Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1.. Cho a,b,c là các số thực dươn
Trang 1Tổ : Khoa học tự nhiên
Đơn vị : Trường THCS Kim Xá – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Trang 2³+
++
1()
a c a
c b
5.Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4
9)
()()
c a
c
b c
b
a
++
³+
++
++
9.Cho a,b,c ³0.Chứng minh rằng
a4 +a2b2 +b4 + b4 +b2c2 +c4 + c4 +c2a2 +a4 ³a a2 +bc +b b2 +ca+c c2 +ab
22
210.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 2 Chứng minh rằng
9)(
8)(
31
++
++ x x y y z z
xyz
12.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng
5(a2 + b2 + c2) £ 6(a3
+ b3 + c3) + 1 13.Cho x1,x2, ,x nÎR,n³2,a>0 sao cho
1
,
2 2 2
2 2 1 2
1
-£+++
=+++
n
a x
x x a x x
-+-
+
c a b
a a c
b c a
c c b
a b
15.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc £ 1.Chứng minh rằng
a+b+ c ³a+b+c
Trang 316.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
b b
a a
c c
b b
2 3 2 3 2
3
++
³++
18 Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1.Chứng minh rằng
11
1
2 2 2
2 2
2
³++
++++
++++
+
y x
z x
z
y z
y x
21 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng
2
2 2
2
³+
+++
+++
+
b a
a c a c
c b c b
b a
22.Cho a,b,c ³ 0 thoả mãn điều kiện a4
.2
.2
+++
+++++
+++++
+
b a c
c b a
a c a c b
b a c
c b c b a
a c b
b a
26 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
a b
c b c a
b a b c
a c a
c c
b b
a
+
+++
+++
+
³++
27 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
c b a
ca bc ab b
ab a
c a
ca c
b c
bc b
a
++
++
³+-
++-
++-
)(
3
2 2
3 2
2 3 2
2 3
28.Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z thoả mãn điều kiện a + x = b + y = c + z = 1.Chứng minh rằng
3111
)
ø
öçç
è
æ
+++
cx bz ay
ca a
c b
bc c
b a
ab
++
£++
+++
+++
30.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện a2 +b2 +c2 +d2 =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = a3(b + c + d) + b3(c + d + a) + c3(d + b + a) + d3(a + b + c)
31 Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
))(
()
)(
()
)(
+++
++++
+++
z x
y z y y
y z
x y x x
x
Trang 4÷
ø
öç
è
æ
+
++
++
³
++
++
+
b a
c a c
b c b
a c
b a b
a c a
c b
3
25
25
2
ø
öç
è
æ
+++
÷ø
öç
è
æ
+++
÷ø
öç
c a
c
b c
b a
37 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
ø
öç
è
æ + ++
è
æ+
÷÷
ø
öçç
è
æ+
÷÷
ø
öçç
è
æ+
c b a c b a ab
c ca
b bc
)(
62
22
2 2
è
-+
+
-³-
+-
+
c b
b a
a c
c b
b a
2 2
2
11
14
31
11
39.Cho x,y,z £ 1 thoả mãn điều kiện x + y + z = 1.Chứng minh rằng
10
271
11
11
1
2 2
+
++
42 Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2.Chứng minh rằng
++
++
-b a
a d a d
d c d c
c b c b
b a
44 Cho x,y là các số thực dương Chứng minh rằng xy + yx > 1
45 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
(a + b)(b + c)(c + a) ³ 4(a + b + c – 1)
46 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
(a 2 + b2 + c2)(a + b – c) (b + c – a) (c + a – b) £ abc(ab + bc + ca)
47 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
3 + a + b + c +
abc
c b a a
c c
b b
a c b
+++
³+++++
1
)1)(
1)(
1(31
11
48 Chox1,x2, ,x n là các số thực dương thoả mãn điều kiện x1x2 x n =1.Chứng minh rằng
i
n i n
i n
x x
x
n P=( +1)³ççèæå= +å= 1 ÷÷øö
1 1
49 Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 + abcd ³ min
þý
üî
í
279
1,4
Trang 550 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
i y x y
x y x
1
2 1 2 2
2 2 2
()3
()3
+
++
+
b a bc
a b
a c ab
c a
c b
