Chuyên đề phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ “ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Lí do chọn chuyên đề Đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là công tác mũi nhọn của ngành giáo dục và đào tạo.. T

CHUYÊN ĐỀ “ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ”

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Lí do chọn chuyên đề

Đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là công tác mũi nhọn của ngành giáo dục

và đào tạo Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi

là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồidưỡng nhân tài cho đất nước Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo,bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Làmột môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếmlĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chươngtrình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm

ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáoviên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm

Trong công tác giảng dạy bộ môn toán, việc đào tạo bồi dưỡng những họcsinh có năng khiếu về bộ môn toán giúp cho các em trở thành những học sinh giỏithực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn đượcngành giáo dục hết sức chú trọng Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chứcthường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó

Chương trình toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh

giỏi, trong đó chuyên đề : “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” là

một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hìnhthành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số Chẳng hạn, để thựchiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thànhnhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu họcsinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trongnhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện, Tỉnh, … nhiều năm cũng có những bài toán

về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Chính vì vậy, việc bồi dưỡng chohọc sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề màbản thân nhóm toán chúng tôi hết sức quan tâm

Vì vậy nhóm toán chúng tôi quyết định chọn chuyên đề : “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

2- Mục đích nghiên cứu.

Thông qua chuyên đề chúng tôi muốn trao đổi thêm với các bạn đồng nghiệptrong cụm 1 về một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giáo viênnâng cao kiến thức cho học sinh Từ đó:

- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đathức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt các dạngtoán này

- Giúp cho học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thànhnhân tử

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh

- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán

từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh

3- Đối tượng nghiên cứu

Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phục vụ cho dạy học sinhđại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9

4 - Phạm vi nghiên cứu

“ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”

5- Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện chuyên đề này, chúng tôi sử dụng những phương pháp sau đây

a) Phương pháp nghiên cứu lý luậnb) Phương pháp khảo sát thực tiễnc) Phương pháp quan sát

d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hoáe) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6- Tài liệu tham khảo

Để thực hiện chuyên đề này chúng tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:

- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9

- Chuyên đề bồi dưỡng đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của nhóm tác giả: NguyễnVăn Vĩnh - Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp

PHẦN II: NỘI DUNG1.Cơ sở khoa học của chuyên đề.

1.1 Cơ sở lí luận.

Môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoahọc với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và vớimỗi cá nhân, rèn luyện cho người học tư duy lôgic sáng tạo khoa học

Đối với học sinh bậc THCS, các em là những đối tượng người học nhạycảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực.Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủđộng, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui, hứngthú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừngtìm tòi khám phá, khai thác, dạy học phân hóa, dạy sát đối tượng học sinh, quantâm bồi dưỡng học sinh giỏi

Để phân tích đa thức thành nhân tử có bốn phương pháp cơ bản đó là: Đặtnhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp nhiều phươngpháp (sgk - Toán 8 Tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh sẽgặp khó khăn trong quá trình giải toán ( có những bài chưa thể giải được hoặckhông có phương pháp tổng quát để giải ) Vì vậy khi dạy các phương pháp phântích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh các phương phápkhác ngoài sgk như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt một hạng tử,đặt ẩn phụ (đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng, … Để giúp các em biết lựachọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó

Trong quá trình giảng dạy chúng tôi gặp những thuận lợi và khó khăn nhưsau:

- Hầu hết các giáo viên rất ham học hỏi, nghiên cứu soạn bài, thường xuyên

sử dụng đồ dùng trong giảng dạy và dạy đúng phương pháp bộ môn

- Luôn được sự quan tâm và chỉ đạo sát sao của BGH, chi bộ Đảng đã giúp

- Nhận thức của phụ huynh ngày càng nâng cao là điều kiện tốt để phối hợpgiáo dục giữa Gia đình - Nhà trường - Xã hội.

b) Khó khăn:

- Trong tổ có nhiều môn khác nhau nên khó trong việc bồi dưỡng và giúp đỡlẫn nhau về chuyên môn

- Một số giáo viên năng lực tổ chức lớp còn hạn chế

- Số giáo viên có chuyên môn nghiệp vụ giỏi còn ít, một số giáo viên cònchưa linh hoạt trong việc áp dụng các phương pháp mới vào trong dạy học

- Một số giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học còn chưa thành thạo, phònghọc có máy chiếu còn ít nên sử dụng giáo án điện tử trong mỗi tiết chưa nhiều

- Số học sinh giỏi ở tiểu học đạt giải huyện, tỉnh, quốc gia đều chuyển đi họctrường chuyên nên không có nguồn để bồi dưỡng

- Vẫn còn một bộ phận học sinh còn chưa cố gắng trong học tập, ý thức đạođức chưa tốt

