Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các phương pháp sau : 1.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất
Trang 1Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các phương pháp sau :
1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG:
• Bài 1 (lớp 8)
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC
Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC
Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC
LỜI GIẢI:
BM cắt cạnh AC tại D
BD < AB + AD
⇒MB + MD < AB + AD (1)
Xét MDC∆ có :
Từ (1) và (2) suy ra :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
⇒MB + MC < AB + AC
Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC
và : MA + MB < AC + BC
Do đó : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)
⇒MA + MB + MC < AB + AC + BC
Chú ý: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau:
M là điểm nằm trong tam giác ABC thì MB + MC ≤ AB + AC
Trang 2• Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có B∠ > ∠C; AM là trung tuyến D là điểm trên đoạn thẳng AM
Chứng minh rằng DB < DC
LỜI GIẢI
Xét ABC∆ có B∠ > ∠C ⇒ AC > AB
Xét ∆ABMvà ACM∆ có :
BM = MC (gt) ;
AM ( cạnh chung) ;
AB < AC
Suy ra AMB∠ > ∠AMC
Xét DBM∆ và DCM∆ có :
BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;
DMB∠ > ∠DMC
Suy ra DB < DC
• Bài 3 (lớp 8)
a) Cho tam giác ABC M là điểm thuộc AC
Chứng minh rằng SABC
1 AB.AC 2
1 BM.AC 2
≤
b) Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng SABCD
AC.BD 2
≤
LỜI GIẢI
a) Gọi BH là đường cao của ABC∆
Ta có BH AB≤
BH.AC AB.AC
M là điểm thuộc ⇒BH BM≤ Do đó :
Trang 3BH.AC BM.AC
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai đường cao của ABC∆ và DAC∆
BH AC⊥ ⇒BH BO≤ và DK⊥AC⇒DK OD≤
Suy ra BH + DK ≤ BO + OD = BD
Do đó : SABCD = SABC + SDAC = BH.AC DK.AC
= AC(BH DK) AC.BD
• Bài 4 (lớp 9)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao
Chứng minh rằng DE < BC
LỜI GIẢI
o
BEC BDC 90 (gt)
⇒ bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc
đường tròn đường kính BC
DE là dây cung khác đường kính của
đường tròn đường kính BC
(đường kính là đây cung lớn nhất của đường tròn)
⇒ DE < BC
• Bài 5 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD) Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD Chứng minh rằng:
MH > MK
LỜI GIẢI Cách 1 :
AB > CD ⇒ OH < OK
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Trang 4∆ có ∠ =H 90 theo định lí Pitago ta có
OH2+ MH2 = OM2
KOM
∆ có ∠ =K 90o theo định lí Pitago ta có
OK2+ MK2 = OK2
Do đó OH2+ MH2 = OK2+ MK2
OH < OK nên OH2 < OK2
Suy ra MH2 > MK2
Suy ra MH > MK
Cách 2 :
Vẽ đường tròn (O;OM) Các tia MA; MC
lần lượt cắt (O;OM) tại E; F ( E,F M≠ )
Xét (O;OA) có AB > CD
⇒ OH < OK
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH < OK
⇒ ME > MF
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH⊥ME và OK⊥MF
Suy ra MH ME;MK MF
= = (định lí đường kính và dây cung)
Từ đó suy ra MH > MK
Cách 3 :
Vẽ đường tròn đường kính OM Tâm I là trung điểm OM
Vẽ IE⊥MA, IF MD⊥ ( E MA,F MD∈ ∈ )
IE ⊥MA, OH⊥MA (gt) ⇒ IE // OH
Mà I là trung điểm OM
Do đó IE là đường trung bình của HOM∆ ⇒ IE 1OH
2
=
Trang 5Tương tự IF 1OK
2
=
Xét (O;OA) có AB > CD ⇒ OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) do đó IE < IF
Xét (I;IM) có IE < IF ⇒ MH > MK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí ( vô lí có thể là trái với giả thiết hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn hoặc trái với kiến thức đã học) Vậy điều giả sử sai
Kết luận bất đẳng thức chứng minh là đúng
1 BÀI TẬP ÁP DỤNG
• Bài 1 (lớp 8)
Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao Chứng minh DE <
BC
LỜI GIẢI
Giả sử DE BC≥ Gọi M là trung điểm BC; BDC∆ vuông tại D có DM là trung tuyến
2
Chứng minh tương tự ta có:
1
2
=
Ta có DM + ME = BC
Như vậy DE DM ME≥ + Vô lí !
Do đó DE BC≥ là sai ⇒ DE < BC
• Bài 2 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Chứng minh rằng:
Trang 6AB + AC > 2.AM
LỜI GIẢI
Giả sử AB + AC ≤ 2.AM
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M
M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng BC và AD
⇒ABCD là hình bình hành
⇒AB = DC
AD = 2.AM
Do đó ADC∆ có DC + AC ≤ AD
Điều này vô lí !
Vậy AB + AC ≤ 2.AM là sai
⇒AB + AC > 2.AM
• Bài 3 (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Chứng minh rằng :
a) Nếu AM BC
2
≤ thì ∠BAC 90≥ o
b) Nếu ∠BAC 90≥ o thì AM BC
2
≤
LỜI GIẢI
a) Giả sử ∠BAC 90< o
Gọi D là điểm đối xứng của A qua M,
ta có AD = 2AM M là trung điểm chung
của hai đoạn thẳng BC và AD
⇒ ABCD là hình bình hành
⇒ AB = DC và AB // DC
AB // DC ⇒ ∠BAC+ ∠ACD 180= o
mà ∠BAC 90< o
Trang 7Do đó ∠ACD 90< o suy ra BAC∠ < ∠ACD.
Xét ABC∆ và CDB∆ có AB = DC (cạnh chung), BAC∠ < ∠ACD
Do đó BC < AD ⇒ AM BC
2
> Trái với giả thiết BC
2
≤
Vậy ∠BAC 90< o là sai Do vậy ∠BAC 90≥ o (đpcm)
b) Giả sử AM BC
2
> ⇒ BC < 2AM Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, ta có AD = 2AM Suy ra BC < AD
Chứng minh tương tự câu a) ta có
AB = DC, ∠BAC+ ∠ACD 180= o
Xét ABC∆ và CDB∆ có AB = DC, BC (cạnh chung), BC < AD
Do đó BAC∠ < ∠ACD
⇒∠BAC+ ∠BAC< ∠BAC+ ∠ACD
⇒ 2 BAC 180∠ < o
⇒ BAC∠ < 90o
Trái với giả thiết ∠BAC 90≥ o Vậy AM BC
2
> là sai
Do vậy AM BC
2
≤ (đpcm)
• Bài 4 (lớp 9)
Cho đường tròn (O), M là điểm bên trong (O) ( M khác O) Qua M vẽ hai dây AB, CD của (O), AB vuông góc với OM và CD không vuông góc với
OM Chứng minh rằng AB < CD
LỜI GIẢI
Giả sử AB ≥ CD (1)
Vẽ OH CD⊥ ( H CD∈ ) rõ ràng M ≠H
⇒ OH < OM ⇒ CD > AB (2)
(định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Trang 8(1) và (2) mâu thuẫn !
Vậy AB ≥ CD là sai Do đó AB < CD
• Bài 5 (lớp 9)
Cho tứ giác ABCD có∠A và C∠ tù Chứng minh rằng AC < BD
LỜI GIẢI
Giả sử AB ≥ CD
Vẽ đường tròn đường kính BD
Vì ∠ >A 90o , ∠ >C 90o
Do đó A và C ở bên trong đường
tròn đường kính BD
Do vậy AB ≥ CD là vô lí vì đường kính
là dây cung lớn nhất của đường tròn
Ta có : AB ≥ CD là sai
Vậy AC < BD
Chú ý :
1 Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên
2 Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta thường dùng phương pháp kéo theo