Chương I. §2. Cực trị của hàm số

+ Hàm số f(x) cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước... Không có cực trị.[r]

Ngày soạn : 20/08/2014

§ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I Mục đích yêu cầu

-HS nắm khái niệm cực đại, cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Quy tắc tìm cực trị của hàm số ( QT I)

-Khắc sâu các quy tắc tìm cực trị của hàm số.

- Biết thành thạo kĩ năng tìm cực trị của hàm số bằng các quy tắc

- Biết tìm ra hướng giải các bài toán có liên quan đến cực trị

II Bài giảng

1 Khái niệm cực trị của hàm số.

* Định nghĩa:Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0  (a; b).

o Nếu f(x) < f(x 0 ), ∀ x 0  (a; b) {x¿

0¿ ¿ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x 0

o Nếu f(x) > f(x 0 ), ∀ x 0  (a; b) {x¿

0¿ ¿ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x 0.

- x0 Gọi là điểm cực đại, điểm cực tiểu (gọi chung là điểm cực trị) của hàm số

- f(x0 )) Gọi là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (gọi chung là cực trị) của hàm số.

- Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x0; f(x0 )) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x).

 Chú ý:

+ Giá trị cực đại, cực tiểu nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f(x) trên D Nó chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f(x) trên một khoảng (a ;b) nào đó chứa điểm x0

+ Hàm số f(x) có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D

+ Hàm số f(x) cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước.

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ;b) và có cực trị tại x 0 thì f’(x 0 ) = 0.

 Chú ý :

- Điều ngược lại có thể không đúng

- Hàm số có thể đạt cực trị tại 1 điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm VD : y = f(x)=|x|

- Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm

số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng (a ;b) chứa điểm x 0

Nếu f '

(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Nếu f '

(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Nếu f '(x ) không đổi dấu khi đi qua x0 thì x0 không là điểm cực trị

Quy tắc I:

+ Tìm tập xác định

+ Tính f '

(x ) Tìm các điểm tại đó f '(x ) bằng không hoặc không xác định.

+ Lập bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

VD1: Tìm cực trị của của hàm số:

2 2

y x  x  x

Giải

* Tập xác định: D=R

Ta có:

2

x

x





* Bảng biến thiên:

x   – 1 2 

y’ + 0 – 0 +

6

−4 3

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại y CĐ=y (−1)=19

6

hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT=y (2)=−4

3

Quy tắc II:

+ Tìm tập xác định

+ Tính f '

(x ) Giải phương trình f '(x ) = 0 Ký hiệu xi (i = 1, 2…) là các nghiệm của nó (nếu có)

+ Tính f ' '

(x ) và f ' '(x i) + Dựa vào dấu của f ' '

(x ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi

o Nếu f ' '(x i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

o Nếu f ' '(x i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

VD1’: Tìm cực trị của của hàm số:

2 2

y x  x  x

Giải

* Tập xác định: D=R

- Ta có:

2

x

x





y ''=2 x−1

 y ''(−1)=−3< 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại yCĐ=y (−1)=19

6

 y ''(2)=3>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT=y (2)=−4

3 .

VD2: : Tìm cực trị của của hàm số: f ( x )=|x|( x +2)

Giải:

- Tập xác định: D=R

- Ta có : f ( x )={−x (x +2)=−x2−2 x v iớ x <0

x ( x+2 )=x2+2 x v iớ x>0

0 v i ớ x=0

Do đó : f ' ( x )={−2 x−2 v i2 x +2 v i ớ x >0 ớ x<0

Tại x=0 , hàm số không có đạo hàm

f '(x )=0 ⇔ x=−1

- Bảng biến thiên:

x   – 1 0 

f '

(x ) + 0 – || +

f ( x ) 1

0

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại f CĐ=f (−1)=1

hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu f CT=f (0)=0

Tìm cực trị của các hàm số sau:

BT1: a¿f ( x )=1

3x

3 +2 x2+3 x−1 b¿f ( x )=x +1

x c¿f (x )=|x|−5 x+4

d¿y=x√4−x2e¿f (x )= x

2

−3 x+3

x −1 f¿f ( x )=2 sin2 x−3

BT2(BTVN):

a¿f ( x )=1

3x

3

−x2+2 x−10 b¿f ( x )= x

5

5 −

x3

3+2 c¿y =√8−x2

2 x +2 e

d¿y=x−sin¿y=3−2 cos x−cos 2 x¿ f¿f ( x )=x2−2|x|+2 g) y = 2 21

x x

 



Dạng 2: Chứng minh hàm số có cực trị

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y’

B3: Chứng minh phương trình y’ = 0 có nghiệm

B4: Lập bảng biến thiên và kết luận điểm cực trị

VD: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số y= x

2

−m(m+1)x+ m3+1

x−m luôn có cực đại và

cực tiểu.

