Chuyên Đề Cung Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Có Lời Giải Và Đáp Án - Tài Liệu Toán - Thư Viện Học Liệu

Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn[r]

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC

LƯỢNG GIÁC

Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2 Ngoài ra, kiến thức chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.

b Radian

- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian)

- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là

1 rad)

Nhận xét:

+ Cung độ dài R có số đo 1 rad

+ Đường tròn có độ dài 2 R có số đo 2 rad

+ Cung có số độ dài l có số đo 1

R

  rad

+ Cung có số đo  rad có độ dài l.R

c Liên hệ giữ độ và rad

Đáp án D

Ví dụ 2: Cho đường tròn O R ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF Khi đó số; sso cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượtlà:

Khi viết góc theo đơn vị

radian ta không viết chữ

rad sau số đo góc đó

Ví dụ: thay cho rad

STUDY TIP

Khi viết góc theo đơn vị

radian ta không viết chữ

rad sau số đo góc đó

Ví dụ: thay cho rad

 Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad

- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là

dương, chiều ngược lại là chiều âm

- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ

là chiều âm

b Cung lượng giác

- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B Kí hiệu ABÐ

- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn ABÐ Nếu OM quay theo chiều dương từ

OA tới OB tạo ra góc  thì cung ABÐ có số đo là k2k 

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O

bán kính R 1, cắt Ox tại A1;0 và A ' 1;0 ; cắt Oy tại B0,1 và B' 0,1  .

Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.

e Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

- Để biểu diễn cung  , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

sđ AM Ð  .

+ Nếu  2  360, ta chọn điểm M sao cho AOM  (theo chiềudương)

+ Nếu  2, ta viết    k2 và ta chọn điểm M sao cho AOM  

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác M thuộc

đường tròn sao cho 

số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượnggiác OA OB ?; 

Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho  AOM 150 Tính

diện tích hình giới hạn bởi điểm O và AMÐ có thể là:

A 5

3

 (đvdt) B 5

6

 (đvdt) C 5

9

 (đvdt) D 5

12

 (đvdt)

Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm M M M M sao cho ngũ1; 2; 3; 4

giác AM M M M là ngũ giác đều, sđ 1 2 3 4 AMÐ 3 là:

thành 1 đa giác đều trên

đường tròn lượng giác là

STUDY TIP

Tập hợp n điểm tạo

thành 1 đa giác đều trên

đường tròn lượng giác là

Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AMÐ có số đo  Với

cắt đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và  AOD  0   Cung

AMÐ có số đo     Khi đó số đo của cung lượng giác AMÐ 1 là:

A 2 k2 B 2 k2 C  2k2 D.

2 k2

   

Lời giải

Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M đối xứng với M1

qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.

Gọi giao điểm của d với  O là D y   D 0

Vì M đối xứng với M qua d 1  sđ AMÐ sđ DMÐ 1

Ta có: MD AD AMÐ  Ð  Ð  sđ MDÐ    s DM đ Ð 1  Lại có : AM1 AD DM 1 sđ AM1    2 

Ví dụ 8: Chọn điểm A1;0 làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn

lượng giác Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo 27

4



A M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất

B M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai

C M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba

D M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư

Ví dụ 9: Một đường tròn bán kính 20cm Tính độ dài cung trên đường tròn có



Đáp án B.

Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác.

Khẳng định nào dưới đây là sai?

A Điểm biểu diễn cung  và cung   đối xứng qua trục tung

B Điểm biểu diễn cung  và cung  đối xứng nhau qua gốc tọa độ

C Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất

D Cung  và cung a k 2k  có cùng điểm biểu diễn

Đáp án C.

C Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 268

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M sao cho 2 2

M M lần lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy Gọi AMÐ '  k2;

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây không thuộc đường tròn

Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A Góc lượng giác Ou Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu; 

và tia cuối với nó có số đo dương

B Góc lượng giác Ou Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác ;  Ou Ov; 

có số đo âm

C Hai góc hình học uOv u Ov bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác; ' '

Ou Ov và ;  Ou Ov sai khác nhau bội nguyên '; ' 2

A 2484 B 4896 C 2448 D 4243

§2 Giá trị lượng giác của một cung.

