Khi đó, fx có một nhân tử là x – a và fx có thể viết dưới dạng fx = x – a.qx Lúc đó tách các số hạng của fx thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử là rằng, nghiệm nguyên của đa thức, [r]
Trang 1Chuyên
A CÁC PHÁP
1 "#$ pháp '( nhân (* chung
- Tìm nhân
- Phân tích
-
) # chúng).
Ví
28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2 "#$ pháp dùng 2$ 3$ (4+
- Dùng các
-
Ví
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3
–
– Áp
Ví
a/ 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b/ x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4
-
-
- Dùng
- Nhóm
Ví
a/ 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
b/ 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
B
I
- Tàch
các 68< pháp 0 =
1 ;8 DE8 tam (4+ GH+ hai: ax2 bxc
Trang 2- Cách 1: Làm
+ H7 phân tích ax2 bxcthành nhân sao cho
x b x b
b
c a
b
2
1 2
+ Cách làm
J8K 1: Tìm tích a.c
- Cách 2: Làm
+ PQ a + b + c = 0 thì x ax c
a
c x x a c bx
2
+ PQ a –b + c = 0 thì x ax c
a
c x x a c bx
2
* Ví
a/ 3x2 x8 4 b/ 4x2 x4 3 c/ x2 x7 12
d/ 3x2 x4 7 e/ 3x2 x4 7
2 ;8 DE8 F (4+ GH+ 3 (KL lên ( tham OPQ %"#$ pháp R7 $8S7 IV)
- Tìm
+
+
+
q p
-
Ví /: a/ f x x3 x2 4
b/ f x 3x3 7x2 17x5
-
Ví /: x3 5x2 8x4
-
Ví /: x3 5x2 3x9
* Áp /$:
Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
Tách 8x = 2x + 6x (bx = a i x + c i x)
Lời giải :3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)
Trang 3f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
c) Cách 3: Tách thành 4
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)
d) Cách 4: (tách
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
e) Cách 5 (tách 2
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)
f)Cách 6
Chú ý : F( f(x) = ax 2 + bx + c có 2 ± 2AB + c thì ta tách @ sau :
f(x) = A 2 ± 2AB + B 2 – B 2 + c = (A ± B) 2 – (B 2 – c)
Ta L 4x 2 - 4x = (2x) 2 - 2.2x = ta 6 thêm và H3 1 2 = 1
Lời giải: f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
Ví
a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;
b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Hướng dẫn
Ta tách
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý :
Trang 41) b câu b) ta có , tách y - z = - (x - y) - (z - x) + z - x= - (y - z) - (x - y))
2)
vào
phân tích
II "#$ pháp thêm và GE( cùng 7B( 9$ (*
1 Thêm và GE( cùng 7B( 9$ (* U làm VW( 8S 8S +XF hai bình %"#$
Ví /: 4x4 81 4x4 36x2 81 36x2 2x2 92 6x 2 2x2 9 6x2x2 9 6x
2 Thêm và bớt một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví /: x5 x1
Cách 1:
1 1
1 1
1
1 1
2 3 2
2 2
2 2
3
2 2 3 3
4
5
5
x x
x
x
x x x
x x x
x
x
x x x x x
x
x
x
x
Cách 2:
1 1
1 1 1
1 1
1 1
2 3 2
2 2
2 3
2
2
2
5
5
x x
x
x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
* Áp /$:
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Lời giải
Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Lời giải
Cách 1 x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
= x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)= (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1)
Cách 2 Thêm và 2 :
Trang 5x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1)
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)
3m + 1 + x3n + 2 + 1 8 x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 2 + x + 1
III "#$ pháp Z8 G8[ ( '( G8[ %/ )
này thành nhân
Ví /:
4 6 101282 10 2 10 24128
A
, ta có
2 10 12
y
y12y12128 y2 16y4y4x2 10x16x2 10x8x2x8 x2 10x8
Ví /
x
x x
x x x x x
x x x
x x
x
B
Do G
2 2
2 1
x x y
y
x
2 2
2 2
2 2
2
1 3 3
1 3
3 7
6
x x x x xy y
x y
y
x
B
1 3 1
3 1 3 2 1
6 9 2
A
* Áp /$
Ví
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
2 + 10x + 12 = y,
(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
Ví
A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Lời giải
Cách 1
Trang 6
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
= = (x2 + 3x - 1)2
g- phân tích này f j 9K3 x = 0
Cách 2 A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)
= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2
IV "#$ pháp R7 $8S7
Lúc
Lời giải
–2, do
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2)
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2)
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2)
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2)
+d o lí trên, ta có các A [Y sau :
Hệ quả 1
Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1 Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.