Giải

- Tập xác định: D=R {m¿ ¿ ¿

Ta có y '= x

2

−2 mx+m2−1

( x−m)2 ( Điều kiện : x ≠ m (kép))

y '=0⇔ x2

−2 mx+m2−1=0 Khi đó: ∆ '

=m2−(m2−1)=1>0 ,∀ m∈ R

⇒ Phương trình y '

=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt : x1=m−1 , x2=m+1(th a ỏ x ≠ m)

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

BT:

a) Chứng minh với mọi m , hàm số: y= x

2 +m(m2−1)x−m4+1

x−m luôn luôn có cực đại, cực tiểu. b) Cho hàm số y=mx +√x2

−2 x +2 , chứng minh hàm số không có cực đại với mọi m

c) Cho hàm số y=x3

+3 m x2+3(m2−1)x+m3−3 m , chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y’

B3: Lựa chọn theo 1 trong hai hướng sau:

- Hướng 1: Nếu xét được dấu của y’ thì sử dụng dấu hiệu I với lập luận: “ Hàm số có k cực trị ⇔ Phương trình y '=0 có k nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó »

- Hướng 2 : Nếu không xét được dấu của y’ hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại hoặc cực tiểu thì

sử dụng dấu hiệu II bằng việc tính thêm y’’ Khi đó:

+ Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: { y '=0

y ' ' ≠ 0

+ Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: {y '=0

y ''>0

+ Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: {y '=0

y ''<0

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là: { x0∈ D

x0làđi m ể t i ớ h n ạ

y ' '

(x0)>0

+ Hàm số đạt cực đại tại x0 điều kiện là: { x0∈ D

x0làđi m ể t i ớ h n ạ

y ' '

(x0)<0

 Chú ý: Điểm tới hạn là điểm mà tại đó y’ không xác định hoặc y’ = 0.

 Với y ' là hàmđa th c ứ thì x0là đi m ể t i ớ h n ạ ⇔ y '(x0)=0

 Đối với hàm bậc 4 có khi y”( x0 ) = 0 nhưng x0 vẫn là CĐ VD y = x4

 Với y '=g (x)

h(x ) thì x0là đi m ể t i ớ h n ạ ⇔[g(x0)=0

h(x0)=0

BT1: Tìm m để hàm số sau có CĐ và CT

a y= -x 3 +mx 2 -3x+5 b y=x 4 –2(m+1)x 2 +m 3

Lời giải

a y’ =-3x2+2mx-3 là TTB2 có  m2 9

Hàm số sau có CĐ và CT  y’=0 có 2 nghiệm pb   m2 9>0 

3 3

m m







b y’= 4x3-4(m+1)x=4x(x2-m-1)

y’=0 

2 1 0

x m x

 







Hàm số sau có CĐ và CT  y’=0 có 3 nghiệm pb  m+1>0  m>-1

BT2:Tìm m để h/s sau có duy nhất một điểm cực trị , Điểm đó là cực đại hay cực tiểu

y= x 4 - (2m+1)x 2 +m-2

Ta có y’= 4x3- 2(2m+1)x =2x(2x2- 2m-1)

2

0

2 1 2

m x







H/s có duy nhất một điểm cực trị  pt y: ' 0 có nghiệm duy nhất

0

m

m

TQ : *Hàm số bậc 3 có CĐ,CT khi pt bậc 2 y’=0 có 2nghiệm pb hay  > 0

*H/s tr.ph có cực đại ,cực tiểu khi pt y’= Bx(x 2 - A)=0 có 3nghiệm pb hay A> 0

*H/s tr.ph có duy nhất 1 cực trị khi pt y’= Bx(x 2 + A)=0 có 1 nghiệm hay A> 0

BT3: Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số: f ( x )=a x3

+b x2 +cx +d sao cho hàm số đạt cực tiểu taị điểm x=0 , f(0)=0 và đạt cực đại tại điểm x=1 , f (1)=1 .

