Rút gọn biểu thức chứa căn không có điều kiện Bài 1... Tìm tất cả các số tự nhiên n ≥ 1 sao cho an là số chính phương.. Tìm lũy thừa của 2 trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của s
Trang 1Căn thức và biến đổi căn thức- Phần I
1 Rút gọn biểu thức chứa căn không có điều kiện
Bài 1 Tính
1 P= 4+ 8 2+ 2+ 2 2− 2+ 2 2 P= +(4 15)( 10− 6) ( 4− 15)
3 P= 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − + 4. P= 4+ 8 2+ 2+ 2 2− 2+ 2
5 P= 5− 3− 29 12 5− 6. P = 8 + 2 10 + 2 5 - 8 - 2 10 + 2 5
6 2
=
−
9 2007 2007 2008 2008
2009 2009
5 17 5 17 10 4 2 4
13
P
+
=
+
14
15 2 2 2 5 1
:
=
17 P= 10+ 24+ 40+ 60 18.
6 2 2 3 2 12 18 128
19 3 10 20 3 6 12
5 3
21 (5 2 6) 5 2 6
-23
2
P
=
−
24
( 3 2)( 3 2)
=
+
25
2 3 2
P
+
=
26 P= 320 14 2+ +3 20 14 2− 27 P= 326 15 3+ +3 26 15 3−
Trang 22
3
P
− −
=
− − −
29
7 54 15 128
32 9 162
+
30 P=(4 7+ 48 −4 28 16 3 7− ) 4 + 48 31. 101 5
(19 6 10) 3 2 2 5 2
32 P=( 3 1) 6 2 2 3− + − 2+ 12+ 18− 128
33 P= 2+ 3 2+ 2+ 3 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3
34 6 2( 6 3 2) 6 2( 6 3 2)
P =
2
35.P = 2+ 3 2+ 2+ 3 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3
2 1 1 2 3 2 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000
37 (12 6 3) 3 3 2(1 2 3 4) 2 4 2 3
14 8 3
−
2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005
12 6 3 3 2(1 4 2 3 2 4 2 3 )
14 8 3
−
42 P =
2 1 1
2
1
+ +3 2 2 3
1 + + + 2006 2005 2005 2006
1
1 +
43 P= 326 15 3.(2+ − 3)+39+ 80 +39− 80
1 7
7
7 7
P
−
Bài 2:
1 Nêu một cách tính nhẩm 9972
2 Tính tổng các chữ số của A, biết rằng A=99 96 (có 100 chữ số 9)
Bài 3
Trang 31 Rút gọn biểu thức: 7 3 7 3
7 2
−
99 9 400 09
so so
3 Tính giá trị của biểu thức: 3 310 3 1 2 : 3 1
Bài 4: Chứng minh rằng: 12 12 1 2 1 1 1
( )
a +b + a b = + −a b a b
Áp dụng tính 2 2
2
999 999
1 999
1000 1000
Bài 5 So sánh hai số
2 2 3 5 2 2 3 5
Bài 6 Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6= + 4
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên
Bài 7: Rút gọn biểu thức:
2
, 0, 0,
x
x
x y
x x y y
− +
2
4
2 1 3 2 2 ( 12) 6 8
2 1 3 2 2 1
P
x
=
− 3
3
= + ÷÷+ + ÷÷ ÷÷
+ + − + , với x > 0 và x≠9
Bài 8 Trục căn thức ở mẫu
15
10− 20+ 40− 5+ 80
3 3 31 3
15
2+ 4+ 8+ 16
5 3 3 3 1 3 3
2
4 3 5− + 5− 125
7 3 1 3
1 3 2 2 4+ −
Bài 9: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
Trang 41 1
2
A
=
+ + trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b
=
+ + + trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd
và a + b ≠ c + d
3 M = m n p 1 m' n' p'
+ + + + + biết rằng ' ' '
Bài 10: Chứng minh rằng 2 mn m n m n
Áp dụng tính 2 10
2+ 5+ 7 . Bài 11: Chứng minh rằng: (n 1) n n n1 1= 1n − n1 1
+ + + + với n N∈ *.
2 1 1 2 3 2 2 3 400 399 399 400
Bài 12:
2
1 + 1 + 1 = 1 1+ - 1 a 0;b 0;a + b 0
2 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn:
2
Bài 13 Tìm phần nguyên của A= 6+ 6 + + 6 +36+36 + +36
Bài 14 Tìm x biết: x= 5+ 13+ 5+ 13 + Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Bài 15: Với mỗi 1 n N≤ ∈ ta đặt: 3 5 3 5 2
