Bài soạn CHUYÊN DỀ DIỂM CỐ ĐỊNH HSG 9

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.. AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng

CHUYÊN ĐỀ 8:CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH Những kiến thức cơ bản:

Một điểm được coi là cố đinh nếu điểm đó:

- Là giao của hai đường cố định

- Nằm trên một đường cố định cách một điểm cho trước một khoảng không đổi

Ví dụ 1:Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O

Gợi ý:

Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và

tia đối của tia AO Ta cóAP AO AM AN AP= AM AN.

AO

đổi vì A và (O) cố định Hơn nữa P thuộc tia đối của tia AO cố

định nên P là điểm cố định

Ví dụ 2 : (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây

cung cố định và E là trung điểm của AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q Chứng minh rằng tích AP AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định

Gợi ý:

Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra

AB là tiếp tuyến của (O; OE) Ta chứng minh được

2

2 AB

AP.AQ=AE =

4 không đổi

Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và

AB Khi đó ta có:AP AQ AI AB AI= AP AQ.

AB

ra I là điểm cố định

Ví dụ 3:(HSG Q Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A

nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC (B, C thuộc

(O)) Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố

Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE

Ví dụ 4:Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn I là điểm di động trên d Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P Ta dễ dàng chứng minh được AO AP = AM AN

Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E Ta chứng minh đượcAM AN = AD AE = (OD OA OE OA+ ).( − ) =R2 −OA2

Khi đó

AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định

Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định

b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H Khi đó ta có Suy ra H cố định

Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung

Gọi K là giao điểm của MN và OI Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là đường cao nên:

MN cắt OH tại Q Ta có

không đổi

Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định Vậy MN luôn qua điểm Q cố định

Ví dụ 5:Cho đường tròn (O) và dây AB cố định M là điểm tuỳ ý trên cung

AB K là trung điểm của MB Chứng minh rằng đường thẳng qua K vuông góc với đường thẳng MA luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải

Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Một điểm P thay đổi

trên (O) ( P khác A, P khác B) Các đường tăhng PA, PB cắt (O’) theo thứ tự tại C, Gọi M là trung điểm của CE

Chứng minh PM luôn đi qua một điểm cố định

x

M

C

E B

A

P

Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn AB là

đường kính thay đổi SA, SB cắt (O) tại C và D

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó Một đường tròn

(O) thay đổi luôn đi qua A và B CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm) Chứng minh rằng:

a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định

b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D Chứng minh MA.MB = MC.MD

Gợi ý: Chứng minh bài toán này không khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm

ngoài và nằm trong đường tròn (O) Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh

Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài toán sau:

Bài toán 2:

Nếu M không nằm trên đường tròn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại A và B Khi đó tích MA MB không đổi và bằng

Gợi ý: Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D

Sau đó chứng minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả

Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm

cố định Ta cùng xét các bài toán sau:

Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm

A khác O nằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O

Gợi ý:

Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO Ta

thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định

Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung

cố định và E là trung điểm của AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE tại P và Q Chứng minh rằng tích AP AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định

Gợi ý:

Vì E là trung điểm của AB nên OE vuông góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của

Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB Khi đó ta có:

không đổi Suy ra I là điểm cố định

Bài toán 5: (HSG Q Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ

các tuyến ABC (B, C thuộc (O)) Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định

Gợi ý:

Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO Tương tự như hai bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE

Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O) M là một điểm thay đổi

trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định

Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngoài đường tròn AB là

đường kính thay đổi SA, SB cắt (O) tại C và D

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó Một đường tròn

(O) thay đổi luôn đi qua A và B CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm) Chứng minh rằng:

a) P, Q luôn thuộc một đường tròn cố định

b) Trung điểm M của PQ luôn thuộc một đường tròn cố định

Bài tập làm thêm Bài 1: Chứng minh lại các hệ quả đã nêu ở phần 1 Tìm các cách chứng minh khác Bài 2: Cho tam giác ABC có Đường cao BH và CK Chứng minh rằng

Bài 3: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AB =

3AM, AC = 3CN BN và CM cắt nhau tại O, AO cắt BC tại P.Tính

Bài 4: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác AO, BO, CO lần lượt

cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh rằng: (Định lí Ceva)

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a AD, BE và CF là các đường

phân giác trong

a) Tính BD, CD theo a, b, c

b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c và diện tích tam giác ABC

c) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC lớn hơn 4 lần diện tích tam giác DEF d) Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát

Bài 6: Cho tam giác ABC, G là một điểm nằm trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là

hình chiếu của G trên BC, AC và AB Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm M, N, P

sao cho Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác MNP

Bài 7: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm M là một điểm nằm trong tam giác GM

cắt các đường thẳng AB, AC và BC tại D, E, F Chứng minh rằng:

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = 6cm Trên cạnh BC lấy M sao cho BM =

2CM Đường thẳng qua B vuông góc với DM tại H cắt CD tại K Tính diện tích tam giác CKH