54 Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện (1+ a2)(1 + b2)(1 + c2)(1 + d2) = 16.Chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
a c c b b a a c
a c c b
c b b a
b
-£+
++
++-
-60 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
è
æ
÷ø
öçè
æå å
=
=
n x x
n
k k n
k k
Chứng minh rằng
)1(
24
1 2 1
2 1
2
++
->
÷
÷ø
öç
çè
æ
÷ø
öç
n
k k
x x
62 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 + 2abc + 3 ³ (1 + a)(1 + b)(1 + c)
63 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
8
)(2
)2
()(2
)2
()(2
)2
(
2 2
2 2
2
2 2
2
2
£++
+++++
+++++
++
b a c
b a c c
a b
c a b c
b a
c b a
64.Cho x,y là các số thực dương và m,n là các số nguyên dương Chứng minh rằng
Trang 665 Cho a,b,c,d,e là các số thực dương thoả mãn điều kiện abcde = 1 Chứng minh rằng
3
101
11
1
++
+++
+
+++
+
+++
+
+++
+
+
eabc ea
eab e deab de
dea d cdea cd
cde c bcde bc
bcd b abcd ab
abc a
66.Cho )
2
;0(,
)sin(
)
sin(
.sin)
sin(
)sin(
)
sin(
.sin)
sin(
)sin(
)
sin(
.sin
³+
-
-++
-
-++
-
-a b
a c b c c c
a
c b a b b c
b
c a b a a
67 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
è
³
÷ø
öç
è
-c
a b
c a
b a
c c
b b a
70 Chox1,x2, ,x n > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện x1+x2 + +x n =1.Chứng minh rằng
1
11
x n x
71 Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 + abc = 4.Chứng minh rằng
2 3
a c c b b a abc
c b
.3
3 3
c b a b a a abc ab
£+
)(x y z
z y x
++
++
75 Cho a,b,c,d là các số thực dương Chứng minh rằng
(a + b)3(b + c)3(c + d)3(d + a)3 ³ 16 2 2 2 2 4
)(a b c d d
c b
bc ab
ab
-+-
+
)(1
)(1
(
3)
1(
1)
1(
1)
1(
1
3 3
abc abc
a c c b b
91
11
z y x x zx z z yz y y xy
Trang 781 Cho a,b,c,d là các số thực dương Chứng minh rằng
12
11
11
11
1
c b
a a
c c
b b
85 Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 3 Chứng minh rằng
( ) ( ) ( + )³3
++++++
c x z a c
b z y c b a
86 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
5
3)
(
)(
)(
)(
)(
)(
2 2 2 2
2 2 2
2
2
³++
++++
++++
+
-c b a
c b a b a c
b a c a c b
a c b
87 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng
1)
1(
1)
1(
1)
1(
1
2 2
2
+
++
++
c a c
b c b
a b
a
c a
c
b c
b
a
+
++
++
³+
++
+
2 2
2 2 2
2 2
90 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
P = 2 2 2
1
31
21
2
c b
(
*
j n
j i i i
ø
öççè
+
c c
b
b b
a a
93 Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
(xy + yz + zx)
4
9)(
1)
(
1)
(
1
2 2
û
ùê
ë
é
+
++
++ y y z z x x
94.Chox1,x2, ,x n là các số thực dương thoả mãn điều kiện
Õ
=
£+
n
i
n i
x
1
2)13
Chứng minh rằng
316
1
1
n x
n
i i
³+
å
=
Trang 8n j i
<
n và a1 + a2 + … + an = 1, n > 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
)1(1
1
2 1
a a a
98 Choa1,a2, ,a nÎ[0;1) thoả mãn điều kiện
a =
3
3 2
2 2 2
n
a a
1
1
11
1
na a
a a
a a
+-
99 Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện
1
11
1
2 1
-£+
+++
++k n x k n x k n x n n
101 Chox1,x2, ,x n> 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện x12 +x22 + +x n2 =1.Tìm hằng số kn lớn nhất sao cho (1 – x ) (1 – 1 x )… (1 – x2 n) ³k n x1x2 x n
102 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
2
3)(
1)
(
1)
(
1
3 3
+
++
+++
++
ca bc
c b
bc ab
b a ab
104 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
x Chứng minh rằng
1
2
12
12
++
+++
+++ y z x y z x y z
Trang 9y x
110.Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện xyz = 1.Chứng minh rằng
1 1 1 3 3
3 3 3
3 3
3
³++++++++
zx
x z yz
z y xy
y x
Khi nào đẳng thức xẩy ra ?
