Sáng kiến kinh nghiệm Dùng đạo hàm - Khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất GTNN của hàm số là dạng bài toán rất phong phú và đa dạng về phương pháp như: phương pháp đạo hàm-khảo sát hàm số, [r]

DÙNG ĐẠO HÀM - KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ TÌM

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bài toán tìm giá    (GTLN), giá    (GTNN)  hàm  là !" bài toán

$)* pháp dùng ( giá  hàm, $)* pháp # '0 1 $)* pháp 23 4 &

 2 5 $)* pháp hàm 6 $)* pháp &7 !8 ' 97 !9 tam 1 #7 hai,

$)* pháp : '; $)* pháp )< giác,…

Do có (9 $)* pháp ) &73 nên 'B gây không ít khó -F cho )G :> Sau

 >

B CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Bài toán tìm giá

6 các #)+

) 1: Tìm 7$ xác '

Cách làm

C MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Tìm giá     hàm  +

1) f(x) =x4 (1 x)4

2) g(x) =x n(ax)n& a0,nZ

Giải:

1) Xét hàm  f(x) = 4 4 &

x  x xR

Ta có f’(x) =4x3 (1 x)3 =4(2x1)(x2  x 1); f’(x)=0 1, 1

x y

 #X thiên:

x  1

f’(x) - 0 + f(x)  

1

8

f(x) 1 ?9 “=” I.3 ra

2

x

 

b73 Min(f(x))= '" ')< khi x=1

8

1 2

2) Xét hàm  g(x) = x n(ax)n & xR, a>0 và nZ

Ta có g’(x) =

=n(2x-a)[ + (a-x)+ +(a-x) ]

n

nx n a x n x a x

x x

g x

 #X thiên:

x 

2

g’(x) - 0 + g(x)  

2( ) 2

n

a

g(x) 2( ) ?9 “=” I.3 ra

2

n

a

x R

2

a x

 

b73 Min(g(x))=2( ) '" ')< khi x=

2

n

a

2

a

Bài 2: Tìm giá     hàm  y= 3 6

sin x sin x

Giải:

fZ t=sinx, & t  [-1,1] ta có 3 6 2 5 2 3

y  t t y  t  t  t  t

3

0

2

t

y

t







 

 



 #X thiên:

t -1 0 1

3

1 2 y’ + 0 + 0

y 1

4

b73 Max(y)=1 t=

sin x

, , s in

k Z



 



Bài 4: Tìm giá        hàm  4 2 2trên

f x x  mx m

Giải:

Xét hàm  4 2 2trên

f x  x  mx m

Ta có  f '( )x 4x312mx4 (x x23 )m

Ta xét các - F+

a)X9 '

 #X thiên:

x  2 0 1

f’(x) - 0 + f(x) 2

m  m 2

m  m

2

m

Miny=m2 khi x=0

m  m 2

m  m 2

m  m

b) X9 '

)G <$ 1:

1

3

 #X thiên:

x -2  3m 0 3m 1

f’(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) 2 m2

m  m

-8m2 -8m2

Ta có 2 -m2=-24m+16=-24(m- )>0

3

-( )=-18m+15=18(m- )>0 2

m  m 2

6

b73 Maxf(x)= 2 " x=-2

m  m

Minf(x)=-8m2 " x= 3m

)G <$ 2:

1

3

3

m





 #X thiên:

x -2  3m 0 1 3m

f’(x) - 0 + 0 -

f(x) 2 m2

24 16 m  m

-8m2 2

6 1 m  m Suy ra Maxf(x)=Max{f(-2), f(0)}= 2 2 1 2 24 16 3 3 2 4 3 3 m m m          nÕu <m t¹i x=-2 nÕu <m t¹i x=0 Và 2 -(-8m2)= nên 6 1 m  m 9m26m 1 (3m1)2 0 2 2 6 1 8 m  m   m b73 =-8m2 " x= [ 2; 1] inf ( ) M x  3m  )G <$ 3: 4 Ta có 3m>4 3 m  3m   2 3m  2 3m . #X thiên: x -2 0 1 3m

f’(x) + 0 -

f(x) m2

2

m  m

Max f(x) =m2 " x=0

Min f(x) = Min{f(-2), f(1)}= 2 " x=-2

m  m

jX 97+YILIK

2

2

2

3 2 3

m









nÕu m>

Minf(x)=

2 2

2

0

8

4

3

m

m









nÕu m nÕu < m

nÕu m>

4x  4ax a  2 a

Giải:

Xét hàm  f(x) =y= 2 2 trên

4x  4ax a  2 a

Ta có y’=f’(x)=8x-4a; y’=0

2

a x

 

Ta xét các - F sau:

(1): X9 2 4 ta có #. #X thiên ) sau:

2

a

a

    

x -2 0

2

a

y’ - 0 + +

y 2

2

a  a

2

a  a

a  a

 Miny=2  2 =2 (vô R

a  a 2

a a

(2): X9 2 0 4 0 ta có #. #X thiên ) sau:

2

a

a

      

x -2 0

2

a

y’ - 0 +

y 2

2

a  a

-2a Miny =-2a=y( ) Miny=2 -2a=2  mãn)

2

a

(3): >0 ta có #. #X thiên:

2

a

0

a

 

x -2 0

2 a y’ - 0 -

y 2

6 16 a  a

2

2 a  a Miny= 2 =y(0) 2 a  a Miny=2 2 =2 2 a a   1 3 1 3 a a         (tháa m·n) (lo¹i) 1 3 Bài 6: Tìm giá     #J9 1 f(x,y)= x22 y22 3(y x); ,x y 0 y  x  x  y  Giải: fZ t= x y & 1 là y x t 2 t2 / /t 2 f(t) = 2 f’(t)=2t-3; f’(t)=0 3 2 t  t   3 2 t . #X thiên: t - -2 3 2 +

2  f’(t) - - 0 + +

f(t) + + 

8 -4 Minf=-4 " t=2  x y=2 x=y=1

y x 

Bài 7: Tìm giá     #J9 1+ T= a44 b44 (a22 b22) a b

b a  b a  b a

& a, b là hai #X  \ 0

Giải:

fZ t=a b & 1

ba / /t 2 t2 t 2

Ta có t2=a2 b2 +2 =t2-2

b a  a2 b2

b a

Và =(t2-2)2-2 =

t  t 

t  t  2

2

t  t 4 2

t  t  t / /t 2 Xét hàm  f(t) = 4 2 suy ra f’(t)=

4t 10t 1 2 (2t t  5) 1

X9 t 2 2

2t 5 3 f t'( ) 0

X9 t  2 2

4

 #X thiên:

t - -2 2 + 

f’(t) - +

f(t) + + 

-2 2

Minf(t)-2 khi t=-2 hay MinT=-2 khi =-2

( ) 2

b a  1; 1



   



Bài 8: Tìm giá    giá     hàm  y=

c x x  c x x

Giải:

fZ t=cosx &   1 t 1

Ta có y= 2 2 xác ' & : t

t   t t  t

=

'

y

t t t t

Vì   1 t 1nên 1 t 0,t 2 0

(t2) t    2t 5 (t 1) t  4t 8

( 2) [(t-1) +4] ( 1) [(t+2) +4]

1 2

t



 

4 '@ y’=0 1 ( 1;1)

2

t 

2

 #X thiên:

t -1 1 1

2  y’ - 0 +

y 2 2 5 2 13

5

Do 2 2 5<2 13nên Maxy=2 13 t=1 cosx=1x=k2 ( kZ)

Và Miny=5 t= 1 cosx= x=

2

2

Bài tập luyện:

Bài 1: Tìm giá     hàm  y=f(x)= 2 trên

2

)

,

2 2

 



Bài 2: Tìm giá     hàm  y=f(x)= 2 trên )

2

Bài 3: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)= 2 1

sin x s inx  2

Bài 4: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)= 1 1

2 s inx  2 cos x

Bài 5: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)= 2s inx 1

s in x+sinx 1





Bài 6: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)= 2s inx 1

os x+cosx 2

c





Bài 7: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)= os 2 2 os 4 2 1

x  x 

Bài 8: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)=/1 2 cos / x  / 1 2 sin /x

Bài 9: Tìm giá    và giá     hàm  y=f(x)= 2

os2 os

4c x2c x

Bài 10: Tìm a 'J giá     hàm  y=f(x)= 2 2 trên

4x  4axa  2a 2

#k 3

D LỜI KẾT

Do '(9 -R nghiên 19 còn (9  " nên chuyên '( này không J tránh -

p " X> Vì &73 tôi  mong 7 ')< \ thông . và góp ý  '6 R$>

-8 m2 -8 m2

Ta có 2 -m2 =-2 4m+16 =-2 4(m- )>0

3

-( ) =-1 8m+15=18(m- )>0 2...

t -< small> -2 + 

f’(t) - +

f(t) + + 

-2

Minf(t )-2 t =-2 hay MinT =-2 =-2

(... #X thiên: t -< small> -2 3 +

2  f’(t) - - + +

f(t) + + 

-4 Minf =-4 " t=2 