2 cực TRỊ của hàm số (1)

 Điều ngược lại của định lí trên không đúng.. f’ có thể bằng không tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0... Lưu ý: Đưa miền xác định của hàm số vào BBT - Kết luận...

 Điều ngược lại của định lí trên không đúng f’ có thể bằng không tại điểm x0 nhưng hàm số

f không đạt cực trị tại điểm x0

 f’(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x0 thì f(x) đạt giá trị cực đại tại x0

 f’(x) đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua x0 thì f(x) đạt giá trị cực tiểu tại x0

Nhận xét: f’(x) đổi dấu khi đi qua x0  f(x) đạt cực trị tại x0

  Không kết luận được về cực trị  Dùng dấu hiệu 1.

ĐẶC BIỆT: Đối với hàm y là bâc 2,3

0

0 0

0

0 0

BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

 Quy tắc 1:

- Tìm TXĐ

- Tính f’(x) Tìm những điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định

- Lâp BBT ( Lưu ý: Đưa miền xác định của hàm số vào BBT)

- Kết luận

 Quy tắc 2:

- Tìm TXĐ

- Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 có các nghiệm xi ( i = 1,2,3….)

- Tính f’’(xi)

- Dựa vào dấu của f’’(xi) để kết luận

Nhắc lại: Công thức cần nhớ khi gặp cực trị của hàm lượng giác



  sin khi k =2n sin

sin khi k=2n+1









  cos khi k=2n cos

cos khi k=2n+1







Ví dụ: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

a)

1

3 4

y x  x 

b) yx x 2

c) y2 sinxsin 2 víi xx 0,

d) y 5 2 cosx cos 2x

TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Cho hàm số y x 3 3x2 9x11 Khẳng định nào

đúng?

A. x1 là điểm cực tiểu của hàm số.

B. x1 là điểm cực đại của hàm số.

C. x3 là điểm cực tiểu của hàm số.

D. x3 là điểm cực đại của hàm số.

Câu 2: Hàm số

2

1





x y

x có số điểm cực trị là?

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào không có điểm cực

trị?

A. y x 4 2x2 3 B. y13x x

C.

2

1





x y

3

y  x

Câu 4: Hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A. y x 4 2x23

B. yx4 2x2 3

C. yx4x21

D. yx42

Câu 5: Cho bảng biến thiên dưới đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

B Hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C Hàm số có 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

D Hàm số có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

Câu 7: Phát biểu nào sau đây sai?

cx d luôn không có cực trị.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Mệnh

đề nào sau đây đúng?

hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 10: Cho các phát biểu sau

(1) Hàm số yf x 

đạt cực tiểu tại x khi và chỉ khi đạo 0

hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0

(2) Nếu f x0  và 0 f x0  thì 0 x không phải là 0

điểm cực trị của hàm số yf x 

.(3) Hàm số yf x 

đạt cực trị tại x khi và chỉ khi 0 x là 0

nghiệm của f x  0

(4) Số cực trị của hàm số yf x 

bằng số nghiệm của phương trình f x  0

(5) Nếu f x0  và 0 f x0  thì 0 x là điểm cực đại 0

là điểm cực tiểu của hàm số

Câu 16: Tất cả các điểm cực đại của hàm số y cosx là





B.

536

có bao nhiêu điểm cực trị?

- Tìm TXĐ Tính f’(x)

- Hàm số đạt cực trị tại x0  f’(x0) = 0 Giải phương trình này tìm m

- THỬ LẠI ( có 2 cách thử lại)

Cách 1: Thay m vào y’ Lập BBT, kiểm tra thỏa đề không rồi kết luận

Cách 2: Tính f’’(x) Thay m vào y’’ Tính f’’(x0) rồi kết luận

LƯU Ý:

1/ Phải THỬ LẠI để nhận loại m

2/ y là hàm bậc 2, 3 nên dùng phương pháp này ( vì không cần thử lại )

 

 

 

0

0 0

0

0 0

0

0 0

cã C§ t¹i x

cã CT t¹i x

cã cùc trÞ t¹i x

f x

f x

f x

f x

f x

f x

f x

f x

f x































Ví dụ: Tìm m để

3

y x  m x  m x m

đạt cực đại tại x = 1

b) 2 1 x mx y x m     có cực tiểu tại x = 2 (thử lại bằng 2 cách)

c) Tìm a, b để 4 2 1 + ax 4 y x b đạt cực trị bằng 2 tại x = -1

TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Tìm m để hàm số y x 3 2mx2m x2  2 đạt cực tiểu

tại x 1

Tổng quát: Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm bậc lẻ của phương trình y’ = 0