111.Cho x ,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= (x-1)2 +y2 + (x+1)2+y2 + -y 2
112 Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện ( ) 2 2
x+y xy=x +y -xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a a
÷ø
öç
è
£
÷ø
öç
è
2
122
12
114 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
3 3 3 3
2 3
2 3
2
181
11
c b a b
ca a
bc c
ab
++
³
++
+++
115 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
2
11)
1(
11
)1(
11
)1(
1
2 2 2
2 2
+++
++++
+++
è
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
a
c c
b b a
117 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
4
3)1)(
1()1)(
1()1)(
1(
3 3
3
³++
+++
++
c c
a
b c
b a
118 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng
4
11
1
+
++
+
ca a
bc c ab
119 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng
a2 +b2 +c2 +2 3abc £1
120.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng
+ + + 1 ³4 3
abc c b a
121 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng
³+ b
a
Trang 10124.Cho các số thực x,y Chứng minh rằng
3(x + y + 1)2 + 1 ³ 3xy
125 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
3 1 1 3 3
)(2
a
b b
a b
a b
ø
öç
11
11
1
2 2
+
++
+
++
+
c ca
b
b bc
23
23
++
+++
+++
++
d b
a d
c a
d c
b d
c b
3 3
³++
+++
+++
++
d b a d
c a
d c
b d
c b
ab ca
b
ca bc
a
bc
22
c ca b
b bc
a
a
22
2
2 2
2 2
2
+
++
++
b bc
a
++
³++ 3 3
11
11
1
³+
++
+
³++
b a
c b c b
b a a
c c
b b
³ và a + b + c = 1 Chứng minh rằng
10
911
+
++
+
c b
b a
3 3 6
9 9 6
3 3 6
9 9
³++
++
++
++
++
+
x x z z
x z z
z y y
z y y
y x x
y x
137.Cho x³ y³ z>0 Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
z y x y
x z x
z y z
b c c
b
2 2 2 2 2 2
139 Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
Trang 11
9
33))(
(
)(
2 2 2
2 2 2
+
£+
++
+
+++++
zx yz xy z y x
z y x z y x xyz
140 Choa1,a2, ,a n> 0 và a1+a2 + +a n <1 Chứng minh rằng
1
2 1
2 1
2 1 2
)1) (
1)(
1)(
(
)
1(
+
£
+
-++
-
-n n n
n n
n a a
a a
a a
a a
a a a a
141.Cho hai số thực a,b với a¹0.Chứng minh rằng
2 + 2 + 12 + ³ 3
a
b a b
a a
a a
a a
a a
a
+++
³+++
2 2 2
2 1
c b
b a
16
16
16
1
3 3
³+
d
b c
+
++
+
c a c
b c b
c a b
b a c
a c b b
ca b
a a
bc a
c c
ab
+
++
++
³+
++
++ ) ( ) ( )
+++
+++
+
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
152 Cho x,y,u,v là các số thực dương Chứng minh rằng
v u
uv y x
xy v
u y x
uv uy xu xy
+
++
³+++
+++
153 Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [ ]1;4 và x³ ,y x³ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x z
z z y
y y x
x
+
++
++ 3
154 Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [ ]1;9 và x³ ,y x³ z Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P =
x z
z z y
y y x
x
+
+++
Trang 12155 Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn
úû
ùêë
é3
;3
++
+
z z y
y y x
è
æ + + +
³
÷ø
öçè
æ +
÷ø
öçè
æ +
÷ø
öçè
æ +
3
121
11
abc
c b a a
c c
b b
üî
í
ì
++++
++
³+++
4 3 2 1 4 3 2 1 3
4 3 3 3 2 3 1
1111,max
x x x x x x x x x
x x
164 Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
)(
3
)
3 3 3
z y x
c b a z
c y
b x
a
++
++
³+
11
11
1
4 4
4
+
++
++
y
x 2+2 2+2 2+2 ³ + +
167.Cho c³b³a³0.Chứng minh rằng
2 2
2
³+
++
+
c ca
b bc
a