- Thiết bị dạy học của một số môn còn thiếu, những thiết bị hỏng còn chưađược thay thế

2 Biện pháp thực hiện:

- Cần soạn giảng hệ thống câu hỏi ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu

- Nên tạo ra tình huống có vấn đề trong giảng dạy để kích thích tư duy và kĩnăng thực hành của học sinh

- Giáo viên nên thường xuyên động viên khen ngợi các em, hướng dẫn các

em cách ghi chép, cách học và làm bài tập ở nhà, ra các bài tập có cùng dạng nhưcác bài đã được học

- Khi ra bài tập cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện một sốnội dung sau:

+ Đọc kỹ nội dung bài ra

+ Nhận dạng bài toán thuộc dạng toán nào, thực hiện phép " Quy lạ về quen ".+ Xác định rõ yêu cầu của bài toán

+ Xác định đúng bài cho biết gì? Viết điều cho biết dưới dạng khác được không?+ Kiểm tra xem đã vận dụng hết điều đề bài cho biết chưa, sử dụng nhữngkiến thức nào ở trong bài? Vận dụng như thế nào ?

+ Tự mình tiến hành trình bày lời giải

+ Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy

+ Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán ( nếu được )

+ Rút ra kinh nghiệm cho bản thân

- Giáo viên cần đưa ra các dạng bài tập với mức độ từ thấp đến cao, nângmức độ khó dần ( kể cả kiến thức lẫn kĩ năng)

3 Nội dung chuyên đề.

A - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Tìm nhân tử chung là các đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử

- Phân tích mỗi hạng tử thành các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗihạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng) nhằm đưa về dạng:

A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Giải: Ta có:

A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)Giải: Ta có:

P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)[(2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)]

= 3x(y – 2z)[(x – 5(y – 2z)]

=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)Giải: Ta có:

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (2x + y)3

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 27 - 27x + 9x2 - x3 Giải: Ta có:

= (1 - 3xy2)(1 +3xy2 + 9xy4)

*) Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng

đẳng thức

Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = -x4y2 - 8x2y - 16 Giải: Ta có:

A = -x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = -[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = -(x2y + 4)2

Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 16x2 + 40x + 25

Giải: Ta có:

A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52

= [(x + y) +(x - y)][(x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 ] = 2x[2(x2 + y2) - (x2 – y2)]

= 2x(x2 + 3y2)

Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) +(z – y))

= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

= 3(z – x)(y – z)(x – y)

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3)Giải: Ta có:

A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+

b) Ví dụ:

*) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp nhân tử chung

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x2 - xy + x - y b) xy - 5y + 2x - 10 c) 2xy+ z + 2x + yz

Giải: Ta có:

a) Cách 1: x2 - xy + x - y = (x2 - xy)+ (x - y)

= x(x - y ) + 1.(x - y)

= (x - y)(x + 1)

Cách 2: x2 - xy + x - y = (x2 + x) - (xy + y)

= x(x + 1) - y(x + 1)

=(x + 1)(x - y) b) xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x - 10)

*) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp hằng đẳng thức

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x2 - 2x + 1 - 4y2 b) x2 + 4x - y2 + 4Giải: Ta có:

*) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x2 - 2 - 4y2 - 4y b) x3 - x + 3x2y +3xy2 + y3 - y

= (x + y)3 - ( x + y)

= (x + y) [(x + y)2 - 1] = (x + y)[ (x + y - 1)(x +

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Giải: Ta có:

A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z2 + 1)Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có:

A = 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x6 + x4 + x2 + 1

Giải: Ta có:

B = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)

Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x2 + 2x + 1 – y2

Giải: Ta có:

B = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2 = (x +1 – y)(x + 1 + y )Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 2xy + z + 2x + yz

Giải: Ta có: P = 2xy + z + 2x + yz

= (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Giải: Ta có:

A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)

= (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z)Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2

– zy2

Giải: Ta có:

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xyGiải: Ta có:

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

= 3xy[(x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)]

= 3xy[(x – 1)2 – (y + z)2 ] = 3xy[(x – 1) –(y + z)][(x – 1) + ( y+ z)]

= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Giải: Ta có:

A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x– y)

Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa sốchung y - z

Ta có: P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z))

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

Nhận xét: Dễ thấy z – x = -[(y – z) + (x – y)]

Nên : P = x2(y – z) - y2[(y – z) + (x – y)] + z2(x – y)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abcGiải: Ta có:

Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 +abc)

= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca)

Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abcGiải: Ta có:

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)Giải: Ta có:

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2y2(2x + y) + z2[y2(z – y) – 4x2(2x + z)]

= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2[z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3)]

= 4x2y2(2x + y) + z2[z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 –2xy + 4x2)]

B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có:

