Chuyên đề Cực trị của hàm số

xác định tọa độ các điểm cực trị 2 Chứng tỏ rằng có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng tọa độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị cùng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm c[r]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA

I Định nghĩa:

Giả sử hàm sốf x xác định trên tậpD ⊂ \ và ( ) x0 ∈ D

1) x được gọi là một điểm cực trị của 0 f x nếu tồn tại một khoảng ( ) ( )a b chứa điểm; x sao cho 0

( )a b; ⊂D và f x( ) < f x( )0 ,∀ ∈x ( )a b; \{ }x0

Khi đĩ f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số ( )0 f x ( )

2) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 f x nếu tồn tại một khoảng ( ) ( )a b chứa điểm ; x 0

sao cho ( )a b; ⊂D và f x( ) > f x( )0 ,∀ ∈x ( )a b; \{ }x0

Khi đĩ, f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( )0 f x Gọi chung là giá trị cực trị của hàm ( )

số

II Điều kiện để hàm số cĩ cực trị

1) Điều kiện cần

Gỉa sử hàm số f x đạt cực trị tại điểm ( ) x Khi đĩ,nếu 0 f x cĩ đạo hàm tại( ) x thì 0 f x'( )0 = 0

2) Điều kiện đủ

Dấu hiệu 1 Gỉa sử hàm số f x liên tục trên ( ) ( )a b chứa điểm ; x và cĩ đạo hàm trên các 0

khoảng (a x và ; 0) (x b Khi đĩ: 0; )

• Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm'( ) x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm0 x 0

• Nếuf x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm'( ) x thì hàm số đạt cực đại tại điểm0 x 0

Dấu hiệu 2 giả sử f x cĩ đạo hàm trên ( ) ( )a b chứa điểm ; x , 0 f x'( )0 = và 0 f x cĩ đạo ( )

hàm cấp hai khác 0 tại điểm x Khi đĩ: 0

• Nếu f''( )x0 < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x 0

• Nếu f''( )x0 > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x 0

III các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Phương pháp 1

• Tìm f x '( )

• Tìm các điểm x i i( =1,2, ) mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng cĩ đạo hàm

• Lập bảng xét dấuf x nếu '( ) f x đổi dấu khi x qua '( ) x thì hàm số đạt cực trị tại i x i

Phương pháp 2

• Tìm f x '( )

• Giải phương trình f x'( ) = tìm các nghiệm 0 x i i( =1,2, )

• Tính f''( )x i

+Nếuf''( )x i < thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x i

+Nếu f ''( )x i > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x i

A CÁC VÍ DỤ

VÍ DỤ 1 với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

1) y =(m+2)x3 +3x2 +mx +m

2)

1

y

x

=

+

GIẢI

1) y =(m+2)x3 +3x2 +mx +m

• Tập xác định: D= R

đạo hàm: y' = 3(m +2)x2 +6x +m

• Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = hay 0 g x( )= 3(m +2)x2 +6x +m = có hai nghiệm 0 phân biệt:

m

m m

+ ≠

⎧⎪

2

m

≠ −

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

2

m m

≠ −

⎧⎪

⇔ ⎨− < <⎪⎩

• Vậy giá trị cần tìm là: 3− <m < và 1 m ≠ − 2

2)

1

y

x

=

+

• Tập xác định: D= R\{-1}

Đạo hàm:

2

2 '

1

y

x

=

+

• Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = hay0 g x( ) =x2 +2x +m2 = có hai nghiệm phân biệt 0 khác –1

( )

2

2

m

⎧Δ = − >

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

1

m m

− < <

⎧⎪

⇔ ⎨ ≠ ±⎪⎩ ⇔ − <1 m <1

• Vậy giá trị cần tìm là: 1− <m < 1

VÍ DỤ 2 với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị

1) y =(m−3)x3 −2mx2 + 3

2)

2

y

+ +

=

+

GIẢI

1) y =(m−3)x3 −2mx2 + 3

• Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' =3(m −3)x2 −4mx; y' = ⇔0 3(m −3)x2 −4mx = (1) 0