170 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc ³ 1 Chứng minh rằng
Trang 1314 4 4 1 4 4 14 £1
++
+++
++
())(
())(
(
2 2 2
2 2
2
³++
+++
++
z c az
cx ax cz
y b cy
bz cz by
x a
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
173.Cho ba số thực a b c, , đôi một phân biệt Chứng minh rằng :
+
++
+
c c
b b
+
++
+
c c b
b b a
a
176.Cho a,b,x1,x2, ,x n >0,x1+x2 + +x n =1 Chứng minh rằng
)(
1
1 3
3 2
3 2 2
1
3 1
bab
ab
ab
a + + + + + x + ³ n +
x x
x
x x
21
11
x+ + > + + Î Chứng minh rằng
k k k x k y k z k
z y
11
11
1
£-
+-
è
++
³
÷ø
öç
è
c b a c b a a
c c
b b
)(
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + +x y 1
183.Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9)1)(
1( +a +b = , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4
1
Trang 14184 Cho a,b,c,d là các số thực dương Chứng minh rằng
abcd
d c b a d c b a
+++
³++
3
1111
185.Cho a,b,cÎ[ ]0;1 Chứng minh rằng
2
11
+
++
+
c ca
b bc
b a
a c
a a
c a
b
-++-
++-
+
³
÷ø
öç
è
1
11
11
b a c b a a
c c
b b
a
++
+++
-³+
2
)(4
1()1)(
1()1)(
1
2 3
3 2 3
3
2
³++
+++
++
c c
b
b b
+
++
+
c b
b a
2 5
2 5 2
2 5
2 5
³++
+
-++
+
-++
-y x z
z z x
z y
y y z
y x
x x
è
÷ø
öç
è
³
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
2
122
124
34
2
b a
a b b
193 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 +1 +1 =1
c b
)2(
Trang 15
1 2 1
2
11
)1
÷ø
öçè
æ +
£+
n
n n
x x
x x
Khi nào đẳng thức xẩy ra ?
196 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng
4
3)1)(
1()1)(
1()1)(
1
++
+++
++
c c
b
b b
11
1
2 2
+-
++-
++
1()
1( -c + bc -a + ca -b £
a
c a c
b c b
a
++
³+
++
14
1
£-
+-
b a abc
3
)(
è
+
c b a
3 6 3
3
6
³+
++
+
z z
y
y y
è
++
c b a c b
205 Cho a,b,c,d là các số thực dương Chứng minh rằng
4 2 2 2 2 2 2 2 2
abcd
d c b a a
d d
c c
b b
³++
Trang 16206.Cho xÎ[ ]0;2 Chứng minh rằng
3 3 4
33
13
2
13
2
1
2 2 2
2 2
++
+++
++
æ +++
÷÷
ø
öççè
æ++
x
y y
c b a c
41
+
++
+
z y
y x
è
+
++
+
³
÷ø
öç
è
++
c
b a b
a c a
c b c
b a c b a
2
3111)
212.Cho x là một số thực bất kì Chứng minh rằng
17
)1(
16)1(8
1
4 2
4 8
£+
++
£
x
x x
213 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
c b a
c b a a
c
a c c b
c b b a
b a
++
++
£+
+++
+++
+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+
c a
c
b c
Trang 173 3
2 3
2 3
2
³++
+++
++
z x
z z y
y z
y y x
7 2 2
2 2 7
7 2 2
2 2
£++
+++
++
x z z
y z y
z y y
x y x
y x
1+
£+
++
+
abc ca
b
b bc a
c a c bc
b c b ab
a
+
++
++
-2
3 3 2
3 3 2
3 3
3
53
53
5
221 Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện x,y,z ³-1 và x3 + y3 + z3 ³ x2
+ y2 + z2Chứng minh rằng
+++++++
+
b a
c a c
b c b
1)
(
1)
(
1)
(
1
3 3
3
++
+++
+++
++
2 1 1
2
+++
+++
+ +
k n
n
n k n
n
a a
a
a a
è
æ
+
++
++
³
++
++
+
c a
b c
b
a b
a
c b
a c a
c b c
b a
228 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ a2
b2c2Chứng minh rằng
2
3)(
)(
)
2 2 2
2 3
2 2 2
2 3
2 2
³+
++
+
a c c
b a
c b b
a c
b a
229 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 6 Chứng minh rằng
Trang 18
512
7291
1
11
1
ø
öç
è
æ +
÷ø
öç
è
æ +
÷ø
öç
è
æ +
c b
11
11
1
2 2 2
2 2
2
£+
+++
+++
+
a
c c
b b
245
145
+++-
+
a a
a a
2 3
2 3
2
³
÷ø
öçè
æ++
÷ø
öçè
æ++
÷ø
öçè
æ
c a
c
b c
b a