3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là
có
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2
Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1 Từ đó f(x) có một nhân tử là x + 1.
3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là nhân
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
Trang 7= (x + 1)( x – 3)2
Hệ quả 3
Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và đều là số nguyên.
Hướng dẫn
Các 8K / 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không 6Y3 là 3A$ / f(x)
3 là
= (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 4
Nếu ( là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ , trong đó p, q Z và (p , q)=1, thì p là ước a 0 , q là ước dương của a n
Hướng dẫn
Các
có 3A$ nghuyên Xét các B , ta
1 Ta phân tích 8 sau :
f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
V "#$ pháp S \; GW( ]
Ví
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Xét bd= 3
Trang 82c = -14 - (-6) = -8 Do G c = -4, a = -2
bO x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
VI "#$ pháp xét giá (K] riêng
Trong
Ví
P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y)
Lời giải
Thay x y3 y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0
Ta
Ta
Vì 2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) j 9K3 $=3 x, y, z nên ta gán cho các
4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1
bO P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VII
1 3 + b 3 + c 3 - 3abc
Ví
a) a3 + b3 + c3 - 3abc
b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
Lời giải
a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc
= [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b)
a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc
bO (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)
Ví
Trang 9a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3
Lời giải
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
b)
3 - a3 - b3 - c3
Theo
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3
= 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
`ab
Bài (H% 1: Phân tích F (4+ thành nhân (*
2 x 4 – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
3 2ab2 – a2b – b3 23 a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
4 a 3 + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
5 x 3 + x2 – 4x - 4 25 a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
7 x 4 + x3 + x2 - 1 27 X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
8 x 2y2 + 1 – x2 – y2 28 X m + 4 + xm + 3 – x - 1
11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
12 a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3
13 a 2 – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz
14 a 3 – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5
Trang 1015 x 3 + 3x2 – 3x - 1 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3
16 x 3 – 3x2 – 3x + 1
17 x 3 – 4x2 + 4x - 1
18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2
19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2
Bài (H% 2: Phân tích F (4+ thành nhân (*
17 6x3 – 17x2 + 14x – 3 39 x4 + 4x2 - 5
Trang 1121 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43 - 7x2 + 5xy + 12y2
22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44 x3 + 4x2 – 31x - 70
Bài (H% 3: Phân tích F (4+ thành nhân (*
4 2x4 – x2 – 1 20 a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
6 x4y4 + 64 22 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
8 32x4 + 1 24 x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
9 x4 + 4y4 25 x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1
10 x7 + x2 + 1 26 x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2
11 x8 + x + 1 27 x8 + x6 + x4 + x2 + 1
9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 +
x2 + 1
3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 –
b3)
14 x10 + x5 + 1
15 x5 + x + 1
16 x5 + x4 + 1
Bài (H% 4: Phân tích F (4+ thành nhân (*
1 x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7 x4 – 13x2 + 36
Trang 128 x4 + 3x2 – 2x + 3
9 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài (H% 5: Phân tích F (4+ thành nhân (*
1 (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9 x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài (H% 6: Phân tích F (4+ thành nhân (*
1 a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2 ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
3 a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)
4 (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5 (x + y)7 – x7 – y7
6 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7 (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
9 a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1
Bài (H% 7: Phân tích F (4+ thành nhân (*
1 (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
... class="page_container" data-page="2">- Cách 1: Làm
+ H7 phân tích ax2 bxcthành nhân cho
x b x b
b
c a... z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
`ab
Bài (H% 1: Phân tích F (4+ thành nhân (*
2 x 4 – 4x3... b2c2 – c2a2
Bài (H% 2: Phân tích F (4+ thành nhân (*
17 6x3 – 17x2