Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1 , x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số... Phan huy Th«ng.[r]

Nhắc lại về biến đổi đồng nhất.

I.Phép nhân các đa thức:

Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì:

A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE

II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + b2

(A - B)2 = A2 - 2AB + b2

A2 – b2 = (a + b)(a – b)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3

A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b)

A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b)

(A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

Lưu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.

- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tương ứng bằng nhau

- Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không.

III Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1 PP đặt nhân tử chung

2 PP dùng hằng đẳng thức

3 PP nhóm nhiều hạng tử

4 PP tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

5 PP thêm bớt cùng một hạng tử

6 PP xét giá trị riêng ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a thì tồn tại đa thức B(x) sao cho

A(x) = (x- a).B(x) )

Chú ý: Khi sử dụng một trong các PP 3, 4 , 5 : sau khi nhóm, tách, thêm bớt hạng tử thì quá trình phân tích phải tiếp tục được ( Sử dụng PP 1 hoặc 2 ).

IV Phân thức đại số.

1 Hai phân thức bằng nhau: A C AD BC

2 Nếu đa thức M khác đa thức không thì: ; :

:

AM A A M A

BM  B B M  B

3 Các phép tính:

a) Phép cộng: A B A B( M ≠ 0)



Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng như trên

Các bước quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng

mẫu)

Bước 1: Tìm mẫu thức chung (MTC) :

- MTC phải chia hết cho tất cả các mẫu cần quy đồng

- Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích của tất cả các mẫu đó

Bước 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mẫu tương ứng

Bước 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tương ứng, ta được các phân thức có cùng mẫu thức

b) Phép trừ: A C A ( C)

B D  B D

c) Phép nhân: .

A C A C

B D  B D

d) Phép chia: A C: A D AD

B D  B C  BC

Một số lưu ý: - Trước khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trước Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần được rút gọn.

- Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối).

- Khi giải các bài toán liên quan tới giá trị của phân thức cần chú ý tìm ĐKXĐ của phân thức.

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI.

1 Dạng của phương trỡnh: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

2 Giải và biện luận:

∆ = b 2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’ 2 – ac, với b’ = b/2)

+) Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt:

1,2

2

b x

a

  

a

  



+) Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trỡnh cú nghiệm kộp:

b

x x

a

a

+) Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trỡnh vụ nghiệm.

3 Hệ thỳc Vi-ột:

Nếu phương trỡnh bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghiệm x 1 , x 2 thỡ:

1 2

b

x x

a c

x x

a

   







Các dạng toán.

Dạng 1: Xác định số nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.

1 Phương pháp giải:

Xác định các hệ số a, b, c của phương trình:

- Nếu a = 0: Phương trình trở thành PT bậc nhất một ẩn: bx + c =0.

- Nếu a ≠ 0: Tính biệt thức ∆ = b 2 – 4ac ( hoặc ∆’ = b’ 2 – ac, với b’ = )

2

b

 Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm.

 Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0 ): Phương trình có nghiệm kép.

 Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0 ): Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lưu ý: - Không cần tính ra nghiệm.

- Nếu ac<0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

1) 3x2 – 7x + 3 = 0 2) -2x2 - 8x -7 =0

3) ( 3 1) x2 5x 3 1 0  4) 2x2 + 5x + 25= 0

8

0

x  x  2x26 2x 9 0

Bài 1.2: Không cần tính biệt số ∆, chứng tỏ rằng các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

a) 2x29x3 7 0

b) (2 3)x24x m 23m 4 0 ( m là tham số)

Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phương trình vô nghiệm?

a) 3x22x k 0 c) 3x2kx 2 0

b) 2x22kx k 0 d) 2 4 2

3

Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phương trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép:

a) 20x24x3k 1 0 b) (k1)x22kx k  2 0

c) 3x24kx k 2 0

Bài 1.5: Cho các hệ số a, b, c thoả mãn điều kiện a > c > 0, b > a + c

Chứng minh rằng phương trình ax2 +bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phương trình c x2 2(a2b2c x b2)  2 0

( x là ẩn số) vô nghiệm ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giác)

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai

1 Phương pháp giải:

- Đưa phương trình cần giải về dạng: ax 2 + bx + c = 0.

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình.

- Tính ∆ hoặc ∆’.

- á p dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gọn các nghiệm nếu có thể)

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 2.1: Giải các phương trình sau:

a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0

c) x2 – 4x + 1 = 0 d) 3x2 + 7x + 2 = 0

Bài 2.2: Giải các phương trình sau:

x  x 

c) 2 3 9

0

x  x 

Bài 2.3: Giải các phương trình sau:

a) (5 2)x2 10x 5 2 0 b) ( 5 2) x2 ( 5 1) x3 5 0

c*) x2 x 2 0 d*) (1 2)x22(1 2)x 1 3 2 0

e) ( 2 1) x2 x 2 0 f) 2x2(2 6 3) x3 6 0

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0

1 Phương pháp giải:

* Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0.

- Nếu b ≠ 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất: x c

b

 

- Nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phương trình có vô nghiệm.

- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

* Với a ≠ 0 : Phương trình trở thừnh phương trình bậc hai Ta có:

∆ = b 2 - 4ac ( hay ∆’ = b’ 2 – ac )

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép: x 1 = x 2 = - ( = - )

2

b a

'

b a

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a

  



* Kết luận cho tất cả các trường hợp đã biện luận.

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 3.1: Giải và biện luận các phương trình: ( x là ẩn)

a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0

b) x2 + (1 – m)x – m = 0

c) (m – 3)x2 - 2mx +m – 6 = 0

d) (m – 3 )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 2 = 0

e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + 2 = 0

f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + ( m – 2) = 0.1

3

g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0

h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – 2 = 0

Bài 3.2: Giải và biện luận phương trình ( ẩn x) : 2x3 (3 2 )m x22mx m 2 1 0

( HDẫn: Coi m là ẩn, x là tham số )

Dạng 4: Hệ phương trình chứa hai ẩn x và y gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc

hai.

1 Phương pháp giải:

- Từ phương trình bậc nhất của hệ, tìm y theo x ( hoặc x theo y ).

- Thay biểu thức y theo x tìm được ở trên vào phương trình bậc hai của hệ ta được phương trình bậc hai đối với

- Giải phương trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y.

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 4.1: Giải hệ phương trình: 2 2 5 0

4

x y

  







Bài 4.2: Cho hệ phương trình: x y2 26

 





 Xác định a để:

a) Hệ vô nghiệm

b) Hệ có nghiệm duy nhất

c) Hệ có hai nghiệm phân biệt

Bài 4.3: Giải các hệ phương trình: ) 3 4 1 0

a



   



)

6 0

b

xy x y



    



Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phương trình: 2 2

x y m

 







Dạng 5: Định tham số để hai phương trình có nghiệm chung.

1 Phương pháp giải:

- Giả sử x 0 là nghiệm chung của hai phương trình Thay x = x 0 vào hai phương trình ta được

hệ phương trình với ẩn là các tham số.

- Giải hệ để tìm tham số.

-Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không.

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 5.1: Cho hai phương trình : x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0

a) Định a để hai phương trình trên có nghiệm chung

b) Định a để hai phương trình tương đương.

Bài 5.2: Chứng minh rằng nếu hai phương trình : x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì:

(b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0

Bài 5.3: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 ?

Bài 5.4: Xác định m, n để hai phương trình sau tương đương:

x2 – (2m + n)x – 3m = 0 và x2 – (m + 3n)x – 6 = 0

HDẫn: Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1); x 3 , x 4 là nghiệm của phương trình (2) Để hai Phương trìh tương đương thì x 1 = x 3 và x 2 = x 4 hoặc ngược lại Nên S 1 = S 2 và P 1 = P 2

Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

x2+ (m – 8)x + m + 3 = 0 (1)

x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0 (2)

Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0

b) x2 + ax + 2 = 0 x2 + 2x + a = 0

c) x2 + ax + 8 = 0 x2 + x + a = 0

Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0

Dạng 6: Phương trình có hai ẩn số.

1.Phương pháp giải:

Trong một phương trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phương trình ấy theo

ẩn còn lại PP này gọi là phương pháp đặt tham số mới.

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 6.1: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất (x, y) thoả mãn phương trình:

x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0

Bài 6.2: Giải hệ phương trình:

2

0







Bài 6.3: Giải phương trình: y44y x2 11y24xy8y8x240x52 0

Bài 6.4: Giải hệ phương trình:







Bài 6.5: Giải hệ phương trình:

698 81

  





      



Dạng 7: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số.

1.Phương pháp giải:

- Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ 0 để phương trình có nghiệm.

- á p dụng định lý Vi-ét : S x1 x2 b ;

a

    P x x1 2 c

a

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 7.1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x23x 7 0 b) 3x26x 8 0

c) 3x2  x 1 0 d) 7x22 7x 9 0

Dạng 8: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm.