Công thức lượng giác

A Lý thuyết và các dạng toán điển hình

I Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác

1 Trên đường tròn lượng giác, cho cung AM có sđ AM  (còn viết AM 

) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x y ; 

;

x OH y OK

Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α: sin  sin  y OK

+ Hoành độ x của M là cosin của góc α: cos  cos  x OH

+ Với cos 0, tỉ số sin

- sin ,cos , tan ,cot    gọi là các giá trị lượng giác của góc α

- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin

c Với   m mà  1 m1 đều tồn tại  và  sao cho sin m vàcos m

e Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng

AM  trên đường tròn lượng giác

Góc phần tư

Giá trị

lượng giác

I0;

;2

;22

3

2

2 2

4 Ý nghĩa hình học của tang và cotang

a Ý nghĩa hình học của tang

Kẻ tiếp tuyến t At' với đường tròn lượng giác tại A.

Gọi T OMt At' Khi đó tan AT

Trục t At' gọi là trục tang.

b Ý nghĩa hình học của cotang

Kẻ tiếp tuyến s Bs' của đường tròn lượng giác tại B.

Gọi S OM s Bs' Khi đó cot BS

12

A 2

22

   điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất

sin 0;cos 0 sin cos  0

Ở góc phần tư thứ I, cos3  0 (4) sai.

0 2   (góc phần tư thứ I, II)  sin 2  0 (5) đúng

3cos

cos

325

Đáp án D.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 sin cos

coscos

1 sin cos

coscos

sin cos sin cos

coscos

a a

III Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt

1 Cung đối nhau ( và  )

Ví dụ 1: Giá trị cos29

3

 là:

Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn , ta được góc

, sau đó tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình

13tan

Ví dụ 4: Cho ABC Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai?

A sinBsinA C  B cosB C  cosA2C

Vì A B C   nên sinBsinA C 

Vì A B C   nên A2C  B C    cosB C   cosA2C

IV Công thức lượng giác

cos cos cos sin sin

Ví dụ 4: Cho ABC, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng?

A sin cos cos sin sin

C cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

D sin2 sin2 sin2 2sin sin sin

     

tan A B tan  A B tan A B tanC

+ cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A

2 Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

a a

a a

a a a

3 2

sin 3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan 3

Ví dụ 1: Cho sin 5; 3



     Khi đó giá trị biểu thức

sin 2 cos 2 tan 2 gần nhất với giá trị nào?

Lời giải

Vì sin 5;

13

   thuộc góc phần tư thứ III nên cos 0

sin 2

2 sin

n n

x x

sin 2

2 sin

n n

x A

quan hệ giữa các cung

lượng giác đặc biệt để

thỏa mãn yêu cầu đề bài

và tính ra kết quả.

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2sin sin

Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức sin sin 3 sin 5

cos cos3 cos5

tan 32cos3 cos 2 cos3 cos3 2cos 2 1

Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x?

B Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 268

Câu 1: Cho phương trình:

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn

cos 2

x a x A

A  sin x B sin 3x C sin x D.

Câu 12: Cho sin 2 a b  5sinb.

Khi đó giá trị 2 tan 

tan

a b a

 là:

Câu 14: Nếu tan và tan  là 2 nghiệm của phương

Câu 15: Cho ABC Tìm GTLN của biểu thức:

A A B C

32

Câu 17: Cho ABC có

2 2

tan sintan sin

C  C Khi đó xác

định dạng của ABC Chọn câu trả lời đúng nhất

A ABC vuông B ABC cân

C ABC đều D A và B đều đúng

Câu 18: Cho ABC có

B C  C Khi đóABC

A tam giác vuông B tam giác cân

C tam giác nhọn D tam giác tù Câu 19: Cho ABC có:

A tam giác vuông B tam giác cân

C tam giác nhọn D tam giác tù Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức Asinx 5 lần lượt là a, b Khi đó tích a.b

Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của Acos 2x 3 sin 2x1 Khi đó giá trị

Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức Asin2 x 3sinx 2 Khi đó tổng



1

p q

1

p q

C 1;2

Câu 36: Cho tan 3 và

Câu 42: Giá trị biểu thức cot 3tan

1913

Câu 47: Cho sin cos 1

Câu 49: Giá trị của biểu thức cos15 cos 45 cos 75  

Câu 50: Giá trị A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60

Câu 52: Thu gọn biểu thức sin sin 3 sin 5

cos cos3 cos5

Câu 54: Giá trị của biểu thức:

cos 20 cos 40 cos160 cos180

A          là:

Câu 55: Giá trị biểu thức:

A cos cos 2 cos

n A

Câu 57: ABC có sin 2cos cos

 là tam giác nào sau đây?

A tam giác cân B tam giác vuông

C tam giác đều D tam giác tù

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III

Xem đáp án chi tiết tại trang 274

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các

C Chỉ I, II, IV D Cả I, II, III, IV

Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm Độ dài

Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là

20cm Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là

không đổi và bằng 18km/h Trong một thời gian bao

nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần

nhất

A 0,01 (s) B 0,02 (s) C 0,1 (s) D 0,2 (s)

Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm Khi đó số đo

của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp

đường tròn đó là:

A 2π B 3 3 C 3

33



Câu 6: Đổi số đo 5

3

 sang đo độ ta được:

A 300° B 600° C 150° D 120° Câu 7: Số đo radian của góc 15° là:

Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo Ox Oz;  25

thì hai tia Ox và Oz:

A vuông góc với nhau B trùng nhau

C đối nhau D tạo với nhau góc

4



Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có

bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ 

AM  k ?

Câu 10: Trong khoảng thời gian là 5 giờ thì kim giây

của đồng hồ quay được một góc có số đo là:

Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam

giác vuông ABC (vuông tại A) Cho sđ  2

6

AM  k (k   ) Khi đó số đo cung AC có thể nhận giá trị nào?

Câu 12: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) có bao

nhiêu điểm M thỏa mãn sđ 

4

k

AM   (k  )?

Câu 13: Góc lượng giác Ou Ov có số đo góc là; 

M Ox Oy Khi đó M thuộc góc phần tư nào để

tan , cot  cùng dấu?

C Với M là điểm trên đường tròn lượng giác

M Ox Oy ,  thì với AM  ta có sin , cos  cùng

dấu  M thuộc góc phần tư thứ I và III

D Với mọi góc α làm cho tan xác định thì nó cũng

làm cho cot xác định

Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với

AM   Khi đó có bao nhiêu điểm N với AN

thỏa mãn cos cos (N không trùng với M)

Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng

giác gốc A cho sđ  AM   k2 ; k  Xác định vịtrí của M biết sin  1 cos 2 và

Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc

A với hệ trục tọa độ Oxy Nếu sđ

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức tanx5cotx

là:

Câu 22: Nếu tan và tan  là hai nghiệm của

C sin cos 2x y D cos cos 2x y

Câu 30: Cho cos18 cos 78 cos Giá trị dươngnhỏ nhất của  là:

Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị tan ;cotx x thỏamãn tanxcotx10

Câu 34: cos sin 1

Câu 37: Cho cot 3 Khi đó

Câu 38: Cho tancot m với m  Khi đó2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 6

I Cung và góc lượng giác

Vì số đo hình học uOv luôn

dương và 0uOv 180 nên

uOv   (giá trị âm hay dươngcủa góc lượng giá cho ta biếtchiều quay từ Ou đến Ov; còn

về độ lớn hình học thì bằng (với 180 uO 180 và  là

độ lớn của góc nhỏ nhất khi quay

từ Ou đến Ov, nếu  0 thì độlớn là  )

Câu 7: Đáp án A



2550 360 7 30    uOv30

Có thể dùng máy tính để tìm ra

góc cần tìm Ví dụ như ở trên, ta

nhập vào màn hình biểu thức

2550R360, ấn phím " " ta

được kết quả là 7, R 30, nghĩa

là số dư khi chia 2550 cho 360 là

AM



Ð Ð

Ð không xácđịnh

3 2 tan3

2

32

cả tử và mẫu với một giá trị phù

hợp để xuất hiện tan ,sin , 

cos , cot .Thay số rồi tính

12cos

sin acos a ta được hệ1

phương trình 2 ẩn sin , cosa a Từ

đó tính được sin , cosa a

2 2 cos cos sin sin

sin cos sin cos

9sin cos2

9sin cos

2sin cos

9

8sin 2 4sin cos

2018

2017 2018 2018

sin sin 2 sin 4

1

sin 2cot cot cot cot 22

cot 2 cot 2cot cot 2

sin 2 2 sin 2sin 2

sin 22sin

.4sin2

a b



Câu 13: Đáp án C

Ta có:

cot cot ;cot cot

cot cot cot cot

tan tan tan tan

.tan tan tan tan

21

A B  t m

trong tam giác đạt một giá trị lớn

sin sco sin

(vì sin ,sinB C  )0cos sin cos sinsin 2 sin 2

cos cos sin sin

sin cos sin cos

cos cos

sin

sin sin

cos cos sin sin

cos cos sin sin

cos cos sin sin 0

sin

2cossin

A C

tanxcotx tanx cotx

(vì tan ,cotx x cùng dấu)

2 tan cotx x 2

(Bđt AM-GM)Dấu " " xảy ratan cot

5

x

f x x

x

f x x

giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là

 , max của hàm số đạt tại

1 trong 2 đầu mút, đầu mút nàogần với

2

b a

 hơn thì hàm số đạtmax tại đó

+ a  0 max của hàm số đạt tại

2

b t a

 , min của hàm số đạt tại 1trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần

mứt nào làm cho hàm số lớn hơn

thì đạt max, còn lại là min Ví dụ

ở câu 15, min của hàm số đạt tại

2 xa hơn  max của hàm số đạt

tại 1, khi đó maxA 5 Còn ở

tan tan

p q

x x x x

Vậy không có giá trị m thỏa mãn

yêu cầu bài toán

tính biểu thức cần tính ở đề bài vàthử 4 đáp án, đáp án nào có kếtquả trùng với biểu thức cần tínhthì chọn

Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập

Rồi ấn Khi đó đã gán cos15 A(để chế

độ tính độ), lần lượt nhập vàomàn hình:

x A

là sin A  4, tương tự với

cos 3cos 2sin2sin 4cos

2 2

2

3cossin cos

3cos

1 3sin cos

1sin

x

x x

Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên

vào máy với x là một góc bất kì,

nếu nhiều goác ra cùng một kết

tancos

a

a A

a a

cos 12sin cos

1sin cos

a a

a a

34cos 10 3cos10

tan 3cos3 2cos 2 1

= =

tính Thông thường những biểu

thức này thường có công thức

tổng quát Khi đó công thức đúng

Câu 57: Đáp án C

Dễ thấy nếu A B C    60 thìđẳng thức đã cho đúng  loại B

Nếu A B C    60 thì thỏamãn

ABC

+ Tại C A B  VP 1

 sin

1sin

B

B C C

đều

Vậy ABCđều

III Đề kiểm tra chủ đề 7 Câu 1: Đáp án

l    



Câu 3: Đáp án B

3

37

726 =



  nên có thể xác định 8

điểm M bằng cách trên.

giảm đi) 8 đơn vị thì điểm M trùng với A (bắt đầu từ k 0, sau

tan cot    1 0 tan ,cot 

cùng dấu trên từng khoảng xác

định

Câu 16: Đáp án D

Giả sử với   0 sin 0;

cos 1 tan  0 cot

không xác định

Câu 17: Đáp án D

+ Nếu M không trùng với A và A'

 có duy nhất 1 điểm N thỏa

mãn yêu cầu bài toán (hình vẽ)

+

Nếu M  A M A' thì không

có điểm nào thỏa mãn yêu cầu

Câu 18: Đáp án B

Theo đề bài sin 0;cos 0

 M thuộc góc phần tư thứ II.

cos3

tan tantan tan

p q