+ Xét m = : ' 03 y = ⇔ −12x = ⇔ = 0 x 0

'

y

⇒ đổi dấu khi x đi qua x0 = ⇒ Hàm số có cực trị 0 ⇒m =3 không thuộc

+ Xét m ≠ : Hàm số không có cực trị 3 ⇔y' khômg đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

2

m

m

− ≠

⎧⎪

⎪⎩

3 0

m m

≠

⎧⎪

⇔ ⎨ =⎪⎩ ⇔m = 0

• Vậy giá trị cần tìm là m = 0

2)

2

y

+ +

=

+

Trang 3

Đạo hàm:

2

2

y

+

=

+ ; 'y = ⇔0 ( )

g x =mx + m x = (1) (x ≠ −m)

• Hàm số không có cực trị ⇔y' không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

+ Xétm = : ' 0,0 y = ∀ ≠ − x m ⇒m = thỏa 0

+ Xétm ≠ : Yêu cầu bài toán 0 ⇔ Δ =' m4 ≤ : vô nghiệm 0 ∀ ≠ m 0

• Vậy giá trị cần tìm là: m = 0

VÍ DỤ 3 Cho hàm số

2

1

y

x

=

− chứng minh với mọi mhàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi

GIẢI

• Tập xác định: D= R/1

• Đạo hàm

2 2

2 '

1

y

x

−

=

− ;

0 ' 0

y

= ⇒ = −

⎡

= ⇔ ⎢ = ⇒ = −⎢⎣

Vậy 'y = luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m0 ∀ ⇒ hàm số luôn có cực trị

• Tọa độ các điểm cực trị A(0;−m B) (, 2; 4−m)

• Khoảng cách giữa hai điểm A, B là: ( )2 ( )2

AB = − + −m m+ = = const (đpcm)

VÍ DỤ 4 Cho hàm số

y

=

+ định m để hàm số có cực trị tại x = 2

GIẢI

• Tập xác định: D= R\{-m}

Đạo hàm:

2

y

=

+

• Điều kiện cần: Hàm số có cực đại tại x = 2 ⇒y' 2( ) =0

2

2

0 2

m

+

2

m

⎪

⎪⎩

1 3

m m

= −

⎡

⇔ ⎢ = −

⎢⎣

• Điều kiện đủ:

+ Với m = − : 1

2 2

0 2

2 1

x

y

x x

=

⎡

−

BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàn số đạt cực tiểu tại x = 2

1

m

⇒ = − không thỏa

+ Với m = − : 3

2

2

2

4 3

x

y

x x

=

⎡

2 1

0

0 0

y

y'

x

+ _

_

+

CT

- ∞

- ∞

+ ∞

- ∞

BBT

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x =2⇒m = −3 thỏa yêu cầu bài toán

• Vậy giá trị cần tìm là: m = − 3

Cách khác

Ta có: y x 1

= +

+ Tập xác định: D= R\ {-m}

1

' 1

y

= −

2

= +

Hàm số đạt cực đại tại x =2 ( )

( )

'' 2 0

y y

=

⎧⎪

⇔ ⎨ <

⎪⎩

2

3

1

2 2

0 2

m m

⎪

⇔ ⎨

⎪ +

⎩

2 2

m m

⎪⎪

⇔ ⎨ ≠ −

⎪ < −

⎪⎩

2

m

= − ∨ = −

⎧⎪

⇔ ⎨ < −⎪⎩ ⇔m = −3 Vậy giá trị cần tìm là: m = − 3

VÍ DỤ 5 Cho hàm số

2

ax bx ab y

ax b

=

+ Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại 0

x = vàx = 4

GIẢI

• Hàm số xác định ax b+ ≠ 0

2

2 ' a x abx b a b

y

ax b

=

+

• Điều kiện cần: Hàm số đạt cực trị tại x = và 0 x =4 ( )