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

2.4 - Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp

a) Phương pháp

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặtnhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán mộtcách cụ thể mối quan hệ giữa các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp

Khi phân tích đa thức thành nhân tử nên thực hiện theo các bước sau:

+ Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức nếu có+ Nhóm nhiều hạng tử ( thường mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc làhằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “ - ” trước dấu ngoặc và đổi dấu cáchạng tử

b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 1: 3xy2 - 12xy + 12x = 3x(y2 - 4y +4) (Đặt nhân tửchung)

= 3x(y - 2)2 (Dùng hằng đẳngthức)

Bài 2: 2x2 + 4x + 2 -2y2 = 2(x2 + 2x + 1 - y2) (Đặt nhân tửchung)

= 2[( x2 + 2x + 1) - y2] ( Nhóm các hạngtử)

= 2[( x+ 1)2 - y2] (Dùng hằng đẳngthức)

= 2(x + 1 - y)(x + 1 + y)

Bài 3: 2x - 2y - x2 + 2xy - y2 = ( 2x - 2y) - (x2 - 2xy + y2 ) ( Nhóm cáchạng tử)

= 2(x - y) - (x - y)2 (Dùnghằng đẳng thức)

= (x - y)[2 - (x - y)] (Đặt nhân

tử chung)

= (x - y)(2 - x + y)

Bài 4: 5x2y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y2z2 + 5x3y2

= 5x3y2(x2 - 2x - y2 -2yz - z2 + 1) (Đặt nhân tửchung)

= 5x3y2[( x2 - 2x + 1) - (y2 + 2yz + z2) ( Nhóm các hạngtử)

= 5x2y2[(x - 1)2 - (y - z)2] (Dùng hằng đẳng thức) = 5x2y2 ( x - 1 - y - z)( x - 1 + y + z)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3

Gợi ý: Áp dụng hằng đẳng thức : (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 + (A + B)3 - 3AB(A + B)Giải: Ta có: A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = [(x + y )+ z]3 - x3 - y3 -

z3

= (x + y)3 + z3 + 3z( x + y)(x + y+ z)- x3 - y3 - z3

= [(x + y)3 -x3 - y3] + 3z(x + y)( x+ y + z)

= 3xy(x + y)(xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z)

Từ bài 5: Ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:

Bài 5.1: Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên

Bài 5.2: Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 = 3xyz

Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) và x + y + z = 0;

Suy ra x = y = z

3 Các phương pháp khác (nâng cao)

3.1: Phương pháp 5: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử a) Phương pháp:

- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuấthiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức

b) Ví dụ:

Bài 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử

Quan sát đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũngkhông có dạng hằng đẳng thức nào và cũng không thể nhóm các hạng tử Như vậy

để phân tích đa thức trên thành nhân tử ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biếnđổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong cáchạng tử của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử

Giải: Cách 1: (Tách hạng tử bậc hai: 3x 2 )

3x2 - 8x + 4 = 4x2 - 8x + 4 - x2

= (2x - 2)2 - x2

= (2x - 2 - x)(2x - 2 + x)

Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai bài tập ta thấy cách 2 là đơn giản

nhất và dễ làm nhất.Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất -8x (bài 2) thành hai hạng tử-6x và -2x

Phân tích: Trong đa thức 3x2 - 8x + 4 có a = 3, b = -8, c = 4

Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1+ b2 = b(a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2)= 12; b1 + b2 = b = (-6) + (-2) = -8)

Bước 2: ac = (-6).(-2) = (-3).(-4) = (-12).(-1) = 12.1 = 3.4 = 6.2

Bước 3: b = 7 = 4 + 3

Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3xKhi đó ta có lời giải: - 6x2 + 7x - 2 = -6x2 + 4x + 3x - 2

= (-6x2 + 4x ) + (3x 2)

= 2x(3x - 2) + (3x + 2) = (3x - 2)(-2x +1)

Chú ý: Đối với đa thức có từ bậc 3 trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ

tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vậndụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: n3 - 7n + 6

Giải: Ta có: n3 - 7n + 6 = n3 -n -6n + 6

= n(n2 - 1) - 6(n - 1)

= x(x + 1)(x2 x + 1) 30(x2 - x + 1)

= (x2 - x + 1)(x2 + x - 30) = (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6)Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 6x + 5

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x4 + x2y2 + y4

*) Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức

Bài 1: Phân tích đa thức x4 + x+2 thành nhân tử

= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)Bài 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử

Giải: Thêm x3 và bớt x3 ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tửchung)

*) Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

Bài 4: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử

Giải: Ta có:

x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 -x3 + x2 -x2 + x - x + 1

= (x5 + x4 + x3) + (-x3 - x2 - x) + (x2 + x + 1)

= x3( x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x +1)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 4x4 + 81

Giải: Ta có:

P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2