Câu 41 điểm: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cá đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.. Một mặt phẳng P chứa BC và a2 3 vuôn[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn: Toán Thời gian: 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(2 điểm): Cho hàm số: 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Một nhánh của đồ thị (C) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B Tìm điểm C thuộc nhánh còn lại sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3
Câu 2(2 điểm):
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos cos
tan 2
2 2
1 4
Câu 3(1 điểm): Tính tích phân
3 2 1
ln
1 3ln
e
x dx I
Câu 4(1 điểm): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cá đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2 3 Hãy tính thể tích
8
a
khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Câu 5(1 điểm): Cho , z1 z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z24z 11 0 Tính giá trị
2
1 2
z z
Câu 6(2 điểm):
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu 7(1 điểm): Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức: a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
P
========= Hết ========
Trang 2ĐÁP ÁN + THANG ĐIỂM
1
+TXĐ
+ Tính y’ đúng ,tiệm cận
+BBT
+Đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25 I
2
Tìm được tọa độ của A(1;0),B(0;-1) Þphương trình của AB : x-y-1=0
Do M (C) nên tọa độ Î M x;x 1 , x 1, A, B thuộc nhánh các điểm có hoành độ
x 1
æ - ÷ö
çè + ø lớn hơn -1 nên M thuộc nhánh đồ thị có các điểm có hoành độ x<-1
x 1
-+
+ 2
2
2
x 7x 6 0(loai)
=
0,25
0,25 0,5
ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về cos 2x tan 2x 1 cosx (1 tan ) 2x 2cos 2x cos -1 0x 0.5 1
Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:
, ta có:
0
y
2
2 2
2
1
4
1 4
x
x y y
x y
y
0.25
2 1 ,
x
y
+) Với v3,u1ta có hệ:
2, 5
II
2
+) Với v 5,u9ta có hệ: 2 1 9 2 1 9 2 9 46 0, hệ này VN
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y
0.25
dx
x
III
1
t
t
Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là
hình chiếu vuông góc của M lên AA’,
Khi đó (P) (BCH) Do góc A ' AM
nhọn nên H nằm giữa AA’ Thiết diện
của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH
0,25
C
’ B
’
A
’ H
Trang 3Do tam giỏc ABC đều cạnh a nờn
3
3 a AM 3
2 AO , 2
3 a
Theo bài ra
4
3 a HM 8
3 a BC HM 2
1 8
3 a S
2 2
0,25
4
a 3 16
a 3 4
a 3 HM
AM AH
2 2 2
Do 2 tg A’AO và MAH đồng dạng nờn nờn
AH
HM AO
O '
A
3
a a 3
4 4
3 a 3
3 a AH
HM AO O '
0,25
Thể tớch khối lăng trụ:
12
3 a a 2
3 a 3
a 2
1 BC AM O ' A 2
1 S
O ' A V
3
Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
Suy ra
2 2
V
Đo đú
2
1 2
11
4
z z
Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vỡ C’ là trung điểm của AB nờn:
2 5 11 2 2
m
( ; )
6 6
I
Phương trỡnh BC: 3x – 3y + 23=0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;
x y
C
x y
0.5 1
Tọa độ của B = 19 4;
3 3
Ta cú: AB(2; 2; 2), AC(0; 2; 2) Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của
VTPT của mp(ABC) là n AB AC, (8; 4;4). Suy ra (ABC):
2x y z 1 0 0.25
(0; 2;1)
VI
2
Bỏn kớnh là R IA ( 1 0) 2 (0 2)2 (1 1)2 5 0.25
Ta cú a2+b2 2ab, b2+ 1 2b
1 b ab
1 2
1 2 1 b b a
1 3
b a
1
2 2 2 2
Tương tự
1 a ca
1 2
1 3 a 2 c
1 , 1 c bc
1 2
1 3 c 2 b
1
2 2 2
0,50
2
1 b ab 1
b ab
1 b
ab 1
b ab
1 2
1 1 a ca
1 1 c bc
1 1 b ab
1 2
1
0,25
khi a = b = c = 1 Vậy P đạt giỏ trị lớn nhất bằng khi a = b = c = 1
2
1
P
2 1
0,25