235.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng
abc
abc ca
c bc
b ab
a
53
1211
3 3
3
³
÷ø
öçè
æ++
÷ø
öçè
æ++
÷ø
öçè
æ
c a
c
b c
1+ + + ³ + ++
x
z x
y y
a x +y +z ³ - + +
Trang 19241.Cho a,b,c > 1 Chứng minh rằng
alogb c +blogc a +clogb 3
3 abc
³ 242.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng
18
1
3 3 6 3
3 6 3
3
6
³+
++
+
c a
c
b c
b a
243 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 Chứng minh rằng
2
3
£+
++
+
zx yz
x
yz xy
+
£+
(
32
+-
+
b b a
2
2a+b+ b+c+ c+a £ 248.Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
(x + y + z)6 ³ 432xy2
z3 249.Cho xÎ[ ]0;1 Chứng minh rằng
325
325
325
3
ø
öç
è
æ +
÷ø
öç
è
æ +
÷ø
öç
è
æ +
÷ø
öç
è
æ +
a
d d
c c
b b
è
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
a d d
c c
b b
21
21
21
ø
öç
è
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
b a
d a d
c d c
b c b
253 Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b£1 Chứng minh rằng
11
Trang 20254 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c£1 Chứng minh rằng
2
811111
11
2 2 2 2 2
+
++
2())(
2())(
2( a+b a+c a+ b+c b+a b+ c+a c+b c £
256 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện (a2 + a + 2)(b + 1)2(c2 + 3c) = 64 Chứng minh rằng
è
÷ø
öç
è
÷ø
öç
è
a c c
b b
1 2 1 1 2 1 1 2 1÷÷³93
ø
öçç
è
æ + +
÷ø
öç
è
æ + +
÷ø
öç
è
æ + +
p c n
b m
2 2 2
2 2 3 3 3
³+
+++
+++
++++
ac b
a c bc a
c b ab c
b a abc
c b a
263 Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab = 1 Chứng minh rằng
1
11
3 3
³+
+
b b a
264 Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x + y + z = 2 Chứng minh rằng
2(x3 +y3 +z3)£2+x4 + y4 +z4
265 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
1 1 1 24
3 2
3 2
3
ø
öç
è
+
÷ø
öç
è
+
÷ø
öç
è
ca
c bc
b ab
a
266 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng
+++
³+++
Trang 21267 Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
( 1) 1 1 1÷÷+ + + ³ + + +6
ø
öçç
è
æ
++
x
y y
z z
x z y x
268.Cho a,b,c,dÎ[ ]0;1 Chứng minh rằng
3
11
1
+
++
++
+
d dab
c cda
b bcd
)(
)
8 2
2 2 8 2
2 2
8
³+
++
+
c c
b
b b
3
³
÷ø
öç
è
æ + ++
++
ca bc ab a
c c
b b a
271.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
c b a c
b a
1111111
ø
öç
110
110
++
+++
++
1
2 2 2 2 2 2
p
³+++++b c d e f
2
++
+++
++
c b
b
b a
a a
274 Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng
33
2 2
2 2
2 2
x y x x zx z z yz y y xy x
zx yz
++++++++
++
13.3
++
³++b a b ab ab
1(
1)
1(
1)
1(
1
+
³+
++
++ b c c a abc b
a
277 Cho x,y,z là các số thực không âm Chứng minh rằng
Trang 22278 Cho x,y,z lă câc số thực dương Chứng minh rằng
0
2 2 2 2 2 2
³+
++
++
-y x
y z x z
x y z y
z x
++
++
-³++
a
a c c
c b b
b a c b
2
3 3 2
3 3
63
2729
546
878324
2
232
x xz
z x
z yz
y z y
xy
x y
+
+
-+
+
ưÎ2
1
;0,,
,b c d
a Chứng minh rằng
)1)(
1)(
1)(
1(4
4
d c b a
abcd d
c b a
d c b a
-
-³
÷ø
öì
ỉ
ư
-
-+++
1(
)1)(
(
2 2
y x
xy y
x
++
-
ỉ
++
abc
a c c b b a c
b a c b
287.Cho 10 số thực không đm a i,b i(i=1,2, ,5) thoả mên điều kiện a i2 +b i2 =1(i=1,2, ,5) vă
1
2 5 2 4 2
5 4 3 2 1
a a a a a
b b b b b
++++
++++
288 Cho x,y,z lă câc số thực không đm.Chứng minh rằng
[(x+ y)(y+z)(z+x)]2 ³ xyz(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)