Chuyên đề rút gọn phân thức - THCS.TOANMATH.com

Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc ).. Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ th[r]

RÚT GỌN PHÂN THỨC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:

Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;

Bước 2 Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1 Rút gọn phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1 Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

Bước 2 Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung

Bài 1: Rút gọn phân thức

3 4

3 2

17

34

xy z

A

x y z

2 2

y xy B





2 2

25 5

x C

x x







2

2

x xz xy yz

D

x xz xy yz



 2

45 3

E

x x







G





Bài 2: Rút gọn phân thức

ax a x

A





3

6 4

B



2

2a 2ab C

ac ad bc bd





4

D



2 2

E



2 3

1

F

x



Bài 3: Rút gọn phân thức

2

A



B



C

a b c



2 2

D



F



Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong CD 1 và CD2

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

2

)

x a





2

)

b





Bài 5: Chứng minh đẳng thức

5

1

1

x

x

2

)

b



Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước

Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;

Bước 2 Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho

a   b c Rút gọn biểu thức   

2

ax by cz

Bài 7: Cho ax by cz  0 Rút gọn phân thức

     

A



Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x

Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức;

Bước 2 Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho sao cho không còn các ẩn ( x,y …đề bài yêu cầu không phụ thuộc )

Bài 8: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biếnx

A

x y ay ax





B



Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x y,

2

Dạng 5: Bài toán nâng cao

Bài 10: Cho x y 0 Chứng minh rằng

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức

Bài 1:

17

xy z yz

A

x y z x

2 2

y xy B







2 2

25 5

5

x C

x x







2

2

x xz xy yz

D

x xz xy yz



 2

3

E

x

x x







G





Bài 2:

ax a x

A

ax x a

ax x a











3 2 2

6 4 6 4

3 2

B

x x

x x





 













2

2

2

2

C

ac ad bc bd

a a b

a a b

c d a b a

c d

















2

4

3

3

3

D

x a a x

x a

a x

x a















2 2

1

E







 

2 3 2 2

1

2 1

F

x

x











 

Bài 3:

2

2

2

3

A

x x

x











2

2 2

2 2

2 2

B













C

a b c

a b c a b c

a b c

a b c



 



 

  

2 2 2

2

D

a b c a b c

a b c a b c

a b c

a b c









 



 

F

b c a c a b

F

a b b c c a



 

Ta có nhận xét Nếu x y z   0 x3y3z3 3xyz Đặt b c x c a  ;   y a b z;   thì

0

x y z  

3

F

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

2 2

)

x a

x x









2

2

)

b







Bài 5: Chứng minh đẳng thức

5

1

1

x

x

Thực hiện phép chia đa thức

x   x x x x  x

2

)

2

b

VT

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước

a   b c rút gọn biểu thức

2

ax by cz

Đặt x y z k 0 x ka y kb z kc; ;

  

2

2 2

2

1

ax by cz

aka bkb ckc







Bài 8: Cho ax by cz  0 rút gọn phân thức

A



2

x y z  x y z  xy yz zx 

Biến đổi mẫu thức

Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng

a b c



 

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x

Bài 9: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biếnx

  

1

A

x y ay ax

x y x y

a x y y x

x y x y

a x y x y

a













1

B

a

x











Bài 10: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x y,

2

1

1

x

y





Dạng 5: Bài toán nâng cao

Bài 11:cho x y 0 chứng minh rằng



Do x y 0nên x y 0

Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có

x y x y

Mặt khác vì x y 0nênx22xy y 2 x2y2

Vậy

2

(1)(2)

dpcm



B.PHIẾU TỰ LUYỆN

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

a)

5 3 2

2 4

14

21

x y z

x y z b)

3 2

x y x

xy x



 c)

 3

3 5

x



 d)

3 2

xy x





Bài 2: Rút gọn các phân thức sau

x



 b)

2 2

2 2



 c)

2

yx xy

x xy



 d)

3

64

y

Bài 3: Rút gọn các phân thức sau

2

x



  b)

2

25 9

x

2 2

   d)

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

a)

2



4



2



Bài 5: Chứng minh đẳng thức

a)

2 x

1 y x

4x

4

2 2y

x

xy















b)



P



2 2

Q



Chứng minh rằng P = Q

Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức

A





  tại m 8 b)

2

B



Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính

2 2

C



Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số

a)

M





  b)

N



3 5

 )

A



a) Thu gọn biểu thức A

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x

Dạng 5: Bài toán nâng cao

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên

2

u với u2 b)

2

u

1 3

u 

Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 2x2 2019

x

b) Tìm giá trị lớn nhất của

2 2

B



HƯỚNG DẪN Dạng 1: Rút gọn phân thức

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

2 4

)

x y z x z

a

x y z  y b)  

2

xy x



2





Bài 2: Rút gọn các phân thức sau

Bài 3: Rút gọn các phân thức sau

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

4



2

Bài 5: Chứng minh đẳng thức

a)

2 x

1 y x

4x

4

2 2y

x

xy















b) 2 2

x xy y

x x y xy y x y

Bài 6: - Có:

4 8

xy x y x P

x x y



2 2

Q



Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức

A





  tại m 8

Thay m=-8 vào A ta được:

B



Thay n=1000001 vào B ta được:

Bài 8: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, hãy tính

2 2

C



Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Bài 9: Chứng minh giá trị của các phân thức sau luôn là hằng số

a)

M





  b) (với k là hằng số khác

3 5

 )

N



Khi đó

là hằng số

A



a)Thu gọn biểu thức A

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x

Có:

Dạng 5: Bài toán nâng cao

Bài 11: Tìm giá trị nguyên của u để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên

2

u với u2

Để 3

2

u nguyên thì

Ta có bảng

2

u nguyên

u

1 3

u 

u

Ta có bảng

u

(KTM)

0 (TM)

-1 (TM)

(KTM)

Bài 12: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2 2019

A

x

Dấu “=” xảy ra khi x- 2019= 0 x=2019

Vậy khi x=2019

B



2

2

3

B

x

Dấu “=” xảy ra khi

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========