bất đẳng thức mũ và logarit (p1)

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT1.

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT

1 Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit

Ví dụ 1 : So sánh : 2 ,33 2

Giải :

Ta có 3 6 >3 4 = > =9 8 23=(2 )3 3=> 2 3

3 >2

Ví dụ 2 : So sánh : log 3 4 , log 10 11

Giải :

Ta có log34= log916> log911=

11

1 log 9

Mà log1110>log119>0=> 10

log 11 log 9>log 10=

Nên log34> log1011

Ví dụ 3: So sánh : log 3 16, log 16 729

Giải : Ta có log316.log16729=log3729=6

Mặt khác 3 6 <3 6.25 =352 = 243< 256 16=

=>Suy ra 6

log 3 <log 16

Khi đó : log 163 > 6, log 72916 < 6 => log316> log16729

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 3(a.2 a +b.2 b +c.2 c )≥(a+b+c)( 2 a +2 b +2 c ), ∀a,b,c

Giải :

Ta có hàm số y=2x đồng biến trên R

Khi đó : (2a-2b)(a-b) ≥0=> a.2a+b.2b≥ a.2b+b.2a , ∀a,b

(2b-2c)(b-c) ≥0=> b.2b+c.2c≥ b.2c+c.2b , ∀b,c

(2c-2a)(c-a) ≥0=> c.2c+a.2a≥ c.2a+a.2c , ∀c,a

 2(a.2a+b.2b+c.2c )≥(a.2b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)

 3(a.2a+b.2b+c.2c )≥(a.2b+b.2a)+ (b.2c+c.2b)+ (c.2a+a.2c)+ (a.2a+b.2b+c.2c)

 3(a.2a+b.2b+c.2c ) ≥(a+b+c)(2a+2b+2c) (đpcm)

Ví dụ 5 : Chứng ming rằng : 3

a b c

a b c

+ +

> ,∀a,b,c>0 Giải : Hàm số y=lnx đồng biến trên (0,+oo)

Ta có (lna-lnb)(a-b) ≥0=> a.lna+b.lnb≥ a.lnb+b.lna , ∀a,b>0

(lnb-lnc)(b-c) ≥0=> b.lnb+c.lnc≥ b.lnc+c.lnb , ∀b,c>0

(lnc-lna)(c-a) ≥0=> c.lnc+a.lna≥ c.lna+a.lnc , ∀c,a>0

 2(a.lna+b.lnb+c.lnc )≥(a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)

 3(a.lna+b.lnb+c.lnc )≥(a+b+c)(lna+lnb+lnc)

 3lnaabbcc≥lnabca+b+c

a b c

a b c

+ +

> (đpcm)

Ví dụ 6 : Chứng minh rằng : log (1 4 ) log (24 + a > 9 a+9 )a , với mọi a>0

Giải :

1 4

1 log (1 4 ) log (1 4 )

log a4

−

−

+

log (1 4 ) log a 4 log a9

a

−

Nên log (1 4 )4 log (1 4 ) log 9 (1 4 ) log (99 9 9 9 )

4

a

log (1 4 ) log (9a a 2 )a

=> + > + (đpcm)

Ví dụ 7 : Chứng minh rằng : loga b>loga c+ (b c+ ),∀a b c, , ;1< <a b c, >0

Giải :

∀ < < >

Đặt : A=logab => b=Aa>A>1

Ta có 1 1

  > = + > + =

=> ( )A A

a c+ >a + = +c b c

=> A> loga c+ (b c+ )

=> loga b>loga c+ (b c+ ),∀a b c, , ;1< <a b c, >0 (đpcm)

4

b c+ a+ c a+ b+ a b+ c> ∀a b c∈ Giải :

Đặt A= logb+ca => (b+c)A = a> 2 2= 12

Mà 1<b+c<4 nên (b+c)A<4A=22A=> 22A> 2 => 2A>12

1

2=> A>

1 4

 logb+ca >

1 4 Tương tự : logc+ab >

1

4, logb+ac >

1 4

4

b c+ a+ c a+ b+ a b+ c> ∀a b c∈ ( đpcm)

Ví dụ 9 : Chứng minh rằng : log ( 1) log ( 1) log ( 1) 6 , , , 1,1

∈ ÷ Giải :

x− =x − + ≥ =>x x ≥x− 

=> log 2 log ( 1) 2log log ( 1), , 1,1

y x ≤ y x− => y x≤ y x− ∀x y  

∈ ÷ Khi đó :

∈ ÷ Mặt khác : logab,logbc,logca>0 => loga b+logb c+logc a>3 log log log3 a b b c c a =3

=> log ( 1) log ( 1) log ( 1) 6 , , , 1,1

a b− + b c− + c a− ≥ ∀a b c∈ ÷(đpcm)

Dầu bằng xảy ra  a=b=c=1/2