( )

y y

=

⎧⎪

⎪⎩

2

2

0

0 4

b a b

b

a b

⎪⎪

⎩

0 0

b a b b

a b

⎪

≠

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪

⎪⎩

2

2

2

0

b a

a a

a a

⎧ = >

⎪⎪

⎪

⎪⎩

2 4

a b

= −

⎧⎪

⇔ ⎨ =⎪⎩

• Điều kiện đủ: Với a = −2,b = , ta có:4

2 2

0 4

4 2

x

y

x x

=

⎡

−

= − + = ⇔ ⎢ =⎢⎣

BBT:

4 3

2

0 0

y

y'

x

+ _

_

+

CT

- ∞

- ∞

+ ∞

- ∞

2

0 0

y

y'

x

+ _

_

+

CT

- ∞

- ∞

+ ∞

- ∞

Trang 5

• Vậy giá trị cần tìm là: a = −2,b = 4

VÍ DỤ 6 Cho hàm số y =x3 −(2m +1)x2 +(m2 −3m +2)x + Xác định m để đồ thị của hàm 4

số có hai hai điểm cực đại và cực tiểu nằm vềhai phía của trục tung

)

GIẢI

• Tập xác định D = R

Đạo hàm: y' = 3x2 −2 2( m+1)x +m2 −3m + 2

• Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung ⇔y' = hay 0

g x = x − m + x +m − m+ = có hai nghiệm phân biệt x x thỏa 1, 2 x1 < <0 x2

( )

3 0g 0

⇔ < ⇔m2 −3m + < 2 0 ⇔ <1 m <2

• Vậy giá trị cần tìm là: 1<m < 2

VÍ DỤ 7 Cho hàm số y =2x3 +ax2 −12x −13 (a là tham số) với những giá trị nào của a thì đồ

thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đểu trục tung

GIẢI

• Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' = 6x2 +2ax −12=2 3( x2 +ax −6)

• Hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung ⇔y' = hay 0 g x( )= 3x2 +ax − = có hai 6 0

nghiệm phân biệt x x thỏa1, 2 x1+x2 = 0

2

72 0, 0 3

a

⎧Δ = + > ∀

⎪

⇔ ⎨

• Vậy giá trị cần tìm là: a = 0

VÍ DỤ 8 Cho hàm số 1 3 1 2

y = x + x +mx định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các

điểm có hoành độ x >m

GIẢI

• Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' =x2 + +x m

• Yêu cầu bài toán ⇔y' = hay 0 g x( ) =x2 + +x m = có hai nghiệm phân biệt 0 x x thỏa 1, 2

m <x <x

1

m

S

m

⎧

Δ = − >

⎪

⎪⎪

⎪

⎪ = − >

⎪⎩

1 4

1 2

m

m

⎧

<

⎪

⎪⎪

⇔ ⎨ < − ∨ >

⎪

⎪ < −

⎪⎩

2

m

⇔ < −

• Vậy giá trị cần tìm là: m < − 2

VÍ DỤ 9 Cho hàm số y = −x3 +3(m+1)x2 −(3m2 +7m −1)x +m2 − định m để hàm số 1

đạt cực tiểu tại một diểm có hoành độ nhỏ hơn một

GIẢI

• Tập xác định: D =R

Đạo hàm: y' = −3x2 +6(m+1)x −(3m2 +7m− 1)

• Yêu cầu bài toán ⇔y' = hay 0 g x( )= −3x2 +6(m+1)x −(3m2 +7m −1) = có hai 0

nghiệm phân biệt x x thỏa: 1, 2 ( )

( )

< <

⎡

⎢

< ≤

⎢⎣

( )1 ⇔ −3 1g( )< 0 ⇔ 3 3( m2 +m −4)< 0 4 1

⇔ − < < (a)

' 0

1

2

g

S

⎧

⎪Δ >

⎪⎪

⎪

⎪ <

⎪⎩

2

1 1

m

⎪

⎪

⎪ + <

⎪⎩

2

0

m

m

− + >

⎧

⎪⎪

⎪ <

⎪⎩

4 4

1 3

0

m

m

<

⎧

⎪

⎪

⎪

<

⎪⎩

4

3

m

⇔ ≤ − (b)

• Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: m < 1

VÍ DỤ 10 Cho hàm số y =x3 −3x2 +2 ( )C Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C) nằm về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài):

x +y − ax − ay + a − =

GIẢI

• Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' = 3x2 −6x

' 0

y

= ⇒ =

⎡

⎢⎣ ⇒ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0;2 ,) (B 2; 2− )

( )C a :x2 +y2 −2ax −4ay+5a2 − = 1 0

• Hai điểm A, B nằm về hai phhía của đường tròn ( )C a ⇔P A C/( )a P B C/( )a < 0

(5a2 8a 3 5)( a2 4a 7) 0

⇔ − + + + < ⇔5a2 −8a + < (do 3 0 5a2 +4a + > ∀ ) 7 0, a

3

1

⇔ < <

Cách khác

• Phương trình đường tròn ( )C được viết lại a

x a− + y − a = ( )C có tâm a I a a và bán kính ( ;2 ) R =1

• Ta có IB = (a −2)2 +(2a +2)2 = 5a2 +4a + 8 5 2 2 36 6 1

⇒ Điểm B nằm ngoài ( )C a

Do đó điểm A nằm phía trong đường tròn ( )C a ⇔IA <1

( )2

⇔ + − < ⇔5a2 −8a + < 3 0 3 1

⇔ < <

y = mx − m − x + m − x + với giá trị nào của m thì hàm

số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểux x thỏa1, 2 x1 +2x2 = 1

Trang 7

GIẢI

• Tập xác định : D= R

Đạo hàm: y' =mx2 −2(m−1)x +3(m −2)

• Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = hay 0 mx2 −2(m−1)x +3(m−2)= có hai nghiệm 0

phân biệt x x 1, 2

0

m

≠

⎧⎪

0

m

≠

⎧⎪

⎪⎩

0

m

m

≠

⎧

⎪

⇔ ⎨ − < < +

• Theo định lí Vi-eùt và theo đề bài, ta có

2 m 1

m

−

1 2

x x

m

−

= (2) x1 +2x2 = (3) 1

Từ (1) và (3), thế vào (2), ta được

2

⇔ − + = (do m ≠ ) 0 2

3

2

m

m

⎡ =

⎢

⇔

⎢ =

⎢⎣

(thỏa ( )∗ ) Vậy giá trị cần tìm là: 2 2

3

m = ∨m =

VÍ DỤ 12 Cho hàm số y =x3 −3(m +1)x2 +2(m2 +7m+2)x −2m m( +2)

Tìm m để đò thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại,

cực tiểu đó

GIẢI

• Tập xác định : D= R

đạo hàm: y' = 3x2 −6(m+1)x +2(m2 +7m+2)

• Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = có hai nghiệm phân biệt 0

⇔ Δ = + − + + > ⇔ 3(m2 −8m−1) > 0

lấy y chia cho y’ ta có

y = x −m − y − m − m− x + m + m + m+

• GọiA x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2; 2) x x là nghiệm của (1) 1, 2

Ta có:

( )

1

y x

⎪

⎨

⎩

Tương tự ta cũng có

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:

( 2 ) ( 3 2 )

y = − m − m− x + m + m + m+

VÍ DỤ 13 Cho hàm số y =x3 −6x2 +3(m +2)x −m − định m để hàm số có cực đại và cực 6

tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

GIẢI

• Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' = 3x2 −12x +3(m+2)

y' = ⇔0 3x2 −12x +3(m+2)= 0 (1)

• Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = có hai nghiệm phân biệt 0

( )

⇔ Δ = − + > ⇔ −2 m > 0 ⇔m <2 (*)

lấy y chia cho y’, ta có: 1( 2 ' 2) ( 2) 2

3

y = x − y + m − x +m − Gọi A x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2; 2) x x là nghiệm của (1) 1, 2

Theo định lí Vi-eùt, ta có: x1 +x2 = 4,x x1 2 =m + 2

Ta có

( )

1

1

3

y x

⎪

⎨

⎩

( )