Giải

- Tập xác định: D=R

Ta có: f '(x )=3 ax2

+2bx +c

f ' '

(x )=6 ax+2b

Để hàm số đạt cực tiểu taị điểm x=0 , f (0 )=0 và đạt cực đại tại điểm x=1 , f (1)=1 thì :

{f0'(0)=0∈ D

f ' '(0 )> 0

f (0)=0

1∈ D

f '(1)=0

f ' '(1)<0

f (1)=1

⇔{ 2 b>0 c=0

d=0

3 a+2b +c=0

6 a+2b<0 a+b+c +d =1

⇔{ c=0 d=0

b>0

3 a+b<0

3 a+2b=0 a+b=1

⇔{a=−2 b=3

c=0 d=0

Vậy các hệ số cần tìm là: a=−2, b=3, c=0,d =0 Khi đó ta được: f ( x )=−2 x3+3 x2

BT4: Tìm m để h/s y=x 3 -(m+1)x 2 -(m 2 +5)x-1 đạt cực đại tại x=-1

BL: TXĐ D=R

y’=3x2-2(m+1)x-(m2+5)

y’’=6x-m2-5

Để h/s nhận x=-1 là điểm cực đại thì y’(-1)=0  2m-m2=0 

2 0

m m







* Với m=2 thì y’’(-1)=-15<0  x=-1 là điểm CĐ

* Với m=0thì y’’(-1)=-11<0  x=-1 là điểm CĐ

KL; Vậy gí trị cần tìm là m=0 ; m=2

BT5 ( B1.12-SBT) Cho h/s y= x 3 - mx 2

+(m-2

3 )x + 5.Tìm m để hs có cực trị tại x = 1 Khi đó hs đạt CĐ hay CT

*y’= 3x2- 2mx + m -

2 3 +Để x= 1 là diểm cực trị h/s thì x=1 là nghiệm pt y’=0

Hay

3-2m+m-2

3 =0  m=

7 3

+Với m=

7

3 ta có

y’’=6x-14

3 ;

y’’(1)=

4

3   x là điểm cực tiểu (TMYCBT)

Vậy m=

7

3 là giá trị cần tìm

Chú ý :Tìm m để h/s y=f(x) nhận điểm x=x 0 là cực trị

Để h/s y=f(x) nhận điểm x=x 0 là cực trị thì x 0 là nghiệm pt y’=0 Từ đó tìm m Sau đó kiểm tra lại dấu y’’(x 0 ) để xem điểm đó là CĐ hay CT có thỏa mãn không Từ đó KL

BT6 (B4 sgk): Cho hs y = x 3 - mx 2 -2x + 1

a.CMR hs luôn có CĐ và CT với mọi m

b Tìm m dể h/s bài 4 có 2 điểm cực trị x 1 ;x 2 thỏa mãn

2 2

1 2

13 9

x x 

BG : a y’ =3x2 - 2mx - 2 có  ’= m2 +6 0 m 

Do đo pt bậc 2 : y’ = 0 luôn có 2 nghiệm pb  m

Vậy h/s luôn có một điểm CĐ và một CT  m

b.H/s trên luôn có một điểm CĐ và một CT  m

Giảsử 2 điểm cực trị là x1 ;x2 là 2 nghiệm của pt : 3x2 - 2mx - 2 =0 theo định lý viet

1 2

2 3 2 3

m

x x









13 9

x x 

2

1 2 1 2

13

9

Vậy m=

1 2

 thỏa mãn ycbt

BT7: Cho h/s y = x 3 + mx 2 – x - m

CMR h/s luôn có hai điểm cực đại và cực tiểu x 1 , x 2 .Tìm m để 3x12 +3x22 = 2

Bài làm :

a Ta có y’ = 3x2 + 2mx– 1 có  ’=m2+3 > 0  m

 pt : y’=0 luôn có 2 nghiệm pb  m

 H/s luôn có hai điểm cực đại và cực tiểu x1 , x 2

b Theo ĐL vi et ta có x1 +x 2 =

2 3

m

 ; x1.x 2 =

1 3



3x12 +3x22 = 2  3(x12x22) 2 3(x1 x2)2 6x x1 2  2 m0

Vậy m=0 thỏa mãn

BT8: Cho h/s y = x 3 -mx 2 +(m+36)x Tìm m để h/s có 2 điểm cực trị x 1; x 2 thỏa mãn x1 x2 4 2

Bài làm

Ta có y’ = 3x2- 2mx+m+36 có ' m2 3m108

H/s có 2 điểm cực trị x1; x2  pt bậc 2 :y’=0 có 2 nghiệm   ' m2 3m 108

12 9

m

m







(*)