1.Phương pháp giải:

- á p dụng địnhlý Vi-ét : x 1 + x 2 = - ; x b 1 x 2 =

a

c a

- Nhẩm : x 1 + x 2 = m + n ; x 1 x 2 = m.n thì phương trình có nghiệm là x 1 = m ; x 2 = n.

- Nếu a + b + c = 0 thì: x 1 = 1 ; x 2 = c

a

- Nếu a - b + c = 0 thì: x 1 = -1 ; x 2 = - c

a

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x210x16 0 b) x215x50 0

c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – 1 = 0 ( m ≠ -1)

d) (2m – 1)x2 – mx – m – 1 = 0 ( m ≠ )1

2

Bài 8.2: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1 Xác định số m và nghiệm còn lại ?

Bài 8.3: a) Phương trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1 Xác định số k và nghiệm còn lại ?

b) Phương trình 15x2 + bx - 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng Xác định số b và nghiệm còn lại ?1

3

Dạng 9: Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử.

Phương pháp giải:

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ax 2 + bx + c = a( x – x 1 )(x – x 2 )

Dạng 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó.

1.Phương pháp giải:

- Tính tổng hai nghiêm : S x1 x2 và tích hai nghiệm : P x x 1 2

- Phương trình nhận x 1 , x 2 làm nghiệm là: X 2 – SX + P = 0.

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 10.1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau:

Bài 10.2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : 1 và

1

10 6 2

Bài 10.3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :

a) 4 15 và 4 15 b) 9 2 5 và 9 2 5

c) 2 5 4 3 và 2 5 4 3 d) 5 3 và









Bài 10.4: Gọi m, n là các nghiệm của phương trình : x2 (1 2)x 2 0 (m<n) Lập phương trình

bậc hai có các nghiệm là: 1 và

2

m

1

1 n

Bài 10.5: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 5 3





Bài 10.6: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 5 3





Dạng 11: Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai.

1.Phương pháp giải:

Cho phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) :

* Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < 0.

* Phương trình có hai nghiệm cùng dấu  0

0

P

 



 



* Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 

0 0 0

S P

 



 



 



* Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 

0 0 0

S P

 



 



 



2 Các bài tập vận dụng:

Bài 11.1: Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 (1)

Định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hao nghiệm dương phân biệt

c) Có đúng một nghiệm dương.

Bài 11.2: Cho phương trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – 1 = 0 Định m để phương trình :

a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương?

b) Có hai nghiệm cùng dấu?

Bài 11.3: Cho phương trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương ? hai nghiệm trái dấu ?

Bài 11.4: Cho phương trình x2 – mx + m2 – 3 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ?

b) Tìm m để phương trình chỉ có một nghiệm dương ?

Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

a) x2 – 2mx + (5m – 4) = 0 b)mx2 + mx + 3 = 0

Bài 11.6: Cho phương trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu

Dạng 12: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trước.

1.Phương pháp giải:

* Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : ∆ ≥ 0

* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x 1 , x 2 rồi thay vào phương trình thứ ba của hệ để tìm tham số.

* Kiểm tra lại m có thoả mãn điều kiện có nghiệm không rồi kết luận.

2 Các bài tập vận dụng:

Bài 12.1: Xác định m để phương trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1?

Bài 12.2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm.

c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 12.3: Xác định k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2:

a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0

Bài 12.4: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) x1 - x2 = 12 ; b) x1 + x2 = 1

Bài 12.5: Cho phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – 1 = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 12

b) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 12.6: Cho phương trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – 2 = 0.

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 ; tính nghiệm kia.

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

4

x  x 

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x1 + 2x2 + x1 x2

Bài 12.7: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Cho biểu thức: A = x1 + x2 + 6x1 x2 Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất

đó?

Bài 12.8: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2m x + m + 2 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức : 1 2

6 0

x x

x  x  

Bài 12.9: Cho phương trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 ( m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và -x1 - x2 + 2006 đạt giá trị lớn nhất

Dạng 13: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

1.Phương pháp giải:

* Biểu thức giữa x 1 , x 2 gọi là đối xứng nếu ta thay x 1 bởi x 2 và x 2 bởi x 1 thì biểu thức không đổi.

* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số).

Chẳng hạn:

x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = S 2 – 2P.

x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) 3 - 3 x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 – 3PS.

2

;

2.Các bài tập vận dụng:

Bài 13.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + mx + 1 = 0 Tính giá trị của các biểu thức sau;

x  x

Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + 2mx + 4 = 0 Xác định m sao cho x1 + x2 ≤ 32

Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1 , x 2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số.

1.Phương pháp giải: