Hướng dẫn học sinh giải nhanh một số dạng toán trắc nghiệm phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong đề thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT TRO

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT TRONG ĐỀ

MỤC LỤC

1 Mở đầu 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 4

2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 4

2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản 4

2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit 4

2.1.3 Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số 4

2.1.4 Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình 5

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6

2.3.1.Mục tiêu của giải pháp 6

2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 6

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

3 Kết luận, kiến nghị 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây là một vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi

Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương pháp

Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà

đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh Bài tập phương trình, bất

phương trình mũ và logarit là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong

các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá

đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan

(TNKQ) Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh

Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các

phương pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit Với ý định đó, trong sáng kiến kinh

nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit” theo hướng TNKQ.

nghiệm ” Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương

trình, bất phương trình mũ và logarit của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình mũ và logarit

Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ và logarit

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề

Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinhPhương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài

Phương pháp thống kê, phân tích số liệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản

- Phương trình mũ cơ bản có dạng a x b a0,a1

Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit

- Phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b a0,a1

Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x b ( hoặc a x b a, x b a, x b )

với a 0,a1

Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit

- Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b

( hoặc loga x b ,loga x b ,loga x b ) với a0,a 1

Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit

2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit

- Phương pháp đưa về cùng cơ số

a a  x k và loga x loga k  x k k  0

- Phương pháp đặt ẩn phụ

Ẩn phụ t a x hoặc t loga x

- Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa

Mũ hóa hai vế hoặc logarit hóa hai vế

- Phương pháp hàm số

Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dạng hàm hoặc hàm đặc trưng

2.1.3 Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số

- Để giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các phương pháp

cơ bản sau:

Phương pháp 1: Dùng tư duy hàm số

Giả sử hàm số y f x  có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt là M

và N Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g m , ta có: 

+ Phương trình f x  g m  có nghiệm trên D  N g m  M

+ Bất phương trình f x  g m  có nghiệm trên D  g m  M

+ Bất phương trình f x  g m  có nghiệm với mọi x D  g m  N

Chú ý: Các dạng bất phương trình còn lại suy luận tương tự.

Trong trường hợp hàm số không có M hoặc N hoặc cả hai, chúng ta cần xem xét cụ thể trên bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng các điều kiện cho tham sô Trong một số trường hợp cần sử dụng inf hoặc sup.

Phương pháp 2: Xây dựng các điều kiện tương ứng cho bài toán

2.1.4 Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình.

Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục trên  x x và phương trình f(x) = 0 vô 1; 2

nghiệm trên x x Khi đó f(x) không đổi dấu trên 1; 2 x x ”.1; 2

x x thì f(x) không đổi dấu trên x x Do đó để xét dấu f(x) trên 1; 2 x x ta 1; 2

chỉ cần thử một giá trị cụ thể trên x x Khi đó việc xét dấu f(x) trên tập xác 1; 2

định được quy về giải phương trình f(x) = 0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất phương trình liên quan đến xét dấu của f(x)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.2 Khó khăn:

Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với

tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn Vìvậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực

để vượt qua

Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phânbiệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán

Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao

Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng

nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất

phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.Mục tiêu của giải pháp

Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về phương trình, bất phương trình mũ- logarit

2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản.

Việc hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ –

logarit cơ bản là rất quan trọng Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ.

Ví dụ 1 Tìm số nghiệm của phương trình 2x4  35x2  24  x 2 210x3  50x x 2

Tư duy: Đây là phương trình mũ quen thuộc : au x   av x  được mở rộng

từ phương trình mũ cơ bản Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác

 



Nguyên nhân là không chú ý điều kiện xác định của các hàm số u x v x   ,

dẫn đến giải sai bài toán Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận

Ví dụ 2 Trên đoạn 150;120 , bất phương trình 3 1 110x  3 1 x 2 10200 có

bao nhiêu nghiệm nguyên

Tư duy: Đây là bất phương trình mũ quen thuộc : u x  v x 

a  a được mở

rộng từ phương trình mũ cơ bản Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều

kiện xác định của các hàm số u x v x   , và cơ số a để tránh sai lầm

Nguyên nhân là không chú ý cơ số a  3 1 0;1 dẫn đến giải sai bài toán

Ví dụ 3 Tìm tổng bình phương các nghiệm của phương trình

2

ln(x  6x7) ln( x 3)

Tư duy: Đây là phương trình logarit quen thuộc : loga u x  loga v x 

được mở rộng từ phương trình logarit cơ bản Việc giải phương trình này cần

chú ý điều kiện xác định của logarit để tránh sai lầm.