Khi đó x1; x2 là 2 nghiệm pt y’=0 hay x1 +x2 =

2 3

m

và

x1 x2 =

36 3

m 

1 2 4 2

x  x   (x2x2)2 4x x1 2 32

12

m





TQ :Hàm số bậc 3 có CĐ,CT khi pt bậc 2:y’=0 có 2nghiệm pb hay  > 0 Nếu 2 điểm CĐ ,CT đó thỏa mãn biểu thức thì ta triển khai theo ứng dụng định lý viet

Khi đó x=0 là điểm cực tiểu

BTVN:

a) Định m để hàm sô y=(m+2) x3

+3 x2+mx−5 có cực đại, cực tiểu.

b) Tìm m để hs có cực trị y=x3-3mx2+(m+4)x+23 ( ĐK y’=0 có 2 nghiệm pb hay m<-1 hoặc m>

4

3 )

c) Định m để hàm số y=−m x4

+2 (m−2) x2+m−5 có một cực đại x=12

d) Định a để hàm số y= x2−2 ax+2

x−a đạt cực tiểu khi x=2 .

Câu 1. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y x 4 2x23

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 2: Điểm cực tiểu của hàm số: yx33x4 là x =

A -1 B 1 C - 3 D 3

Câu 3: Điểm cực đại của hàm số:

4 2 1

2

y x  x 

là x =

A 0 B  2 C. 2 D 2

Câu 4: Đồ thi hàm số y x 3 3x1 có điểm cực tiểu là:

A (-1; -1) B (-1; 3) C (-1; 1) D (1; 3)

Câu 5 Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm sốy x 44x22:

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị

Câu 6: Cho hàm số

4 2 1

4

y x  x 

Hàm số có

A Một cực đại và hai cực tiểu B Một cực tiểu và hai cực đại

C Một cực đại và không có cực tiểu D Một cực tiểu và một cực đại

Câu 7: Trong các khẳng định sau về hàm số

2

1

x y x



 , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 8: Trong các khẳng định sau về hàm số

4 2

3

y x  x 

, khẳng định nào là đúng?

A Hàm số có điểm cực tiểu là x = 0 B Hàm số có hai điểm cực đại là x = 1

C Cả A và B đều đúng; D Chỉ có A là đúng

Câu 9: Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai:

A Hàm số y = –x3 + 3x2 – 3 có cực đại và cực tiểu

B.Hàm số y = x3 + 3x + 1 có cực trị

C Hàm số

1

2 1

2

x

  

 không có cực trị

D Hàm số

1 1 1

y x

x

  

 có hai cực trị

Câu 10: Tìm kết quả đúng về giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

2

2 1

2

x

  

 :

A yCĐ = 1 và yCT = 9; B yCĐ = 1 và yCT = –9;

C yCĐ = –1 và yCT = 9; D yCĐ = 9 và yCT = 1.

Câu 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số  

1

1 2 3

y x x  m x

có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung

Câu 12. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số x3 2  2 

3

đạt cực đại tại

x 1

A. m 1 B. m 0 C. m2 D. m 2

Câu 13 Giả sử đồ thị hàm số y x 3 3mx23(m6)x1có hai cực trị Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là:

Câu 14 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số

có điểm cực đại 1

x , điểm cực tiểu x2 và  2 x1 1;1 x 2 2

A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. không tồn tại m

Câu 15 Cho hàm số y x 3 3mx (1) Cho A(2;3), tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị1

B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

A m=

1

3

3

1 2

Câu 16 Với giá trị nào của m thì hàm số y x 3 2mx2m x2  2 đạt cực tiểu tại x  1

Câu 17 Tìm m để hàm số yx m 3 3x đạt cực tiểu tại x  0

Câu 18 Cho hàm số yx3 3mx23m2 1x m 3m

Tìm m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị Gọi x x là hai điểm cực trị đó Tìm m để 1, 2 2 2

x x  x x 

A m=±

1

9

Câu 19 Cho hàm số yx33mx2 3m1 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại

và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d x: 8y 74 0

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ymx4(m21)x2m 1 có ba cực trị

A.

1 m 0

m 1

  



 

1 m 0

m 1

  



 

m 1

0 m 1





  

0 m 1

m 1



 



1

3

y x m x  m x

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A m1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu

B m1 thì hàm số có hai điểm cực trị

C m1 thì hàm số có cực trị

D Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu