Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp dùng bảng xét dấu biểu thức trong giải một số bất phương trình chứa căn thức, mũ và logarit

Qua nghiên cứu chương trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số lớp 10 phần bài tập liên quan đến bất phương trình đặc biệt là những bất phương trình chứa căn thức đối với học

MỤC LỤC

Trang

1 MỞ ĐẦU

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình dạy toán nói chung có rất nhiều vấn đề mà người dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó tư duy tổng hợp, tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu quả hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở trường Qua nghiên cứu chương trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số lớp

10 phần bài tập liên quan đến bất phương trình đặc biệt là những bất phương trình chứa căn thức đối với học sinh khi thực hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán liên quan đến bất phương trình chứa căn thức là những bài toán hay và khó Mặt khác, tiến tới kỳ thi tốt nghiệp THPT đòi hỏi học sinh cần phải có kỹ năng làm bài nhanh và độ chính xác cao để đáp ứng tốt yêu cầu bài thi trắc nghiệm

Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu bắt buộc đối với tất cả các môn học, cụ thể chúng ta phải áp dụng linh hoạt các phương pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác trong việc nghiên cứu lý thuyết cũng như tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng các kiến thức đã học để khám phá lời giải của các bài tập, thống kê và đưa chúng về một số dạng cơ bản trên cơ sở đó thực hiện việc giải toán một cách dễ dàng hơn

Qua quá trình giảng dạy các đối tượng học sinh ở trường THPT Hà Văn Mao bản thân tôi đúc rút ra một sáng kiến nhỏ giúp học sinh của mình khắc phục được một số khó khăn trong quá trình giải bất phương trình và bước đầu đã đạt được những kết quả nhất định Tôi mạnh dạn tổng hợp và viết sáng kiến kinh

nghiệm “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp dùng bảng xét dấu biểu thức trong giải một số bất phương trình chứa căn thức, mũ và logarit” trong

khuôn khổ của chương trình toán trung học phổ thông nhằm mong muốn được các đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nâng cao hiệu quả dạy học của giáo viên và tiếp thu kiến thức trong quá trình học tập của học sinh đối với môn học đòi hỏi tư duy sáng tạo

Tạo động cơ cho học sinh ý thức được việc hiểu bản chất của từng bài toán Từ đó học sinh có thể liên hệ, vận dụng sáng tạo vào giải quyết các bài toán khác và các tình huống thực tế nhằm góp phần hình thành và phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh THPT

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về việc sử dụng bảng xét dấu biểu thức trong việc giải một số bất phương trình chứa căn thức, mũ, lôgarit mà khi

sử dụng phương pháp biến đổi tương đương phải phân chia nhiều trường hợp

- Phạm vi nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh làm bài tập về phương pháp xét dấu biểu thức trong giải một số bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai, tích, thương các biểu thức chứa căn thức và biểu thức chứa lôgarit hoặc chứa mũ

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học môn Toán, các tài liệu giáo dục học, tâm lý học

- Nghiên cứu vị trí, khối lượng kiến thức về chủ đề bất phương trình vô

tỷ, bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình toán THPT

- Kiểm chứng bằng cách tiến hành giảng dạy ở các lớp 10, 12 trong trường THPT Hà Văn Mao, các lớp ôn thi tốt nghiệp THPT thi học sinh giỏi cấp tỉnh nhằm kiểm tra giả thuyết khoa học, minh họa tính khả thi và tính hiệu quả của giải pháp đề xuất

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã làm từ năm học 2019- 2020 với tên đề

tài là: “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp dùng bảng xét dấu biểu thức trong giải một số bất phương trình vô tỷ” và nhận thấy trong quá trình

giảng dạy áp dụng ở trường THPT Hà Văn Mao nó thực sự hiệu quả Tôi phát triển sáng kiến sử dụng cho các bài tập giải bất phương trình có chứa tích, thương các biểu thức chứa căn bậc hai và chứa các biểu thức logarit, mũ để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm về mảng kiến thức này cho học sinh lớp 12

2 NỘI DUNG

2.1 Cở sở lí luận

Định lý: Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0 thì phương trình f x   0 có ít nhất một nghiệm x c a b; .[3]

Từ định lý trên ta có được mệnh đề phản đảo sau:

Mệnh đề: Nếu hàm số f x  liên tục trên khoảng a b;  và phương trình

  0

f x  vô nghiệm trên a b;  thì f x  không đổi dấu trên a b; .

Chứng minh: Giả sử ngược lại thì tồn tại c d, a b; , c d sao cho f c  và

 

f d trái dấu Vì hàm số f x  liên tục trên khoảng a b;  nên liên tục trên c d; 

Áp dụng định lý trên thì hàm số sẽ có nghiệm x e c d; a b;  Điều này mâu

thuẫn giả thiết f x   0 vô nghiệm trên a b; 

Ngoài ra, các hàm số mà chúng ta gặp trong chương trình toán phổ thông hầu như nó đều liên tục trên các khoảng thuộc tập xác định Như vậy mệnh đề trên sẽ làm cơ sở cho việc xét dấu biểu thức ở phần sau

2.2 Thực trạng của vấn đề

Trong chương trình toán 10 bài học liên quan đến bất phương trình chứa căn thức chiếm thời lượng rất ít: Cụ thể trong sách giáo khoa đại số 10 chỉ đề cập đến bất phương trình bậc nhất, bậc hai và một số ví dụ và bài tập trong phần luyện tập và ôn tập chương; Sách giáo khoa giải tích 12 phần bất phương trình

mũ và bất phương trình logarit cũng chỉ đề cập đến những dạng đơn giản Nhưng dạng bất phương trình chứa căn thức lại rất hay gặp lại trong phần bất phương trình mũ, logarit lớp 12 và trong các đề thi tốt nghiệp THPT và đặc biệt

là một dạng quan trọng trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh các năm

Sau 13 năm công tác bản thân tôi đã nhiều năm dạy môn toán lớp 10, 12 và đặc biệt được phân công giảng dạy các khóa có những học sinh tiềm năng là lực lượng nòng cốt trong đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, cũng như những học sinh thi vào các trường đại học, học viện tốp đầu cả nước Đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay đòi hỏi độ chính xác cao và kỹ năng tính toán giải quyết bài toán nhanh, gọn không cho phép xảy ra sai lầm ở bước nào Trong khi

đó với một số cách giải thông thường như sách giáo khoa đưa ra rất nhiều học sinh gặp khó khăn từ khâu nhớ được cách giải đến khâu kết hợp nghiệm của bất phương trình Đó là điểm yếu không chỉ với học sinh yếu kém mà ngay cả những học sinh có lực học khá giỏi nhiều khi vẫn mắc sai lầm

Sách giáo khoa đại số 10 chỉ đề cập đến cách giải bất phương trình bằng phương pháp xét dấu biểu thức đối với các bất phương trình dạng tích hoặc bất phương trình chứa ẩn ở mẫu dạng đơn giản là các nhị thức hoặc tam thức bậc hai Khi tiếp cận với bất phương trình chứa căn bậc hai mặc dù đã phân tích để học sinh hiểu và đưa ra cách giải theo phương pháp biến đổi tương đương như sách giáo khoa nhưng nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn và nếu đòi hỏi thao tác nhanh như thi trắc nghiệm mà không có độ chắc chắn thì rất dễ dẫn đến sai sót Trong quá trình dạy học sinh sử dụng bảng xét dấu để giải các bất phương trình dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai tôi thấy học

sinh tỏ ra rất hào hứng và làm rất tốt Thực tế đã có nhiều giáo viên đã khai thác

và có nhiều đề tài đã đề cập đến dùng bảng xét dấu để giải các bất phương trình dạng này Vậy tại sao chúng ta không hướng dẫn học làm như vậy đối với bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai hoặc các bất phương trình chứa tích, thương các biểu thức chứa căn bậc hai và chứa các biểu thức logarit, mũ ?

Vì thiết nghĩ bản chất của việc giải bất phương trình chính là xét dấu biểu thức

từ đó suy ra tập nghiệm mà việc xét dấu biểu thức chỉ đưa về giải các phương trình sau đó sử dụng kỹ năng xét dấu mà các em đã được làm quen và thành thạo như vậy sẽ tránh được một số sai lầm quan trọng khi tiến hành giải bất phương trình theo phương pháp khác

2.3 Giải pháp thực hiện

2.3.1 Kiến thức chuẩn bị

2.3.1.1 Phương pháp giải một số phương trình cơ bản:

    2

0

g x







a f x  b f x a

 

  log

f x

a

a  b f x  b

2.3.1.2 Phương pháp giải bất phương trình chứa căn bậc hai dạng cơ bản theo phương pháp biến đổi tương đương:

   

 

 

 

    2

0 0 0

g x

f x

g x

  

 



 

  





 





  





   

 

   

 

2 0

0

g x

f x







     







2.3.1.3 Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cơ bản

loga f x( ) b: Nếu 1 a thì log ( ) ( ) b

a f x  b f x a

Nếu 0  a 1 thì log ( ) 0 ( ) b

a f x  b  f x a

  :

f x

a b

b 0: Nếu 1 a thì f x    log

a

a  b f x  b

Nếu 0  a 1 thì a f x   b f x  loga b

b 0 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x làm cho f x  xác định

Tương tự với các bất phương trình dạng cơ bản khác

Như vậy, so với giải phương trình thì giải bất phương trình cùng dạng cơ bản nhưng độ phức tạp đã tăng lên rõ rệt Vậy nên sách giáo khoa giải tích 12 cũng chỉ đưa ra một vài ví dụ giải bất phương trình mũ và logarit dạng đơn giản

2.3.2 Tổ chức thực hiện

Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp mà sách giáo khoa đưa ra tôi định hướng cho học sinh nhận thấy bản chất của việc giải bất phương trình chính là xét dấu biểu thức Ví dụ như giải bất phương trình f x   0 chính là tìm tất cả các giá trị của biến để biểu thức f x  mang dấu dương Như vậy nếu ta

xét được dấu của f x  thì có thể suy ra được tập nghiệm của bất phương trình Như vậy chỉ cần các em làm tốt việc giải các phương trình là chúng ta hoàn toàn

có thể giải được một bất phương trình nào đó Khi tiến hành dạy tiết tự chọn tôi

đã hướng dẫn học sinh làm theo cách sử dụng bảng xét dấu biểu thức như sau:

+) Đưa bất phương trình về dạng có một vế bằng 0 Giả sử vế còn lại là một biểu thức f x 

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức f x 

+) Tìm các giá trị của biến xlà nghiệm của f x   0

+) Lập bảng xét dấu của biểu thức:

- Bảng gồm hai dòng: dòng của biến và của biểu thức Trên dòng của biến điền các nghiệm và các điểm làm cho biểu thức không xác định theo thứ tự từ bé đến lớn, nếu có những khoảng hàm số không xác định thì gạch bỏ Đây chính là thao tác chia khoảng cần xét dấu

- Xét dấu mỗi khoảng theo nguyên tắc: Mỗi khoảng biểu thức chỉ mang một dấu Vì vậy chỉ cần lấy một giá trị bất kì của biến nằm trong khoảng đó thay vào biểu thức, khi đó giá trị biểu thức thu được mang dấu của khoảng cần xét dấu; Nếu các nghiệm tìm được đều là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ thì qua nghiệm biểu thức đổi dấu

Trường hợp không chắc chắn có đổi dấu hay không ta có thể xét từng khoảng theo nguyên tắc trên Việc tính giá trị biểu thức tại giá

trị biến bất kỳ đã có công cụ máy tính hỗ trợ nên học sinh có thể sử dụng để xét được nhiều khoảng khác nhau một cách nhanh chóng và chính xác

+) Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình

Ở đây ta có thể lấy một ví dụ để học sinh hiểu về khái niệm nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn và nghiệm bội lẻ:

Ví dụ các nghiệm của đa thức: x2  x 2 3  x5 thì x 0 là nghiệm đơn, 2

x  là nghiệm bội chẵn còn x 3 là nghiệm bội lẻ

Kỹ năng tính giá trị biểu thức f x  tại x x 0 bằng máy tính: Nhập

biểu thức f x  vào máy tính sau đó bấm phím CALC chọn x x 0, bấm phím

" "  ta được giá trị f x 0 , lặp lại thao tác CALC để tính các giá trị biểu thức tại điểm khác Như vậy với kỹ năng này học sinh sẽ xét dấu các khoảng nhanh, gọn, chính xác dù có nhiều khoảng cũng không mất nhiều thời gian Kỹ năng này đối với học sinh lớp 10 cần hướng dẫn tỉ mỉ vì các em mới làm quen

2.3.3 Một số ví dụ vận dụng phương pháp

2.3.3.1 Dành cho học sinh lớp 10

Ví dụ 1 Giải bất phương trình x2  x 12 2   x

Cách 1: Giải theo phương pháp biến đổi tương đương

2

2

12 0

12 (2 )

x x



    



3

x



3

x

 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S    ( ; 3]

Ví dụ 2 Giải bất phương trình x2  3x 10  x 2

Cách 1: Giải theo phương pháp biến đổi tương đương

2

x  x  x

Trường hợp 1:

3 10 0

2 5

2 0

2

x

x x

x

x

 





14

x



Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

S=   ; 2  14; 

Quan sát cách giải hai ví dụ trên nếu một học sinh nắm vững kiến thức thì việc đưa ra đáp án đúng là không khó Nhưng thực tế trong quá trình giảng dạy nhiều học sinh thậm chí có những học sinh học khá trong lớp sau một thời gian gặp lại vẫn bị nhầm giữa 2 bất phương trình dạng trên

Để khắc phục khó khăn đó chúng ta có thể hướng dẫn học sinh làm theo cách 2 như sau:

Cách 2: Bài giải theo phương pháp dùng bảng xét dấu biểu thức

Ví dụ 1 Giải bất phương trình: x2  x 12 2   x

Điều kiện xác định: x2  x 12 0   3

4

x x











Xét phương trình:

2

2 2

12 2

2

16

12 2

3

x x

x

   





 



   

Phương trình vô nghiệm

Ta có bảng xét dấu biểu thức y x2  x 12 2  x

Từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình là: S    ( ; 3]

Ở đây vì phương trình vô nghiệm nên ta chỉ có hai khoảng cần xét dấu, mỗi khoảng chỉ cần lấy một giá trị bất kỳ thuộc khoảng đó để kiểm tra dấu của biểu thức theo nguyên tắc trên Cụ thể: trên khoảng    ; 3 ta chọn giá trị 4

x  , tính y  4  2 2 6 0   nên trên khoảng này biểu thức mang dấu âm; trên khoảng 4;  ta chọn giá trị x 5, tính y 5  2 2 3 0   nên trên khoảng này biểu thức mang dấu dương (có thể hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tính giá trị biểu thức tại x x 0 để việc tính toán tránh nhầm lẫn vì đa phần học sinh nhẩm kém); hai vị trí x 3,x 4không là nghiệm nên tại đó giá trị biểu thức mang dấu của khoảng tương ứng    ; 3 và 4;  từ đó ta có bảng xét dấu như trên

Ví dụ 2 Giải bất phương trình sau: x2  3x 10  x 2

Điều kiện xác định: 2

3 10 0

5

x x





 



Xét dấu biểu thức y x2  3x 10 2   x

Phương trình:

2

2 2

2 0

14

3 10 2

x

x

   

 





Ta có bảng xét dấu biểu thức y x2  3x 10 2   x

Từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình là: S=   ; 2  14; 

Nếu mới quan sát hai cách giải trên thì ta chưa thấy thấy được ưu điểm của cách làm thứ 2 Tuy nhiên, với cách giải thứ hai ta thấy chỉ cần học sinh thông thạo cách giải phương trình dạng f x  g x  sẽ không bị nhầm lẫn giữa cách giải các bất phương trình: f x  g x , f x  g x , f x  g x ,

   

f x g x Đặc biệt sẽ khắc phục điểm yếu khi kết hợp nghiệm của bất phương trình Hơn nữa việc xét dấu biểu thức trong từng khoảng đối với học sinh ban đầu hơi bỡ ngỡ nhưng nếu chúng ta hướng dẫn kỹ năng sử dụng máy tính để tính giá trị biểu thức tại x x 0 thì việc xét dấu lại trở nên đơn giản Ta có thể thấy ở ví dụ sau cách 2 tỏ ra khá hiệu quả:

Ví dụ 3 Giải bất phương trình sau: 8 2 2 1

2

x x x

 





Cách 1: Giải theo phương pháp biến đổi tương đương

Điều kiện :  4   x 2; 2  x 2

2

2

8 2

1 2

0 2

x x x

x x x x

 





   



Bất phương trình tương đương với hai trường hợp sau

Trường hợp 1:

2

x

 



2

2

x

x

 





3 17 2

2

x  

   

Trường hợp 2:





Hệ bất phương trình này vô nghiệm vì 2

8 2  x x   0, x thuộc miền xác định Vậy bất phương trình có tập nghiệm S= 2; 3 17

2

Với bài này nhiều học sinh rất dễ xét thiếu trường hợp hoặc có những học sinh xét đủ trường hợp nhưng vẫn lúng túng trong quá trình giải và kết hợp nghiệm

Bài giải theo cách 2:

Điều kiện :  4   x 2; 2  x 2

Ta có: 8 2 2 1 8 2 2 2 0

Xét biểu thức: 8 2 2 2

2

x x x y

x

   





Ta có:

2 2

2 0

3 17 2

x

x

 



 



 

Bảng xét dấu:

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm 2; 3 17

2

S     

Đến đây ta đã thấy được ưu điểm của cách giải 2, học sinh chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định của bất phương trình và xét dấu biểu thức trên miền

đó Khi thực hành theo cách này tôi thấy học sinh tỏ ra khá hứng thú

Ví dụ 4 Giải bất phương trình sau: x 3 x2  4 x2  9

Cách 1: Giải theo phương pháp biến đổi tương đương

Điều kiện:

2

x  hoặc x 2

x 3 x2 4 x2 9  (x 3)( x2 4  x 3) 0 

TH1:

2

2

3 3

3

3 3

13 13

6 6

x x

x

x x

x x





  





















 



TH2: (x 3)( x2  4  x 3) 0 

( )

( )

I

II

Giải (I)

3 3

6 13

6

x x

x

x x



 



        





Giải (II) 2 2

3 3

3 13

6

x x

x x







 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; 13 3; 

6

S      

Mặc dù cách làm này hoàn toàn đúng nhưng khá dài không phải dễ dàng

có thể đưa ra được lời giải đúng

Bài giải theo cách 2: Điều kiện: x 2 hoặc x 2

x 3 x2  4 x2  9  (x 3)( x2  4  x 3) 0 

y x x   x

Ta có