Hình thành cho học sinh kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Chính vì thế, tơi đã suy nghĩ và tìm tịi một số biện pháp để Hình thành cho học sinh kỹ năng Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số lớp 8 - Tập 1 mà tơi đã áp dụng với học sinh của mình

Người viết : ………. Đơn vị : Trường THCS ………

1 Lời nĩi đầu:

1.1/ Lý do chọn đề tài

Kính thưa qúy thầy cơ giáo !

Bác Hồ đã nĩi “ Vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người ” qua đĩ chúng ta thấy được tầm quan trọng và ý nghĩa sâu xa trong câu nĩi của Bác

Chúng ta là những nhà sư phạm - cơng nhân trồng người Để sản phẩm của mình “ sánh vai với các cường quốc năm châu ” thì đúng là cơng việc khó khăn của

cả một trăm năm và lâu hơn nữa, nhất là mơi trường xã hội hiện nay khi khoa học

kĩ thuật, đang phát triễn như vũ bão thì cơng việc của người giáo viên càng trỡ nên cấp thiết Cơng việc của chúng ta là đào tạo những sản phẩm mang đầy đủ: chân, thiện, mỹ Chính vì thế việc nâng cao chất lượng giáo dục luơn là nổi băn khoăn thúc bách thầy cơ giáo

1.2/ Nêu sơ lược lịch sử vấn đề

Trong hơn mười năm học vừa qua với quá trình tiếp xúc và giảng dạy, tơi luơn suy nghĩ về mơn tốn Một mơn, khoa học tự nhiên mà trong cả cuộc đời con người luơn phải cần đến nĩ, luơn phải áp dụng nĩ Quan tâm đến tốn học, ta càng quan tâm đến cách dạy tốn Đặt biệt là Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số 8, đây là nội dung địi hỏi người học sinh phải cĩ khả năng tư duy nhanh nhạy, sắc bén và hơn nữa đây là tiết địi hỏi sự tổng hợp và tính suy luận lo gíc chặt chẽ Vì thế, Phân tích đa thức thành nhân tử - Đại số 8 là nội dung rất quan trọng bởi các yếu tố sau :

- Là tiết để tổng hợp kiến thức đã học, từ đĩ đưa ra sự lựa chọn các kiến thức

cĩ liên quan như: cơng thức, hằng đẳng thức… nhờ đĩ các em hệ thống lại kiến thức của mình qua các tiết học nội dung này

- Rèn luyện cho các em kỹ năng, kỹ xảo, trình tự làm một bài tốn theo một

hệ thống hợp lý, chặt chẽ và khoa học

1.3/ Phạm vi đề tài

Để kiểm nghiệm lại xem các em đã nắm được những gì cho mình trong bài học trước để kịp thời uốn nắn, lắp những lỗ hỏng mà các em cịn thiếu Chính vì thế, tơi đã suy nghĩ và tìm tịi một số biện pháp để Hình thành cho học sinh kỹ năng Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số lớp 8 - Tập 1 mà tơi đã áp dụng với học sinh của mình trong năm học 2008 - 2009 để qúy thầy cơ và các bạn đồng nghiệp tham khảo, đĩng gĩp ý kiến bổ sung cho tơi cĩ thêm được nhiều kinh nghiệm sau này giảng dạy được tốt hơn, hồn chỉnh hơn

2.Thực trạng vấn đề:

2.1/ Thực trạng tình hình

a) Đối với giáo viên:

Theo phương pháp đổi mới của môn toán, nội dung và kiến thức khá nhiều Cho nên trong quá trình lên lớp của giáo viên còn hạn chế về phương pháp và thời gian để hướng dẫn học sinh học theo giải pháp trên Tuy nhiên trong các tiết học lý thuyết hoặc luyện tập giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện một số kiến thức và giải bài tập mẫu theo giải pháp này

b) Đối với học sinh

Khi học sinh học các kiến thức về lý thuyết củng như giải các bài toán thường ít thấy được các mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau, cho nên trong quá trình giải toán và học lý thuyết gặp nhiều khó khăn, do đó giải pháp sau có thể giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa các kiến thức và có thể suy luận được các kiến thức mới từ các kiến thức đã biết Đối với học sinh bước đầu còn

Người viết : ………. Đơn vị : Trường THCS ………

lung túng và chưa quen khi áp dụng giải pháp này, nhưng khi tiếp xúc nhiều có thể học sinh nắm được bài nhanh, tổng quát và vận dụng tốt