n
= ÷ ÷ + ÷÷ −
1 Chứng minh rằng a n∈Z, ∀n,1≤ ∈n N.
2 Tìm tất cả các số tự nhiên n ≥ 1 sao cho an là số chính phương
Bài 16 Kí hiệu [a] chỉ phần nguyên của a
Tìm n2 4n2 27n2 17n 7
Bài 17: Tìm chữ số đứng ngay trước và đứng ngay sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của
số ( )1992
2+ 3 Bài 18 Tìm phần nguyên của
1 1 12 13 1 6
10
Trang 52 B= x2+ 4x2+ 36x2+10x+3
Bài 19: Cho p là số nguyên tố > 2 Chứng minh rằng (2+ 5)p−2p+1 p
Bài 20: Cho 1 n N≤ ∈ Tìm lũy thừa của 2 trong dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số
(1 3)n
2 Rút gọn biểu thức chứa căn có điều kiện
Bài 1: Cho a,b,c là 3 số dương ,hãy rút gọn biểu thức: a b c+ + +2 ac bc+ − a b+
Bài 2:
a Cho x =
+
a
b b
a
2
1
, trong đó a > 0, b > 0
Tính giá trị của biểu thức A =
1
1 2
2
2
−
−
−
x x
x
b Rút gọn biểu thức ( 1 ) 2
1 : ) 1
1 (
x
x x
x x P
−
+
−
−
=
Tính giá trị biểu thức P khi x= 21−1
Bài 3: Hãy tính giá trị của biểu thức
1 P= x + 3x + 2 3 với x = 3 2 -1 - 3 1
2 -1
2. P=(x5− +x 1)2009, biếtx=( 6 2 5+ + 6 2 5 ) : 20−
3 ( ( )2007)2008
P= x − x+ , biết 310 6 3( 3 1)
6 2 5 5
=
4. P = (3x3 + 8x2 + 2)1998, biết ( 5 2 17 5 38) 3
5 14 6 5
=
5 ( 3 2 )2007
5 6 14 5
38 5 17
3
+
⋅
− +
−
=
x
Bài 4 Tính giá trị của biểu thức
1 A = (3x3 – x2 – 1)2004 biết
3
26 15 3.(2 3)
2 B = (x3 +12x - 9)2005, biết x= 34( 5 1)+ −3 4( 5 1)−
3 C = x3 + ax + b, biết 3 2 3 2 3
Bài 5: Tìm giá trị của biểu thức: P = x3 + y3 – 3(x + y) + 2004 Biết rằng:
Trang 633 2 2 33 2 2 ; 37 12 2 3 7 12 2
Bài 6:
a Tính giá trị của biểu thức : P a= 3 +b3 −3(a b+ +) 2006
Biết rằng : a= 33 2 2+ +33 2 2− và b=317 12 2+ +317 12 2−
b Hãy tính giá trị của biểu thức P = a3 + b3 – 3(a + b) + 2008
Bết rằng: a = 3 5 + 2 6 + 3 5 − 2 6 ; b = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2
(Không sử dụng máy tính cầm tay)
Bài 7:
Xác định a, b biết: 7 5 7 11
3 7 11 4 7 2 11+ =a +b
Bài 8 a Cho 16 2− x x+ 2 − 9 2− x x+ 2 =1
Tính A = 16 2− x x+ 2 + 9 2− x x+ 2
b Cho S =x 1+y2 +y 1+x2
Hãy tính giá trị của biểu thức S biết rằng: xy+ (1+x2)(1+y2)=a
Bài 9: a Cho (x+ x2 + 3)(y+ y2 + 3)= 3
Tính giá trị biểu thức A = x + y
2008 2008 2009 2008 2008 2009 2009
Tính giá trị của A = x + y
c Cho (x + x2 +2006 (y+ y2 +2006) =2006
Hãy tính tổng: S = x + y
d Cho ( x2+ +5 x)( y2+ +5 y) 5=
Tính giá trị của C = x + y
Bài 10 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 Tính tổng
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
Bài 11: Cho x,y,z là 3 số thực thoả mãn các điều kiện xy+yz+zx=0
Đặt a = x2 +xy+y2 ; b = y2 +yz+z2 ; c = z2 +zx+z2
Với a, b, c là 3 số dương Hỏi a, b, c có thể là 3 cạnh của một tam giác được không? Bài 12: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 4 Đặt
2
y
P
Tính P
Bài 13: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100
Tính giá trị của biểu thức:
y
A
xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10
Trang 73 Các bài toán chứng minh
Bài 1 Chứng minh các đẳng thức:
a
3 2 2
3 2
+ +
+
+
3 2 2
3 2
−
−
−
3 1 1− 3 1 1=
c
=
e 3 3 3 1 3 2 3 4
2 1
Bài 2 Chứng minh rằng các số sau đều là các số nguyên
a A= 5− 3− 29 12 5− b C= 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +
c 2 3 5 13 48
6 2
=
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128
f 3 84 3 84
h =3 + +125 − − +3 +125
Bài 3: Chứng minh đẳng thức :
với a, b trái dấu
Bài 4 Cho A B Z, ∈ Chứng minh rằng số 9999 1111 3+ không thể biểu diễn dưới dạng
3
A B+
Bài 5 Cho 1 1 1
S = + + + Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên
Bài 6 Cho a= 3 2 − 3 + 3 2 + 3 Chứng minh rằng a
a 3 ) 3 (
64 3
− là số nguyên
Bài 7: Chứng minh rằng:
là một số hữu tỷ
Bài 8 Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau
Chứng minh rằng ( ) (2 ) (2 )2
A
− − − là số hữu tỉ