 Nếu dấu của y’ là dấu của 2  

 CM hàm số có CĐ, CT m

Đưa về dạng 3 và có kết quả   m

 Tìm m để hàm số không có CĐ, CT

Giải bài toán dạng 3 rồi lấy phủ định kết quả

Ví dụ:

a) Tìm m để hàm số có cực trị  2  3 2

y m  m x  mx  x

b) Tìm m để 2 2 2 1 2 x mx m y x m      không có cực trị

c) CM hàm số   2 3 1 1 x m m x m y x m       luôn có cực trị

d) ymx4 (m1)x2  1 2m Tìm m để: + chỉ có 1 cực trị

+ có 3 cực trị, trong đó có 1 cực đại và 2 cực tiểu

TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: Tìm m để hàm số y x32m1x2 2 m x  2

có 2 điểm cực trị

A m     ; 1

4

m      

C

5 1;

4

m  

 

D m   1;  

Câu 2: Tìm m để hàm số y x 3 3mx23m có cực đại và 3

cực tiểu

D m 1.

Cõu 10: Tỡm m để hàm số

2 21

m x y

x khụng cú cực trị.

A m 0

B m 0

C m 0

D m  

Dạng 4: Đường thẳng qua CĐ, CT của hàm số

① Nếu 2 điểm cực trị cú tọa độ đơn giản là A x y A, A,B x y B, B thỡ phương trỡnh của đường

thẳng AB là



② Hàm số bậc 3

Thực hiện phộp chia y cho y’, ta được y = (mx + n) y’+ ax + b (1)

Toa độ điểm CĐ, CT thỏa (1) và y’ = 0 nờn đường thẳng qua CĐ, CT là y = ax + b (dư của

phộp chia y cho y’)

③ Hàm số hữu tỉ 2

; y'=

y





Tọa độ điểm CĐ, CT thỏa 2

'

'

y v

y





Vậy đường thẳng qua 2 cực trị là

' '

u y v

 đạo hàm tử

đạo hàm mẫu

Vớ dụ:

a) Viết phương trỡnh đường thẳng qua 2 điểm cực trị của

2

y

x





b) Tỡm m để 3   2 2 3 3 11 3 y x  m x   m cú 2 điểm cực trị M, N sao cho A(0,-1), M, N thẳng hàng

Dạng 5: Tìm m để hàm số có cực tri thỏa điều kiện () - Tìm m để hàm số có cực trị ( Dạng 3) Xét các hàm số có 2  

' 0 y ax bxc a Khi đó xCĐ, xCT là nghiệm cả phương trình y’ = 0  2  0 ax bx c     Áp dụng định lí Vi-et: § , x § C CT C CT b c x x x a a     - Chuyển điều kiện () về điều kiên của xCĐ, xCT (nếu có yCĐ, yCT thì dùng đường thẳng qua điểm cực trị (dạng 4) để chuyển về xCĐ, xCT) LƯU Ý: Nếu xCĐ, xCT đơn giản thì thế trực tiếp vào điều kiện  Nếu y là hàm trùng phương yax4bx2c a 0 - Giải phương trình y’ = 0 => tính các nghiệm x x x theo m 1, ,2 3 the vao y    tính các 1, ,2 3 y y y theo m. - Thế các giá trị x và y tìm được ở bước trên vào điều kiện (), giải m Ví dụ 1: Cho 2 3 4 x x m y x      Tìm m để hàm số có cực trị x1, x2 thỏa: a) x12x22 12

b) y1 y2  4

c) Hai điểm cực trị tạo với gốc O một tam giác vuông tại O

d) x1 3x2 4m

Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2mx21 a) Có 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông

b) Có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

c) Có 3 điểm cực trị lập thành 1 tam giác nhận G0;1 làm trọng tâm

CÔNG THỨC TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

0

yax bx c a

0

:1

0

a

CT

b











0 : 1 C§

0

a b











0 : 1C§, 2CT 0

a b











0 : 2C§, 1CT 0

a b











1 ABCcó góc BAC 

 ABC đều (hoặc ABC có 1 góc 60o

 ABCvuông (hoặc vuông cân)

 



2

3

8 tan

2

a b





3

3

a b

3

8 1

a b





b a b 

4 ABCcó O(0,0)

là:

b  ac

Tâm đường tròn ngoại tiếp b3 8a 8abc0

5 ABCcó:

Bán kính đường trònnội tiếp là r

2 3

b r

b a

3

88

3

32

b S

Câu 6: Tìm m để hàm số y x 3 3x23 1 m x m   1

có 2 cực trị cùng dấu

A m  3

A m 3.

B m 0

C m 1

D m 1