Lời giải

Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi

không chú ý điều kiện xác định của logarit dẫn đến không loại nghiệm và chọn

phương án sai C, hoặc xử lí không tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D

Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận

Ví dụ 4 Tìm nghiệm của bất phương trình 1 

2log 3x  1  3

Bài toán giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) bằng cách thử nghiệm

và loại trừ đáp án, tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận

Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán các dạng cơ bản tương tự như các ví

dụ trên và chỉ ra các sai lầm thường gặp.

2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp

Việc học phương pháp và giải toán theo phương pháp là cách học toán rất hiệu quả Thông qua việc giải toán theo phương pháp giúp học sinh nắm vững cách giải toán, tăng khả năng nhận diện phương pháp giải và hoàn thiện

hơn tư duy phương pháp.Từ đó tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ.

Ví dụ 5 Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình

log log log3 9 27 log81 2

Tư duy: Việc xuất hiện log ;log ;log3x 9x 27x;log81x giúp học sinh liên hệ

tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit tlog ,a x a3;9;27;81 Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán

9

x  Do đó chọn đáp án A

Nhận xét

Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt

ẩn phụ tlog81x lại cho thêm điều kiện t 0 nên chọn C là phương án sai

Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận

Ví dụ 6 Cho hàm số f x   2 7x x2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

Tư duy: Đây là bài toán dạng biến đổi bất phương trình bằng phương

pháp logarit hóa Từ đó kiểm tra cẩn thận các đáp án để chỉ ra khẳng định sai.

Lời giải

Khi logarit hóa hai vế cần chú ý tới cơ số a 0;1 hay a 1 để biến đổi đúng.Đáp án A đúng , vì logarit hai vế với cơ số a  2 1 nên không đổi chiều BPT,

và các biến đổi sau đó là đúng

Đáp án B đúng, vì logarit hai vế với cơ số a e 1 nên không đổi chiều BPT,

và các biến đổi sau đó là đúng

Đáp án C đúng, vì logarit hai vế với cơ số a  7 1 nên không đổi chiều BPT,

và các biến đổi sau đó là đúng

Đáp án D sai, vì logarit hai vế với cơ số a  2 1 nên không đổi chiều BPT,

nhưng biến đổi sai lầm khi rút gọn x

Nhận xét

Đây là một câu hỏi khá hay của đề BGD, một số học sinh rất lúng túng không tìm được cách giải thích Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai nhưng lại gặp bất lợi khi thói quen chọn x 0

Ví dụ 7 Bất phương trình 2  1 2 2

4x 2 x 2x 1 x

    có tập nghiệm là đoạn a b;  .Tính a2 b2

Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự và hàm đa thức

giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng

về phương pháp giải toán

Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải được bằng phương pháp biến

đổi đưa về cùng cơ số Vấn đề cần giải quyết là cơ số như thế nào ?.

Lời giải

Vì bpt nhận 15

2

x  làm một nghiệm nên:

2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán.

Việc giúp học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán là thiết thực, nhất

là trong thi TNKQ Sử dụng MTCT vừa giúp học sinh giảm thời gian tính toán, tăng độ chính xác vừa giúp học sinh phát triển tư duy thuật toán, khả năng loại trừ và cả khả năng đọc tình huống Tuy nhiên không nên cường điệu hóa MTCT hoặc xem nhẹ việc sử dụng MTCT, cần cho học sinh thấy được sự cần thiết

đúng mức của MTCT để hỗ trợ trong quá trình giải toán

Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời.

Ví dụ 9 Tìm tập nghiệm S của phương trình 2  1 

2log x 1 log x1 1

Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT

Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương

án trả lời Phương án đúng là A

Nhận xét

Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải bằng MTCT và tự luận

là tương đương nhau Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm hơn cho các học sinh

trung bình trở xuống, vì nếu làm tự luận các em vẫn gặp sai lầm khi không xét

điều kiện xác định cho phương trình và biến đổi sai.

Ví dụ 10 Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x a x 6x 9x

đúng với mọi số thực x.Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A a 10;12 B a 16;18 C a 14;16 D a 12;14

Tư duy: Đây là một câu tương đối lạ và khó, việc thử giá trị bằng MTCT

là cách giải dễ nhận thấy khi làm TNKQ cho bài toán này

Hướng dẫn dùng MTCT

Ta có: a x 6x 9x  3x  a x f x  với f x    6x 9x  3x ( vì có a 1)

Bước 1: Nhập hàm số f x    6x 9x  3x vào MTCT

Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC):

Thay x 1 ta được f  1 12 nên a 12

Trên cơ sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận như sau:

Từ thực hành MTCT dự đoán a 18, và tiến hành chứng minh bđt:

Như vậy MTCT không chỉ hỗ trợ tích cực trong giải toán TNKQ mà trong một

số tình huống còn định hướng giải toán tự luận.

Tư duy: Đây là một câu hỏi trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng

MTCT là có hiệu quả cho học sinh

log x 2log x 0 0 log x2 (1)

Thử MTCT thấy x 2 là nghiệm nên 2

log x 2log x  1 0 log x 1 0

Bpt thu được vô nghiệm nên m 1không là giá trị cần tìm.

Khi đó: Đáp án D bị loại

Bước 2: Đáp án chọn là A

Nhận xét

Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu

điểm rõ rệt so với cách làm tự luận Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số m

và hình thành kĩ năng thử ngược để loại trừ đáp án

Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị.

Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi của trường

THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 Việc sử dụng MTCT để giải toán

có hiệu quả hơn giải tự luận, sau khi học sinh biết cô lập tham số

Hướng dẫn dùng MTCT

Cô lập tham số ta được: mf x 

Bước 1: Mở chức năng TABLE trong MTCT và nhập hàm

40,99999983

a  , b 32 Do đó chọn phương án C

Nhận xét

Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu

điểm rõ rệt so với cách làm tự luận Một số học sinh thực hiện hai lần quy trình

trên khi thêm bước ẩn phụ t  x 1 3 x để đơn giản khi dùng MTCT

2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”.

Việc giải phương trình f x  thường đơn giản hơn việc giải các bất   0

phương trình tương ứng: f x  0, f x  0, f x  0, f x  0 Vì khi giải phương trình chúng ta có thể giải theo pt hệ quả, giải xong rồi mới kiểm tra các điều kiện , trong khi bpt việc biến đổi đòi hỏi chặt chẽ để thu được bpt tương đương.

Nhờ định lí (*), chúng ta chuyển bài toán giải bpt về giải phương trình tương ứng và kết hợp MTCT (Kn MTCT) để hỗ trợ giải toán.

Giải bất phương trình bằng kĩ thuật “chuyển về phương trình” được thực hiện theo thuật toán sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của bpt.

Chuyển bpt về dạng: f x ( ) 0(hoặc dạng tương ứng)

Bước 2: Giải phương trình f x ( ) 0

Bước 3: Xét dấu của f x( )trên tập xác định D dựa vào định lí (*).

Kết luận nghiệm cho bài toán.

3 3

A S 8 B S 26 C S 10 D S 28

Tư duy: Bài toán này nếu giải trực tiếp bpt thì phải xét điều kiện và việc giải bpt

thu được: x 353  x x3 3 35 x3 30 cũng gặp nhiều khó khăn và tốn thời

gian nhiều Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải toán nhẹ nhàng