Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H.. a Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của O tại E.. Dựng
Trang 1javascript:document.body.contentEditable='true'; document.designMode='on'; void 0
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
NĂM HỌC: 2010-2011
Môn Toán 9- (Thời gian làm bài:120 phút)
Bài 1: (4 điểm)
1 Chứng minh: 6 + 4 2 − 3 − 2 2là một số nguyên
2 Rút gọn biểu thức:
A=
2 4
4 2
2 2
2 + +
−
− +
x x
x
Bài 2: (4 điểm)
1 Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức :
x2+ y2- 2xy – 4 = 0
2 Cho hàm số: y = ax + b
Biết f( )1 ≥ f( 2 );f( 3 ) ≤ f( 4 );f( 2010 ) = 1000 Tính f( 2011 )
B i 3à : (5 điểm)
1 Cho x;y > 0 và x + y = 1
3 2
; 2
1
y x xy
P xy
M
+ +
=
=
2 Giải hệ phương trình:
= +
=
+
xy y
x y x
2 9
6 6 2 2
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường tròn ( M khác A và B) Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H Từ A và B
kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M
a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O
b) Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất
c) Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào?
Bài 5: (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A
và C) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E
Chứng minh tam giác BED cân
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
( dưới đây là hướng dẫn sơ lược cách giải đề thi, chưa được kiểm chứng
– không phải hướng dẫn chấm )
Bài 1: (4 điểm)
1.Chứng minh: 6 + 4 2 − 3 − 2 2 là một số nguyên
2.Rút gọn biểu thức:
A=
2 4
4 2
2 2
2 + +
−
− +
x x
x
Hướng dẫn:
1 6 + 4 2 − 3 − 2 2 = ( 2 + 2 ) 2 − ( 2 − 1 ) 2 = ( 2 + 2 ) − ( 2 − 1 ) = 3
Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm
2.A=
2 ) 2 )(
2 (
) 2 2
( 2
) 2 )(
2 (
) 2 )(
2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 4
4 2
2
2
+ +
− +
− + +
= +
+
− +
− + +
− + +
= + +
−
− +
x x
x
x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
2
1 ) 2 2
(
2
2 2
+
=
− + + +
− + +
=
x x
x x
x x
Bài 2: (4 điểm)
1.Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức :
x2+ y2- 2xy – 4 = 0
2.Cho hàm số: y = ax + b
Biết f( )1 ≥ f( 2 );f( 3 ) ≤ f( 4 );f( 2010 ) = 1000 Tính f( 2011 )
Hướng dẫn:
1 Ta giải hệ phương trình:
=
−
− +
+
=
0 4 2
3
2
2
x
x
y
Thế y= 2x+ 3 v o à phương trình thứ hai ta được
−
=
=
⇒
−
=
−
=
⇒
= + +
⇔
= + +
⇔
=
− +
− +
+
7
1 5
1 0
)5 )(
1 ( 0 5 6 0
4 )3 2(
2 )3
2
y
y x
x x
x x
x x
x x
cần tìm là (-1;1) và (-5;-7)
2 Từ điều kiện f( )1 ≥ f( 2 );f( 3 ) ≤ f( 4 ) ta thấy f (x)vừa nghịch biến vừa đồng biến do đó a = 0 và f (x)=b mà f( 2010 ) = 1000suy ra b = 1000
Do đó f( 2011 )= b = 1000
B i 3à : (5 điểm)
1.Cho x;y > 0 và x + y = 1
3 2
; 2
1
y x xy
P xy
M
+ +
=
=
Trang 32.Giải hệ phương trình:
= +
=
+
xy y
x y x
2 9
6 6 2 2
Hướng dẫn: 1.Áp dụng BĐT Cauchy ta có
2
1 2
) ( 2
2
=
+
≤ x y
2
1
≥
=
xy M
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5
) (
12 2
2
4
3 2
1 )
1 2
1 ( 3 3 2
2 2
2 2
2 2
+
= + + +
≥ + + +
= + +
=
y x y
x xy xy
y x xy y
x xy
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5
2
=−+
=−+
⇔
=+
=+
02 9
06
6
29
66
2
2
2
2
xy y
xy
x
xy
y
xy
x
Cộng theo vế 2 phương trình trên ta được
3 0
) 3 (
0 9 ) ( 6 ) ( 0 2 9 6
x
Thế vào phương trình đầu tiên và giải, ta được các nghiệm là
(x;y) = {( 3 2 ; 3 ( 2 − 1 )); ( − 3 2 ; − 3 ( 2 + 1 ))}
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường tròn ( M khác A và B) Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H Từ A và B
kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M
a)Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O
b)Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất
c)Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào?
Hướng dẫn:
Q
Trang 4
a) Đầu tiên ta chứng minh ba điểm C,M,D thẳng hàng ( tự chứng minh).
Nhận xét CABD là hình thang có AC // BD và OM là đường trung bình Suy ra MO vuông góc với CD, suy ra CD là tiếp tuyến của (O) tại M
b) Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC=AH, BD=BD hay AC.BD=AH.BH
mà AH.BH
4 4
)
=
+
4
2
AB
, đạt được khi AH=BH hay AC=BD Khi AC=BD, ∠ACM = ∠BDM ,CM=MD suy ra
) (c g c BDM
∆ , suy ra AM=BM hay M là điểm chính giữa cung AB.
c)Gọi E là trung điểm NB, F là trung điểm OE Ta sẽ chứng minh điểm P luôn nằm trên đường tròn tâm F bán kính FN
Hạ NQ vuông góc với MB, Q thuộc MB Ta có
) (
~ 2
;
NQM
là trung điểm OE, MQ Do đó ∆NFO~ ∆NPM ⇒ ∠ONF = ∠MNP⇒ ∠PNF = ∠MNO
mà FNP~ ONM(c.g.c)
NM
NP
NO
NF
∆
∆
⇒
trên đường tròn tâm F bán kính FN ( cố định)
Bài 5: (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A
và C) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E
Chứng minh tam giác BED cân
Hướng dẫn:
Gọi F là giao điểm của CD với (O), H là trực tâm tam giác ACD I là trung điểm BD K là giao điểm EH và AD
Ta có ED⊥DC, AH ⊥DC suy ra ED // AH; EA
⊥ AC, DH ⊥AC suy ra EA // DH.
Do đó EDHA là hình bình hành.Suy ra K là trung điểm EH và AD mà AB=BI=ID, suy ra K là trung điểm BI suy ra EIHB là hình bình hành, suy ra EI//BH,
bởi vậy EI ⊥BD mà I là trung điểm BD nên tam giác EBD cân tại E (đpcm)