2.2/ Những hạn chế khĩ khăn khi giải quyết vấn đề trong thực tế:

Tuy nhiên, xét về nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số 8, trong cơng việc giảng dạy cịn gặp nhiều khĩ khăn sau:

- Sự tổng hợp và vận dụng về kiến thức cơ bản để giải bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử của các em cịn hạn chế

- Do các em đã quen với cách giải bài tập tốn từ các lớp học trước (Số học

6, Đại số 7) bằng các phép tính cụ thể Đại đa số các em mò mẫn và chỉ cần cù là các em cĩ thể nắm bắt được vấn đề và trình bày được bài giải Đối với bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng tốn mà các em phải tìm tịi, sàng lọc, tổng hợp và mang tính tư duy cao, một dạng tốn mà các em giải trên cơ sở phát hiện vấn đề, kiểm nghiệm tính đúng đắn bằng các tính chất, định lý, cơng thức chứ khơng phải như “ một cộng một bằng hai ” mà các em quen từ lâu Điều đĩ khiến các em càng lúng túng Nhiều em học sinh giỏi vẫn chưa trình bày được lời giải một cách lo gic nhất dạng tốn này Từ đĩ gây ra những bước trình bày lời giải rời rạc: chưa xác định được mấu chốt vấn đề, một dung nào cần phân tích đễ đi đến kết quả của bài tốn Một bộ phận khơng nhỏ các em suy luận chưa cĩ cơ sở, cịn mập

mờ chưa nắm bắt được các định lý, tính chất, cơng thức, hệ thức một cách rõ ràng chính xác…

- Sự chênh lệch giửa các em học giỏi và yếu trong một lớp học cịn khá nhiều, một số em thì nắm bắt quá nhanh trong khi một số em cĩn quá mơ hồ, chậm chạp…

- Sự phân bố chương trình cịn ít tiết cho nội dung này Mặt khác, là dạng tốn mới mẻ đối với các em nên địi hỏi giảng kỉ, thấu đáo, thuyết phục, rõ ràng để các em nắm kiến thức một cách sâu sắc, khơng bị mập mờ chồng lên nhau Vì dạng

tốn này địi hỏi phải nhớ tương đối nhiều cơng thức, hằng đẳng thức để các em vận dụng vào giải bài tập

- Bài tập dành cho phần Phân tích đa thức thành nhân tử là “ quá nhiều ” nhưng lại là “ quá ít ” bài tập ở dạng dành cho học sinh trung bình và yếu Do đĩ các em giải số lượng bài tập khơng nhiều Nên các em khơng hứng thú học, nghiên cứu nội dung này nĩi riêng và mơn Đại số 8 nĩi chung

- Khảo sát thực tế, bằng cách kiểm tra và qua đĩ tơi đã thống kê điểm kiểm tra học sinh đạt được ở nội dung này trước khi thực hiện đề tài như sau:

Kết quả

Tổng số học

sinh 82

3/82 học sinh

Tỷ lệ: 3,7 %

12/82 học sinh

Tỷ lệ: 14,6 %

20/82 học sinh

Tỷ lệ: 24,3 %

20/82 học sinh

Tỷ lệ: 24,3 %

27/82 học sinh

Tỷ lệ: 33,1%

3 Các biện pháp tiến hành và kết quả.

3.1/ Nêu và phân tích những giải pháp khắc phục khĩ khăn đã thực hiện nhằm đạt được hiệu quả cao:

Với những khĩ khăn trên, tơi xin trình bày ý kiến “ Hình thành cho học sinh

kỹ năng giải bài tốn Phân tích đa thức thành nhân tử ” như sau :

+ Bước 1: Kiểm tra kiến thức cơ bản của học sinh Cĩ thể phát vấn cho học

sinh rồi sau đĩ tĩm tắt lại một cách rõ ràng nhất, cơ động nhất tĩm tắt ở bảng phụ treo ở một phía gĩc bảng, bao quát tầm nhìn của tất cả học sinh, để giúp học sinh vận dụng một cách dễ dàng

Đây là bước cĩ tính chất tiền đề nhằm củng cố kiến thức cho các em và nhằm đi vào bài giải một cách dễ dàng, thuận tiện hơn

