Đề thi thử đại học môn Toán - Số 9

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC , khi đó O là giao điểm HA và trung trực AB vẽ trong mặt phẳng ABC ... Gọi I là trung điểm AB , khi đó tứ giác OIBH nội tiếp được nên:.[r]

Bộ Giáo Dục và Đào tạo

ĐỀ THAM KHẢO

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn thi : TOÁN, khối A Ngày thi : 08.03.2009 (Chủ Nhật ) Thi thử miễn phí thứ 2;5;CN (sau 12h30) hàng tuần cho hs tỉnh Lâm Đồng

ĐỀ 03

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : ( 2 )2

y = x − − ( )1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1

2 Viết phương trình đường tròn ( )C trong mặt phẳng ( )Oxy , đi qua 3điểm cực trị của hàm số ( )1

Câu II: ( 2 điểm )

1 Giải phương trình : 2 3x x −3x −2x − =1 0

2 Giải phương trình : cos2009x +sin2008x =1

Câu III: ( 1 điểm ) Cho hai hàm số ( ) ( ) ( )2

g x = −x f x = x − Tính tích phân 3 { ( ) ( ) }

2

min f x g x dx,

Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân tại A AB AC a, = = , (SBC) (⊥ ABC) và

SA SB a= = Tính độ dài cạnh SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a

Câu V: ( 1 điểm ) Cho x y, là hai số thực dương và thỏa mãn x y+ ≤1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

xy

II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 )

1.Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian Oxyz cho A(0;1;0 , 2;2;2 ,) (B ) (C −2;3;1) và đường thẳng

−

1 Tìm điểm M trên ( )d để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N trên ( )d để diện tích tam giác NAB nhỏ nhất

Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập hợp A gồm nphần tử , n >4 Tìm n biết rằng trong số các phần tử của Acó đúng

16ntập con có số phần tử là lẻ

2 Theo chương trình Nâng cao :

Câu VI.b ( 2 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , biết phương trình cạnh AB :

3 7x y− −3 7 0= ; điểm B C, thuộc trục hoành và A thuộc góc phần tư thứ nhất Tìm toạ độ điểm M thuộc AB ,

N thuộc BC sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của tam giác ABC

2 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ( )1 ( )2

'

Gọi K là hình chiếu vuông

góc của I(1; 1;1− ) lên ( )d Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K cắt 2 ( )d và vuông góc 1 ( )d 2

Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình :

x y

 − + =





=



GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh Đà Lạt

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : ( 2 )2

y = x − − ( )1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 Học sinh tự làm

2 Viết phương trình đường tròn ( )C trong mặt phẳng ( )Oxy , đi qua 3điểm cực trị của hàm số ( )1

Các điểm cực trị của hàm số ( )1 là O( ) (0;0 ,A − −1; 1 , 1; 1) ( )B −

Giả sử đường tròn ( )C cần tìm có dạng : x2 +y2 +ax by c+ + = 0, có tâm I a b(− −; )và bán kính

R = a +b −c R >

Đường tròn đi qua 3điểm cực trị O( ) (0;0 ,A − −1; 1 , 1; 1) ( )B − , nên ta có hệ phương trình :

( ) 2 2

hay ( ) 2 ( )2

C x + y + =

Câu II: ( 2 điểm )

1 Giải phương trình : 2 3x x −3x −2x − =1 0

Chú ý : Cách giải dưới đây không đúng , do vậy cần hết sức thận trọng Cẩn thận với kiểu “ Nhìn đồ thị ta thấy !!!.”

Phương trình 2 3x x −3x −2x − = ⇔1 0 3 2x ( x −1)=2x +1 ( )1

1

2

x

• = không là nghiệm của phương trình ( )1

1

2

x

• ≠ phương trình ( )1 viết lại 3 2 1 ( )2

x

+

=

−

Xét hàm số ( ) 3 , ( ) 2 1

x

+

−

Dễ thấy hàm số f x( ) =3x liên tục trên ; , ;1 1

   

   

    và có f x'( ) =3 ln 3 0x > ⇒ f x( ) liên tục và đơn điệu tăng trên ; , ;1 1

   

   

   

Hàm số g x( ) 22x 11

x

+

=

− liên tục trên mỗi khoảng ; , ;1 1

   

   

   và có ( )

