tơ chỉ phương của các đường thẳng a và b, ta có:

u, v 90 

 

 a, bu, v

   cos a, b  cos u, v   1

 

u, v   90 

 a, b 180  u, v  

 cos a,b  cos 180   u, v    cos u, v   2

Từ  1 và  2  cos a,b  cos u, v  

: a x b y c 0 : a x b y c 0







   a a 1 2 b b 1 2

a 1 b a 1 2 b 2

* Nhận xét:

+) cos  1 , 2 cosn n   1 , 2

, trong đó n  1

và n  2

lần lượt là các véc-tơ pháp tuyến của  và 1  2

+)     1 1 a a 1 2  b b 1 2  0

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Tìm góc giữa hai đường thẳng  , 1  trong các trường hợp sau 2

1) 1 : x 13 t

y 2 2t



 

  



và 2 : x 5 2t '

y 7 t '

 



 



; 2)  1 : x  5 và  2 : 2x  y  14  ; 0

3) 1 : x 4 t

y 4 3t

 



 

  



và  2 : 2x  3y   1 0

Ví dụ 2 [SGKNC] Cho ba điểm A 4; 1  , B 3;2, C 1;6  Tính góc  BAC và góc giữa hai

đường thẳng AB, AC

Ví dụ 3 Cho điểm A 2; 3   Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng

x  3y   2 0 một góc 45 

Ví dụ 4 Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết rằng tam giác này cân tại A, AB,

BC có phương trình lần lượt là y  3x  , x 3  y  và 1 AC qua  7

3

M 0;

Giải

AC qua  7

3

M 0;  phương trình AC có dạng 7b

3

AC : ax  by   0 (a 2  b 2  0)

Đưa phương trình AB, BC về dạng tổng quát ta được: AB : 3x    y 3 0, BC : x    y 1 0

Tam giác ABC cân tại A  ABC   ACB 

 cos ABC   cos ACB 

2 10 2 a 2 b 2





 a 2 2ab b 2 2

a b

 





 3a 2  10ab  3b 2  0  1

* Thay b  0 vào  1 ta được a  0 (loại)

* Nếu b  0 chia hai vế  1 cho b 2 và đặt a

b

t  ta thu được phương trình

2

3t  10t  3  0 

1 3

t

  



  



+) 1

3

t    a 1

b    3 b   3a Cho a  1  b   3  AC : x  3y  7   0 AC không song song với AB (thỏa mãn)

A  AB  AC  A : 3x y 3 0

x 3y 7 0

  







 A 2; 3 

+) t   3  a

b    3 a   3b Cho b   1  a  3  7

3

AC : 3x  y    AC AB 0  (loại) Vậy A 2; 3 

Ví dụ 5 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x – 2y   , BD : x – 7y 14 1 0   , 0 AC đi qua

 

M 2;1 Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Giải

B  AB  BD  B : x – 2y 1 0

x – 7y 14 0

 







 21 13

5 5

AC đi qua M  phương trình AC có dạng: AC : a x  2 b y 1   0

 AC : ax by   2a b   ( 0 a 2  b 2  0)

Ta có: AC, AB  BD; AB  cos AC, AB  cos BD; AB 



 

5.50

5 a b





 7a 2  8ab  b 2  0  1

* Thay b  0 vào  1 ta được a  0 (loại)

* Nếu b  0 chia hai vế  1 cho b 2 và đặt a

b

t  ta thu được phương trình

2

7t  8t 1   0  1

7

t

 





 



+) t   1  a

b    1 a   b Cho b   1  a  1  AC : x    y 1 0  AC không song song với BD (thỏa mãn)

I  AC  BD  I : x y 1 0

x – 7y 14 0

  







 7 5

2 2

I ;







 C 4;3 , D I B







 14 12

5 5

7

t    a 1

b    7 b   7a Cho a  1  b   7  AC : x 7y   5   AC BD 0  , loại

Vậy A 3; 2 , 21 13

5 5

B ; , C 4;3 , 14 12

5 5

Ví dụ 6 [ĐHA12] Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2ND Giả sử 11 1

2 2

M ; và đường thẳng AN có phương trình

2x    y 3 0 Tìm tọa độ điểm A

Giải

Giả sử hình vuông có cạnh là a Ta có

5a 10a 25a

2

2 3

cos MAN

Ta có: A  AN  tọa độ A có dạng A a;2a  3  11 7 

AM  a;  2a



 1

AN : 2x     y 2 0 AN u 1;2 



  2

11 a 2 7 2a

cos u; AM



 

Ta thấy MAN là góc nhọn nên 

cos MAN  cos u, AM  

cos MAN  cos u, AM  

  

2

11 a 2 7 2a

1

    

  



 a 1

a 4





 



 

A 1; 1

A 4;5





C Bài tập

Bài 1 Cho d : y 1  k x 1  b 1 và d : y 2  k x 2  b 2

1) Chứng minh d 1  d 2  k k 1 2   1

2) Trong trường hợp d và 1 d không vuông góc Chứng minh rằng 2

1 2

1 2

tan d , d

1 k k





Bài 2 Tính góc giữa d và 1 d trong các trường hợp sau: 2

1) d : 1 x 2t

y 4 t







 



, d : 2 x 2u

y 2u











2) d : 1 x 2t

y 4 t







 



, d : x 2  y  7  0

3) d : x 1  2y   1 0, d : x 2  4y  3  0

4) d : mx 1  y  2  , 0 d : x 2  my  m 1   0

Bài 3 Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:

1)  qua M 1;1  và tạo với d : x 2t

y 4 t







 



một góc 30 o

2)  qua M 1;1  và tạo với d : x   y 2  một góc 0 45 o

D Đáp số

Bài 2 1)  1 2

3 cos d , d

10

1 cos d , d

10

3) cos d ,d 1 2 9

85

 4) cos d , d 1 2 2m 2





Bài 3 1)  : x 8  75 y   7 75  0, hoặc  : x 8  75y  7 75  0

2)  : x 1   0 hoặc  : y 1   0