Tưng tự ta cũng có : y2 =2(m −2)x2 +m −2

Yêu cầu bài toán ⇔y y1 2 > 0

[2 m 2 x1 m 2 2] [ (m 2)x2 m 2] 0

( )2( )( )

( )2[ ( ) ]

17

4

2

m

m

⎧ > −

⎪

⇔ ⎨

≠

⎪⎩ So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:

17

2

− < <

VÍ DỤ 14 Cho hàm số y =x3 −3x2 +m x2 +m

Tìm tất cả các giá trị của thamsố m để hàm số có cực đại, có cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu

của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

y = x −

GIẢI

Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' = 3x2 −6x +m2

y = ⇔ x − x +m = (1)

• Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = có hai nghiệm phân biệt 0

2

⇔ Δ = − > ⇔ − 3 <m < 3

Gọi A x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của hàm số và I là trung điểm của đoạn AB 2; 2)

Do x x là nghiệm của (1) nên theo định lí lí Vi-eùt, ta có: 1, 2

x +x = , 1 2 2

3

m

x x = Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng Δ:y = 1x − 5

Trang 9

AB

I

⊥ Δ

⎧⎪

⇔ ⎨ ∈ Δ

⎪⎩

Đường thẳng Δ và AB có hệ số góc lần lượt là:

1

1

2

k =

2

3

k

−

3

m

m

2

3

m −

=

1 2 1

AB ⊥ Δ ⇔k k = − 1 2 2 6 1

m

⎡

⇒ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(0; 0 ,) (B 2; 4− )

⇒ Trung điểm của AB là I(1; 2− Ta có: I ∈ Δ Vậy: ) m = thỏa yêu cầu bài toán 0

VÍ DỤ 15 Cho hàm số y =x4 −2mx2 +2m m+ 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

()

GIẢI

Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' = 4x3 −4mx ;

( ) 2

0 ' 0

*

x y

=

⎡

= ⇔ ⎢

=

⎢⎣

HS có cực đại và cực tiểu ⇔y' = có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các điểm này 0

⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔m > 0

Khi đó :

4

' 0

2

y

⎢

= ⇔

⎣

Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là A(0;m4 +2m) và hai điểm cực tiểu là

B − m m −m + m C m m −m + m

các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều AB AC

=

⎧⎪

⎪⎩

⇔ = ⇔m m+ 4 =4m ⇔m m( 3 −3) = ⇔0 m = 33 (do m > ) 0 Vậy giá trị cần tìm là: m = 33

VÍ DỤ 16 Cho hàm số y =kx4 +(k −1)x2 + −1 2k Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số có một cực trị

)

GIẢI

Tập xác định: D= R

Đạo hàm y' = 4kx3 −2(k −1)x

( )

2

0 ' 0

x

y

=

⎡

= ⇔ ⎢

+ − =

⎢⎣

Hàm số có một cực trị ⇔y' = có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó 0

⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0

0

0

k

k

k k

=

⎡

⎢

≠

⎧

⇔ ⎢⎪

⎨

⎢ Δ = −⎪ − ≤

⎢⎩

⎣

0

k

=

⎡

⇔ ⎢ < ∨ ≥

Vậy giá trị cần tìm là: k ≤ ∨ ≥ 0 k 1

VÍ DỤ 17 Cho hàm số 1 4 2 3

y = x −mx + Xác địnhmđể đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

)

GIẢI

Tập xác định: D= R

Đạo hàm: y' =2x3 −2mx;

( )

2

0 ' 0

*

x y

=

⎡

= ⇔ ⎢

=

⎢⎣

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔y' = có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm 0 sang dương khi x đi qua nghiệm đó

⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 ⇔m ≤ 0

Vậy giá trị cần tìm là: m ≤ 0

VÍ DỤ 18 Cho hàm số

1

y

x

=

− .Tìm m để điểm cực tiểu của hàm số nằm trên parabol

( )P :y =x2 + − x 4

GIẢI

1

m

x

+

− Tập xác định: D= R\{1}

Đạo hàm:

2

2

'