+ Bước 2: Chọn một số bài tiêu biểu minh họa cho lý thuyết, học nội dung nào chọn bài tập đĩ Và sau cùng chọn bài chung nhất, cĩ tính khái quát nhất để tổng hợp kiến thức cho học sinh Khơng nên chọn quá nhiều bài gây sự dồn ép cho học sinh, mặt khác gây tâm lý căng thẳng mệt mỏi, quá tải Mỗi tiết chỉ chọn hai

Người viết : ………. Đơn vị : Trường THCS ………

bài đặt trưng tiêu biểu Những bài cịn lại mang tính chất tương tự chỉ nên hướng dẫn khơng nên chọn những bài quá khĩ gây tâm lý sợ sệt, chống ngợp mất tự tin ở các em

Quá trình giải bài tập trọng tâm này là một quá trình quan trọng, nĩ rèn luyện thao tác tư duy thĩi quen, cách trình bày của học sinh nên vai trị của người thầy giáo là định hình cho các em cách giải, trình bày các bước hợp lí chính xác lo gic

* Các bước của quá trình Hình thành kỹ năng giải bài tốn Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) Tìm hiểu đề tốn:

Đặt câu hỏi để học sinh hiểu rõ nội dung của đề bài, điều cho biết, điều phải tìm rồi ghi lên gĩc một phần của bảng Phần cịn lại đễ dành trình bày nội dung bài giải Dùng phấn màu gạch chân hoặc khoanh trịn những yếu tố đề bài đã cho, những yếu tố cần phát vấn để các em dễ nhìn, dễ nắm bắt được vấn đề

Nhắc lại kiến thức cĩ liên quan đến bài tốn, tìm mối liên quan giửa các điều

đã cho và điều cần tìm

Phân tích điều cần tìm để đi đến đích của bài tốn

b) Tìm tịi lời giải:

Trong phần này đặt học sinh làm trọng tâm phát huy ĩc sáng tạo, khả năng tư duy của học sinh, bằng cách phát vấn những câu hỏi cĩ tính gợi mở Thầy giáo chỉ đĩng vai trị uốn nắn, sửa chữa kịp thời những sai sĩt của các em Trong cách giải học sinh vẫn là yếu tố chủ đạo

Đặt câu hỏi giải thích cơ sở lý luận của các biến đổi, củng cố kiến thức vận dụng trong bài

c) Trình bày lời giải:

Học sinh làm việc độc lập, hoặc làm việc theo nhĩm tùy theo cấp độ của bài tốn.Gọi một học sinh hoặc đại diện nhĩn lên bảng trình bày nội dung bài giải lên

bảng để cho cả lớp quan sát, nhận xét, bổ sung lẫn nhau Sau đó giáo viên sửa lỗi

để bài giải chở thành một hệ thống gồm các bước logic chặt chẽ

d) Nghiên cứu thêm về lời giải:

Kiểm tra kết quả, xem xét lại các bước giải

Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra phương pháp giải một bài toán nào đó,

từ đó rút ra kinh nghiệm giải toán

Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán có thể đề xuất các bài toán tương tự, bài toán đặt biệt, bài toán tổng quát

+ Bước 3: Giáo viên chốt lại vấn đề: Trong cách giải bài tập Phân hích đa

thức thành nhân tử học sinh cần ghi nhớ điều gì ? Phải làm được những dạng toán nào ? Sau đó giáo viên hướng dẫn các em về nhà cho tiết học sau

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử Đại số 8 - Tập 1

+ Bước 1: Kiểm tra kiến thức cơ bản của phần Phân tích đa thức thành nhân

tử bằng cách phát vấn học sinh các kiến thức có liên quan và có thể áp dụng vào để giải bài tập, cụ thể như :

1 Tính chất của phép cộng và phép nhân biểu thức đại số:

Phép tính

Áp dụng vào

PT ĐT TNT bằng PP:

Phân phối của phép

Đặt nhân tử chung

2 Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A2 - B2 = (A + B)(A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

Người viết : ………. Đơn vị : Trường THCS ………

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

+ Bước 2: Chọn một số bài tập tiêu biểu cho học sinh nhằm nhớ lại kiến thức

cĩ liên quan

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: 2x2 - 4x (Ví dụ 1 tr18 SGK Đại số 8 - Tập 1)

a) Tìm hiểu đề bài tốn:

Phát vấn học sinh:

Đề bài cho gì ?

Yêu cầu ta làm gì ?