( )2

2

x

−

= < ≠

− ⇒g x( ) liên tục và đơn điệu giảm trên mỗi khoảng ; , ;1 1

   

   

   

Do đó ta xét hàm số f x g x giao nhau trên mỗi khoảng ( ) ( ), ; , ;1 1

   

   

   , nghĩa là số nghiệm phương trình ( )2 thỏa điều kiện ; , ;1 1

   

   

    Trên khoảng ;1

2

 

−∞

 

  hàm số f x liên tục và đơn điệu tăng( ) ,g x liên tục và đơn điệu giảm , do đó phương trình ( ) ( )2 có nghiệm duy nhất trên khoảng ;1

2

−∞

  và ( ) ( )1 1 1

3

f − = g − = − Vậy phương trình ( )2 có nghiệm x = −1

Lop12.net

Trên khoảng 1 ;

2

+∞

  hàm số f x liên tục và đơn điệu tăng( ) ,g x liên tục và đơn điệu giảm , do đó phương trình ( ) ( )2 có nghiệm duy nhất trên khoảng 1 ;

2

+∞

  và f( ) ( )1 =g 1 = 3 Vậy phương trình ( )2 có nghiệm x =1 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = −1,x =1

Cách giải đúng : Bài toán này cần chia đến 7 trường hợp Ta cần xét tính liên tục của hàm số f x g x Đó là lý do ( ) ( ),

vì sao trong bài trình bày của tôi thường xuyên nhấn mạnh hàm số liên tục …

1

2

x

• =

( ; 1)

x

• ∈ −∞ −

1

1;

2

x  

• ∈ − 

 

1 ;1

2

x  

• ∈  

 

( )1;

x

• ∈ +∞

1

x

• = −

1

x

• =

2 Giải phương trình : cos2009x +sin2008x =1

Vì − ≤1 cosx ≤ − ≤1, 1 sinx ≤1 nên cos2009x ≤ cos ,sin2x 2008x ≤sin2x

cos x sin x sin x cos x 1

Vậy phương trình cho tương đương với hệ :

2

cos 0

2 cos 1

, cos 1

sin 0

2

x

x k x

x l l x

x

x

 =

= +



 =



¢

Câu III: ( 1 điểm ) Cho hai hàm số ( ) ( ) ( )2

g x = −x f x = x − Tính tích phân 3 { ( ) ( ) }

2

min f x g x dx,

−∫

( ) ( )

−

Cách 2 :

f x −g x = x − − −x =x − − =x x − x +

Suy ra { ( ) ( ) }

( ) ( )

f x g x x khi x

f x g x x khi x



 

Bài toán đến đây đã đơn giản nhiều

{ }

min ;

2

a b a b

a b = + − −

Câu IV: ( 1 điểm )

Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân tại A AB AC a SBC, = = ,( ) (⊥ ABC) và SA SB a= = Tính độ dài cạnh SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a

Giả sử H là trung điểm của BC , ta có AH BC⊥

Vì (SBC) (⊥ ABC)nên AH ⊥(SBC)⇒AH SH⊥ ,

SHA BHA

∆ ∆ có HA chung và SA BA a= = nên ∆SHA= ∆BHA

Suy ra : HA HB HC= = , ∆SBC vuông tại S

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , khi đó O là giao điểm HA và trung trực AB vẽ trong mặt phẳng (ABC ) Giả sử SC x=

Gọi I là trung điểm AB, khi đó tứ giác OIBH nội tiếp được nên:

2

2.AB

AH

SBC

∆ vuông ,nên có :

4

BHA

∆ vuông, nên có :

2

Vậy

2

2 3

x a

x a

< <

 < < 

 Vậy : SC a= 2 Câu V: ( 1 điểm ) Cho x y, là hai số thực dương và thỏa mãn x y+ ≤1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

xy

2

xy









Lop12.net

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x y = =

II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 )

1.Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian Oxyz cho A(0;1;0 , 2;2;2 ,) (B ) (C −2;3;1) và đường thẳng

−

1 Tìm điểm M trên ( )d để thể tích tứ diện MABC bằng 3

( ): 1 22

3 2

 = +



= − −



 = +



, M ∈( )d ⇒ M (1 2 ; 2 ; 3 2+ t − −t + t)

(2; 1; 2), ( 2; 2;1) [ ; ] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3 , (1; 2; 2)