1

y

x

=

− ; y' = ⇔0 g x( )=x2 −2x −m − =2 0 (x ≠1) (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = có hai nghiệm phân biệt khác 1 0

( )

m

Δ = − − − >

⎧⎪

⎪⎩

3

m m

+ >

⎧⎪

⇔ ⎨ ≠ −⎪⎩ ⇔m > −3 (*) Khi đó :

3

3 ' 0

3

3

m

m y

m

m

+

⎣ BBT

y 2

x 2

y 1

1

x 1

0 0

y y'

x

+ _

_

+

+ ∞

- ∞

Trang 11

Từ BBT ta thấy

CT

x =x = + m+ y CT =y2 =m+ +2 2 m + 3

⇒ điểm cực tiểu là A(1+ m +3;m+ +2 2 m +3)

A∈ P ⇔m + + m+ = + m+ + + m+ −

m

⇔ + = ⇔m+ =3 1 ⇔m = −2 (thỏa (*))

vậy giá trị cần tìm là: m = − 2

1

y

x

=

− Tìm tất cả các giá trị củatham số m thì hàm số đã cho có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI

Ta có:

1

x

− tập xác định: D= R\ {1}

đạo hàm:

2

'

1

y

x

=

− hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = hay 0 g x( )=x2 −2x +m2 −3m + = 3 0 (x ≠1) có hai nghiệm phân biệt x x khác 1 1, 2

( )

' 0

g

Δ >

⎧⎪

⎪⎩

2

2

⎧− + − >

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩ ⇔ <1 m <2 (*) gọiA x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2; 2) x x là nghiệm của (1) 1, 2

Khi đó:

' 0

y

⎢

= ⇔

⎢⎣

Ta có

y y = −m + −m + m− −m− −m + m−

=(1−m)2 −4(−m2 +3m−2)

= 5m2 −14m+ 9

2

5

m

( 1 2)

4

5

Min y y

5

m =

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 7

5

m =

1

y

x

=

− với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu

()

GIẢI

1

m

x

+

− Tập xác định: D= R\{1}

Đạo hàm:

2

2

'

1

y

x

=

− Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = hay 0 g x( )=x2 −2x −2m− = có hai nghieäm phân 1 0 biệt x x khác 1 1, 2

( )

' 0

g

Δ >

⎧⎪

⎪⎩

m m

+ >

⎧⎪

⇔ ⎨− − ≠⎪⎩ ⇔m > −1 (*) Gọi A x y( 1; 1) (,B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 2; 2) x x là nghiệm của (1) 1, 2

Khi đó:

' 0

m

m y

m

m

+

⎣

Hai giá trị cực trị cùng dấu ⇔y y1 2 > 0

(1 m 2 2m 2 1)( m 2 2m 2) 0

⇔ − − > ⇔m < −5 4 2∨m > +5 4 2

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 1− <m < −5 4 2 ∨m > +5 4 2

Cách khác

Tập xác định: D= R\ {1}

Đạo hàm:

2

2

'

1

y

x

=

− Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔y' = hay 0 g x( )=x2 −2x −2m− = có hai nghiệm phân 1 0 biệt x x khác 1 và '1, 2 y đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó

( )

' 0

g

Δ >

⎧⎪

⎪⎩

m m

+ >

⎧⎪

⇔ ⎨− − ≠⎪⎩ ⇔m > −1 ( )∗ Hai giá trị cực trị cùng dấu ⇔ đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ⇔ = y 0 hay x2 −(m+1)x +3m + =2 0 (x ≠1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

m

⎪

⎪⎩

1

m

⎧ < − ∨ > +

⎪

⎪⎩

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 1− <m < −5 4 2 ∨m > +5 4 2

VÍ DỤ 21 xác định p sao cho hàm số

4

y

x

=

− có giá trị cực đại M và giá tị cực tiểu m vớii m M− = 4

GIẢI

4

p

x

−

= − − −

− Tập xác định: D= R\{4}

Đạo hàm:

2

2

'

4

y

x

=

−

y = ⇔ g x = −x + x − −p = x ≠ (1)