Em hiểu Phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào ?

b) Tìm tịi lời giải:

Phát vấn học sinh:

* Em hãy viết mỗi hạng tử 2x2; 4x thành tích của hai đa thức mà trong đĩ cĩ một đa thức giống nhau:

2x2 = 2x.x

4x = 2x.2

* Em hãy viết 2x2 - 4x thành một tích của các đa thức:

2x2 - 4x = 2x.x - 2x.2

* Em hãy so sánh cơng thức Tính chất Phân phối của phép nhân đối với phép cộng đa thức với 2x.x - 2x.2 cĩ gì giống nhau ?

      (  )

2 2

2 2 2

C B A C A B

A

x x x x

x







* Từ đĩ em viết đa thức 2x.x - 2x.2 lại như thế nào ?

2x.x - 2x.2 = 2x(x - 2)

* Ta vừa biến đổi đa thức 2x2 4x thành một tích của những đa thức 2x(x -2)

c) Trình bày lời giải:

Gọi một học sinh lên bảng trình bày lời giải

Chỉnh sửa chỗ sai.

Cụ thể là chứng minh như sau:

2x2 - 4x = 2x.x - 2x.2

= 2x(x - 2)

d) Nghiên cứu lời giải:

- Tổng kết: giảng dạy lại sơ lược bài vừa giải theo con đường trên

- Lưu ý cho học sinh phát hiện nhân tử chung giữa 2x2 và 4x là 2 hoặc x là chưa thỏa đáng

- Mở rộng bài toán: công thức Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đa thức mở rộng thêm 3, 4…chữ cái in hoa và giáo viên chọn ra một số bài toán tiêu biểu mang cấp độ cao dần cho học sinh tự giải Từ bài toán ở ví dụ 1 nêu trên, ta có thể đưa ra các bài tập khác như sau:

Ví dụ: Tìm x sao cho 2x2 - 4x = 0

Hoặc tính giá trị của biểu thức 2x2 - 4x khi x = 102

Phát vấn học sinh:

* Phân tích đa thức 2x2 - 4x thành nhân tử

* Tích 2x(x - 2) = 0 khi nào ?

* Để tính giá trị của biểu thức 2x2 - 4x ta làm gì ?

* Ta thay x = 102 vào biểu thức 2x2 - 4x và vào biểu thức 2x(x - 2) thì biểu thức nào dễ tính toán hơn ? Vì sao ?

+ Bước 3: Giáo viên chốt lại vấn đề: Qua bài tập này các em phải biết phân

tích đa thức thành nhân tử, tìm x biết, tính giá trị của biểu thức, tính nhanh

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức: x3 - 3x2 + 3x - 1 (Bài tập [?1] tr19 SGK Đại số 8 - Tập 1)

a) Tìm hiểu đề bài toán:

Cho học sinh quan sát và đọc kỹ bài toán bằng bảng phụ hoặc đã ghi sẵng trên bảng

Phát vấn học sinh:

Người viết : ………. Đơn vị : Trường THCS ………

* Yêu cầu ta làm gì ?

* Em hiểu Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức như thế nào ?

b) Tìm tịi lời giải:

Phát vấn học sinh:

* Em hãy cho biết đa thức này cĩ mấy hạng tử ?

* Các phép tốn giữa các hạng tử đĩ là gì ?

* Vậy theo em áp dụng hằng đẳng thức nào ?

* Vì sao em áp dụng hằng đẳng thức đĩ ? (Nếu như học sinh trả lời khơng được giáo viên hỏi tiếp)

* em nào biểu diễn được 3x2 cĩ dạng 3A2B; 3x cĩ dạng 3AB2 và 1 cĩ dạng

B3 ? (học sinh biểu diễn 3x2 = 3x2.1; 3x = 3x.12; 1 = 13)

* Từ đĩ em viết lại biểu thức x3 + 3x2 + 3x + 1 như thế nào ?

x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.x2.1 + 3.x.12 + 13

* Ta vừa biến đổi đa thức x3 - 3x2 + 3x - 1 thành một vế ở dạng tổng quát của hằng đẳng thức A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 Và chính bằng (A - B)3

c) Trình bày lời giải:

Gọi một học sinh lên bảng trình bày lời giải

Chỉnh sửa chỗ sai

Cụ thể là chứng minh như sau:

x3 - 3x2 + 3x - 1 = x3 - 3.x2.1 + 3.x.12 - 13

= (x - 1)3

d) Nghiên cứu lời giải:

- Tổng kết: giảng dạy lại sơ lược bài vừa giải theo con đường trên

- Lưu ý cho học sinh áp dụng sai hằng đẳng thức Thậm chí cĩ học sinh đặt nhân tử chung là x

- Mở rộng bài tốn: Cũng bài tốn trên như ta cĩ thể yêu cầu học sinh giải ở

a) Tìm x sao cho x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0

b) Tính giá trị của biểu thức x3 - 3x2 + 3x - 1 khi x = 11

c) Chứng minh biểu thức A = x3 - 3x2 + 3x – 1

Nếu: 





















1 0

1 0

1 0

x x A

Phát vấn học sinh:

* Phân tích đa thức x3 - 3x2 + 3x - 1 thành nhân tử

* Tích (x - 1)3 = 0 khi nào ?