Trang 8Bài 9 Chứng minh rằng số : n = 2( 5 1) 3+ − 5 là số hữu tỷ
Bài 10 Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 và a = b + c
Chứng minh rằng 12 12 12
a +b +c là một số hữu tỉ Bài 11: Chứng minh hằng đẳng thức:
a
b a
b a b
a b
a b
−
−
=
−
−
Trong đó a và b trái dấu
Bài 12 Cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng
ab
+
+
Bài 13 Chứng minh
( ) ( ) (2 )2
2
(5 4 ) (4 5)
ax
= +
Với a > 0, x > 0
Chứng minh rằng A < B
Bài 15 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 997 Chứng minh rằng
biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến
(997 )(997 ) (997 )(997 ) (997 )(997 )
Bài 16 Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a
a
+
Bài 17: Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x:
4
2 3 7 4 3
9 4 5 2 5
x
x
Bài 18: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không
phụ thuộc vào vị trí của các biến
P
Bài 19: Cho x > 0 , y > 0 , t > 0
Trang 9Chứng minh rằng : xy 1+ = yt 1+ = xt 1+
NÕu th× x= y= t hoÆc x.y.t =1
Bài 20:
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
+ + =
Chứng minh rằng:
(1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b )
Bài 21 Chứng minh
( ) ( ) (2 )2
2
(5 4 ) (4 5)
ax
= +
Với a > 0, x > 0
Bài 22: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có:
a + b + b + c = a + c
2 1
1
Bài 23 Chứng minh rằng nếu: 3a+3b+3 c =3 a b c+ + thì với mọi số nguyên dương n lẻ ta
đều cón a+n b+n c= n a b c+ +
Bài 23 Chứng minh rằng nếu ax3 = bx2 = cx3 và 1 1 1 1
x+ + =y z thì
Bài 25:
Chứng minh rằng nếu: , , , , , ,
aa + bb + cc = (a b c)(a+ + + +b c ) trong đó a, b, c, a', b', c' > 0 thì , , ,
a b c
a =b =c Bài 26 Chứng minh rằng nếu: 1 2
n n
x
x y + x y + x y = x + + +x x y + + +y y
với xk > 0, yk > 0, k = 1, 2, 3 … n
Bài 27: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a,
b, c Chứng minh rằng:
) )(
(
b SinA
Bài 28: Chứng minh rằng:
1 x y+ + − = +x y x x2−y2 + −x x2−y2 ( x ≥ y)
2 x y+2 − xy + x y+2 + xy = +x y ( ≥ )
xy 0 Bài 29: Cho 3 số thực a, b, c Chứng minh rằng hai khẳng định sau là tương đương
Trang 101 c ≠ 0 và a b+ = a c+ + b c+
2 a > 0, b > 0 và 1 1 1 0
a b c+ + = Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1 n+ n+ =1 4n+2
2 n+ n+ +1 n+2 = 9n+8
Bài 31: Cho a, b, c ∈ Z, c > 0, c là số chính phương.
Chứng minh rằng ∀n,1≤ ∈n N ta có:
n n
n n
a b c− = −a b c ở đó an, bn ∈ Z.
Bài 32: Chứng minh rằng ∀n,1≤ ∈n N ta có:
( 2 1− )n = a n − a n2−1, trong đó an∈N.
Bài 33: Chứng minh rằng (2+ 3)n
là số lẻ ∀n,1≤ ∈n N Bài 34: Chứng minh rằng ∀n,1≤ ∈n N số { (5+ 26)n} bắt đầu từ n chữ số giống nhau sau dấu
phẩy
Bài 35: Cho 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a100 thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau
Bài 36: Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x (số nguyên lớn nhất không vượt quá x) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có
Bài 37 : Chứng minh rằng
6
1 <
6
6 6 3
6
6 6 3
+ +
−
+ + +
−
<
27 5
( Có 2007 dấu căn trên tử số và 2006 dấu căn ở dưới mẫu số ) Bài 38:
1 Cho A a a= + ab; B = b b + ab với a > 0; b > 0 So sánh A + B với tích AB khi
3
a+ b = và ab =1 Chứng tỏ rằng nếu a+ b và ab là những số hữu tỉ thì tổng A + B và tích AB cũng là số hữu tỉ
2 Chứng minh rằng số 99999 111111 3+ không thể viết dưới dạng ( )2
3
A B+ trong đó
A, B là các số nguyên
Bài 39: Chứng minh rằng: 2( n 1 n) 1 2( n n 1)
n
+ − < < − − với n N∈ *
Áp dụng: Cho 1 1 1 1
Trang 11Chứng minh rằng 18 < S < 19.
Bài 40: Chứng minh rằng: 1 1
2 n 1< n+ − n + với n N∈ .
Áp dụng chứng minh rằng: 1 1 1 1 100
Bài 41 Cho biểu thức 1 1 1 1
1.199 2.198 3.197 199.1
Chứng minh rằng A > 1,99
Bài 42
Cho a > 0 Chứng minh rằng nếu ta có: a 1 a 1
thì ta cũng có: a 1 3
a
+ = (2)
a 1 5
a
− = (3)