Một số PP chứng minh bất đẳng thức

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC: 1... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: 1.. Phương pháp thứ 2: Để chứng minh A > B, ta dùng phép biến đổi tương đương thành một bất đẳng thức đúng

CHUYÊN ĐỀ 8 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC:

1  a2  0 với mọi a  R Dấu "=" xãy ra  a = 0

 -a2  0 với mọi a  R Dấu "=" xãy ra  a = 0

 a  0 với mọi a  R Dấu "=" xãy ra  a = 0

2  a b a c

b c











Với mọi a, b, c thuộc R  a > b thì a + c > b + c ( a, b, c  R)

a + c > b + c  a > b ( a, b, c  R)

 a > b . .

a c b c

a c b c







3  a b a c b d

c d











 a b a c b d













0

a b c

ac bd

c d







a b











*

n n

a b

n Z









*

a b

n Z

 











a  b a b (n  N*, n chẳn )

4  A B A B





  A B BAB với B  0

 A B  A B dấu "=" xãy ra khi A.B  0

 A B  A B dấu "=" xãy ra khi AB 0 học AB 0

A  B  A B

5 m > n và m; n nguyên dương

với c > 0 với c < 0

Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ

Nếu a > 1 thì am > an Nếu a = 1 thì am = an Nếu 0 < a < 1 thì am < an

6 Bất đẳng thức cô-si: Với a  0, b 0.Ta có: a + b 2 a b dấu "=" xãy ra  a = b

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:

1 Phương pháp thứ nhất: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0 là một bất

đẳng thức đúng Từ đó suy ra A > B

Ví dụ 1: Chứng minh a4 + b4  a3b + ab3 ( a,b  R 0

Giải:

a4 + b4  a3b + ab3  a4 + b4 - a3b - ab3  0

 a3(a - b) + b3(b - a)  0

 a3(a - b) - b3(a - b)  0

 (a - b)(a3 - b3)  0

 (a - b)2(a2 + ab + b2)  0

(a - b)2 [(a +

2

b

)2 +

2

3 4

b

]  0 (*)

vì (a - b)2  0 ; (a +

2

b

)2 +

2

3 4

b

 0 Nên bất đẳng thức (*) luôn luôn đúng

Suy ra a4 + b4  a3b + ab3

Ví dụ 2: Cho a  0 , b  0, c  0 Chứng minh rằng:

a + b + c  ab bc ca

Giải:

a + b + c  ab bc ca a  b c ab bc ac  0

2a 2b 2c 2 ab 2 bc 2 ac 0

(a b 2 ab) (a c 2 ac) (b c 2 bc) 0

         

 ( a b )2 + ( a c)2 + ( b c )2  0 Bất đẳng thức này luôn luôn đúng Suy ra a + b + c  ab bc ca

2 Phương pháp thứ 2: Để chứng minh A > B, ta dùng phép biến đổi tương đương

thành một bất đẳng thức đúng đã biết hoặc theo đề bài đã cho hoặc ngược lại xuất phát từ bất đẳng thức đúng và biến đổi thành bất đẳng thức cần chứng minh:

Tổng quát: A > B  A 1 > B 1   A n > B n

Mà A n > B n là một bất đẳng thức đúng

Ví dụ 1: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1 4

1 1 3

a b 

Giải:

Vì a + 1 > 0 và b + 1 > 0 nên:

1 1 4

1 1 3

a b   3(b + 1 + a + 1)  4(a + 1)(b + 1)

 3(1 + 1 + 1)  4(ab + a + b + 1) ( vì a + b = 1)

 9  4(ab + 2)

 9  4ab + 8

 1  4ab

 (a + b)2  4ab

(a - b)2  0 đây là bất đẳng thức đúng

Suy ra 1 1 4

1 1 3

a b 

Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

b + c  16abc

Giải:

Vì a, b, c > 0 nên: a + (b + c)  2 a b( c) ( bất đẳng thức cô-si)

1 2 a b( c)

   ( vì a + b + c = 1) 1

  4a(b + c)

 b + c  4a(b + c)2 (1)

Mà b + c 2 bc ( bất đẳng thức cô-si) 2

(b c) 4bc

Từ (1) và (2) suy ra b + c  4a 4bc  b + c  16abc

3 Phương pháp thứ 3: Để chứng minh A > B ta lần lượt chứng minh A > C > D

> B Từ đó suy ra A > B Hoặc sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi từ giả thiết của đề bài thành điều phải chứng minh

Ví dụ 1: cho a > 0, b > 0 Chứng minh rằng:

(a + b)(1 1

ab)  4 Giải:

Vì a > 0 1

a

 > 0

Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ

Vì b > 0 1

b

 > 0

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số a và b; 1

a và 1

b ta có:

a + b 2 ab (1)

1

a + 1

b

1 1

a b

Vì 2 vế của bất đẳng thức (1) và (2) đề dương nên nhân vế theo vế ta được:

(a + b)(1

a + 1

b)  4

Ví dụ 2: Cho a, b là hai số thực bất kỳ và a + b = 1 Chứng minh rằng:

a3 + b3 1

4

 Giải:

Ta có: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2 ( vì a + b = 1)

3 3

2(a b )

  = 2a2 - 2ab + 2b2 = a2 + b2 + (a - b)2

mà a2 + b2 + (a - b)2  a2 + b2

2(a3 + b3)  a2 + b2 =

2 2 2 2 2 2

2

a b a b a b ab

2

2

a b

( vì a2 + b2  2ab )

 2(a3 + b3) 

2

2

a b

= 1 2

 a3 + b3  1

4

Ta có thể chứng minh theo cách sau:

a3 + b3 1

4

  4(a3 + b3)  1 4(a3 + b3)  (a + b)3 ( vì a + b = 1)

 4a3 + 4b3 - a3 - b3 - 3a2b - 3ab2  0

3a3 - 3a2b + 3b3 - 3ab2  0  3a2(a - b) - 3b2(a - b)  0

 3(a - b)(a2 - b2)  0 3(a - b)(a - b)(a + b)  0

3(a - b)2  0 ( đẳng thức đúng) vậy a3 + b3 1

4



Ví dụ 3: Chứng minh rằng a4 + b4 + c4  abc(a + b + c) với a, b, c  R

Giải:

Vì a4  0, b4  0, c4  0

Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

a4 + b4  2a2b2

a4 + c4  2a2c2

 a4 + b4 + c4  a2b2 + a2c2 + b2c2 (1)

Tương tự ta có:

a2b2 + a2c2  2(ab)(ac)

a2b2 + b2c2  2(ab)(bc)

a2c2 + b2c2  2(ac)(bc)

 a2b2 + a2c2 + b2c2  (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc)

 a2b2 + a2c2 + b2c2  abc(a + b + c) (2)

Từ (1) và (2) suy ra a4 + b4 + c4  abc(a + b + c) với a, b, c  R

4 Phương pháp thứ 4: Muốn chứng minh A > B (1)

Ta giả sử A  B, biến đổi bất đẳng thức này để chỉ ra được điều mâu thuẩn với giả thiết hoặc mâu thuẩn với một bất đẳng thức đúng nào đó đã biết

Do đó điều giả sử là sai

Suy ra bất đẳng thức (1) đúng

Ví dụ : Cho x2 + y2  2 Chứng minh rằng x + y  2

Giải:

Giả sử x + y > 2

 x2 + y2 +2xy > 4

mà x2 + y2  2xy  2(x2 + y2)  x2 + y2 + 2xy > 4

 2(x2 + y2) > 4

 x2 + y2 > 2 Điều này mâu thuẩn với giả thiết x2 + y2  2

Suy ra x + y > 2

5 Phương pháp thứ 5: ( phương pháp đổi biến )

Bước 1: Đặt ẩn phụ bởi một biểu thức có liên quan đến 2 vế ( hoặc 1 vế ) của bất đẳng thức

Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức theo biến vừa đặt

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức theo biến vừa đặt là bất đẳng thức đúng Từ đó suy ra bất đẳng thức ban đầu đúng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu a > 0; b > 0; c > 0 thì

3 2

a b c

b c caa b  (1) Giải:

Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z ( x, y, z)

 a + b + c =

2

xyz

Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ

2

y z x

a  

2

z x y

; c =

2

xyz

Khi đó:

Vế trái = a b c

b c ca ab =

2

y z x x

 

+ 2

z x y y

 

+ 2

x y z z

 

(*)

Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên x > 0, y > 0, z > 0 Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

2

x y x y

y x  y x = 2; tương tự: z x

x z  2 và z y

y z  2

Từ (*) suy ra:

 1 + 1 + 1 + 3

2 = 3 2

2

a b c

b c caa b 

Ví dụ 2: Cho a > b > 0 Chứng minh rằng:

a b a b Giải:

Đặt a = x2 ; b = y2 ( x > 0, y > 0)

Vì a > b nên x > y Do đó:

Vế trái = a b = x - y = xy2  xyxy

 Vế trái < xyxy = 2 2

x y

 Vế trái < a b

Vậy a b a b

Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

2

Giải:

Đặt x = a b

a b



 ; y = b c

b c



 ; z = c a

c a





Ta có: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 2a 2b 2c

a b b c c a     (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 2b 2c 2a

a b b c c a    

 xy + yz + zx = -1 ( bỏ ngoặc và chuyển vế )

Mà (x + y + z)2  0  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)  0

 x2 + y2 + z2 + 2.(-1)  0

 x2 + y2 + z2  2 

2 2 2

2 2 2

2

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

6.Phương pháp thứ 6:

Bước 1: Xác định dạng tổng quát của các số hạng của bất đẳng thức Bước 2: Tìm bất đẳng thức tương ứng với dạng tổng quát đã tìm được bằng cách làm trội tử hoặc mẫu

Bước 3: Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh và rút gọn

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

2

2 13 2   2008 2007  Giải:

Dạng tổng quát các số hạng ở vế trái là :

( *)

( 1) ( 1) ( 1)

k

k k k k

k k



k

1

k  k nên : 1

k

1

k



    = hay 1

(k 1) k < 2 1 1

1

k



1





(k 1) k < 2 1 1

1





2

2

Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ

2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

2

2 13 2   2008 2007 

Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh: 1 1 1 2

2 13 2   2008 2007 

Ví dụ 2: Cho A = 1 1 1 1

1 2 3   2024 Chứng minh rằng A > 88 Giải:

2 12 2  2 2004  1  1 2  2    2004  2004 Làm trội mẫu ta có:

1  2  2  3   2004  2005

1  2  2  3   2004  2005 Các số hạng của bất đẳng thức B có dạng:

1

1

( 1) 1

n n n n

n n

n n

n n

 

 

1  2  2  3   2004  2005 = 2  1  3  2    2025  2024 = 2025  1  45 1   44

1 2  3   2024 > 2.44 Vậy A > 88

1 1 4

x y  xy

2 Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c Chu vi bằng 2p Chứng minh rằng:

( )( )( ) 8

abc

p a p b p c

3 Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì

1 1 1

9

abc 

4 Cho a > 0, b > 0 chứng minh rằng:

5 Cho x, y, z là ba số thực bất kỳ Chứng minh bất đẳng thức:

(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2  3(x2 + y2 + z2)

6 Cho x, y khác 0 Chứng minh rằng:

x4 + y4 6 6

7 Cho a > 0, b > 0, c > 0> Chứng minh rằng:

8 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x  R

2

2

2 2 1

 



 

9 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 < 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

n



      