* Để tính giá trị của biểu thức x3 - 3x2 + 3x - 1 ta làm gì ?

* Ta thay x = 11 vào biểu thức x3 - 3x2 + 3x - 1 và vào biểu thức (x - 1)3 thì biểu thức nào dễ tính toán hơn ? Vì sao ?

* Để xét các giá trị của A ta chỉ cần xét biểu thức nào với các giá trị đã cho tương ứng ở trên ? (chỉ cần học sinh nêu được ta chỉ cần xét A = (x - 1)3 với các giá trị đã cho của x < 1, x = 1 và x > 1)

+ Bước 3: Giáo viên chốt lại vấn đề: có rất nhiều bài toán mà muốn giải

quyết được thì các em phải biết phân tích đa thức thành nhân tử, rồi sau đó ta mới giải quyết được các vấn đề kế tiếp Qua đó ta thấy Phân tích đa thức thành nhân tử

là một trong những bước giải quan trọng của rất nhiều bài toán nói chung

3.2/ Kết quả đạt được:

Tương tự phương pháp trên, tôi áp dụng cho hai dạng bài tập còn lại là: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp tôi thấy: qua các tiết dạy 100% học sinh hiểu bài, nắm được các kiến thức cơ bản về lý thuyết và biết cách giải Từ chổ ngần ngại không tin vào bản thân của mình, nhưng khi áp dụng phương pháp dạy học như trên tôi thấy có khoản trên 90% học sinh thích thú học nội dung dung Phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và môn đại số 8 nói chung Trừ học sinh quá yếu còn lại hầu như trên 90% học sinh biết cách Phân tích

Người viết : ………. Đơn vị : Trường THCS ………

đa thức thành nhân tử Bằng phương pháp kiểm tra, tơi đã tổng hợp được kết quả cụ thể như sau:

Kết quả

Trước khi áp

dụng đề tài

3/82 học sinh

Tỷ lệ: 3,7 %

12/82 học sinh

Tỷ lệ: 14,6 %

20/82 học sinh

Tỷ lệ: 24,3 %

20/82 học sinh

Tỷ lệ: 24,3 %

27/82 học sinh

Tỷ lệ: 33,1%

Sau khi áp

dụng đề tài

5/82 học sinh

Tỷ lệ: 6,1 %

31/82 học sinh

Tỷ lệ: 37,8 %

40/82 học sinh

Tỷ lệ: 48,8 %

00/82 học sinh

Tỷ lệ: 00 %

8/82 học sinh

Tỷ lệ: 33,1%

4 Kết luận

4.1/ Tĩm lược giải pháp:

Vậy Hình thành cho học sinh kỹ năng Phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng Nếu hình thành được kỹ năng này thì học sinh sẽ cĩ một hệ thống những kiến thức đã học một cách lo gic hơn, chặt chẽ hơn trong đĩ cĩ sự so sánh, đối chiếu giữa những khái niệm, những định lý, mà các em đã học từ đĩ rút ra kinh nghiệm dạy của thầy để kết hợp giữa thầy và trị để hiệu quả dạy và học tốt hơn

Tĩm lại Hình thành cho học sinh kỹ năng Phân tích đa thức thành nhân tử nĩi riêng hoặc Hình thành cho học sinh kỹ năng nào đĩ nĩi chung là hình thành cho học sinh những yếu tố sau:

1.Trí nhớ khi quan sát

2.Khả năng tư duy nhẹn bén, gồm cĩ:

-Liên tưởng

-So sánh và đối chiếu

-Sàng lọc kiến thức và loại trừ

…

3.Khả năng tổng hợp, lập luận

Tuy nhiên để hình thành cho học sinh những yếu tố trên cịn phụ thuộc vào các điều kiện mơi trường, hồn cảnh khác nhau cũng ảnh hưởng khơng nhỏ tới việc