ABuuur = ACuuuur = − ⇒ AB ACuuur uuuur = − − = − − = − n nr r = −

Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua A(0;1;0) và có vecto pháp tuyến nr =(1; 2; 2)− là :

ABC

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC): ( ( ))

3

1 4 4

M ABC

+ +

t

Vậy có hai điểm M cầb tìm là 3; 3 1; 15 9 11; ;

2 Tìm điểm N trên ( )d để diện tích tam giác NAB nhỏ nhất

ABN

3 2

2

ABN

Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập hợp A gồm nphần tử , n >4 Tìm n biết rằng trong số các phần tử của Acó đúng

16ntập con có số phần tử là lẻ

1, , 2 3

n n n

C C C lần lượt là số các tập hợp con của A gồm 1,3,5 phần tử

Ta luôn có 0 1 2 n 2n 1 2 3 2n 1

C +C +C + +C = ⇒C +C +C + = −

Từ giả thiết , ta có phương trình : 2n− 1 =16n ⇔2n− 5 =n ( )*

Vì n > 4,n∈¢ nên ta xét n =5thấy không thỏa ( )* , do đó ta xét n ≥6,n∈¢

Xét hàm số f x( )=2x− 5 −x liên tục trên nửa khoảng  +∞6; ),x ∈¢

Ta có f x'( )=2 ln2 1 0,x− 5 − > ∀ ≥ ⇒x 6 f x( ) liên tục và đồng biến trên nửa khoảng  +∞6; ),x ∈¢ và

( )8 0 8

f = ⇒ =x là nghiệm duy nhất của phương trình 2x−5 − =x 0,x ≥6,x ∈¢

Vậy n = 8 thỏa mãn đề bài

2 Theo chương trình Nâng cao :

Câu VI.b ( 2 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , biết phương trình cạnh AB :

3 7x y− −3 7 0= ; điểm B C, thuộc trục hoành và A thuộc góc phần tư thứ nhất Tìm toạ độ điểm M thuộc AB ,

N thuộc BC sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của tam giác ABC

Cách 1:

B Ox

B AB

 ∈

 ∈

A thuộc góc phần tư thứ nhất nên 0

1

3 7 3 7 0

a

a a

 ≥



Cách 2:

( ) ( )1;0

B Ox

B

B AB

 ∈

 ∈

 và M x y( 0; 0) ( )∈ AB ⇔ 3 7x0 −y0 −3 7 0= ⇔ y0 = 3 7x0 − 3 7

Giả sử : AB AC a= = , phương trình AB : 3 7 x y− −3 7 0= có hệ số góc t na ABC = 3 7

1 cos

8

ABC

Theo định lý cosin , ta có 2 2 2 2 os

4

a

AC =AB +BC − AB BC c ABC ⇒BC =

MN chia đôi chu vi tam giác ABC, nên có BM BN AM CN BC+ = + +

8a

MN chia đôi diện tích tam giác ABC, nên ta có 1 . 1 2 ( )2

BMN ABC

BM BN

Kết hợp ( )1 ,( )2 , BM BN là nghiệm phương trình , 2 9 2 0

8

a

x a

 =



− + = ⇔  =



BN a



 =

8

a

BN

BM a

 =



• 

 =



lúc này M A N≡ , là trung điểm BC

2 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ( )1 ( )2

'

Gọi K là hình chiếu vuông

góc của I(1; 1;1− ) lên ( )d Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K cắt 2 ( )d và vuông góc 1 ( )d 2

( )d có vtcp : 1 ur1 =(1; 1; 2)

,( )d có vtcp 2 ur2 =(1; 3; 1)

Lop12.net

/ / / / / / 2

IK u⊥ ⇔ t − + t − + − = ⇔t t = ⇒ K  − 

uuur r

Giả sử đường thẳng cần tìm cắt ( )d tại H thì 1

uuuur

HK uuuuur r⊥ ⇔ − −t − −t − t = ⇔ t = −

uuuur

Phương trình cần tìm là :

18 44 11

12 30 , 11

7 7 11









 = −



Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình :

x y

 − + =





Điều kiện : 1

1

x

y

 ≥



 ≥



x y

x y

( ) ( ) ( )

2

2

1 1

9

1, 1

3

x

x

x y

y

 =

⇔  − + = ⇔  = ⇔ =



 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : ( ) ( ) ( )x y; = 1;1 , 9;3