Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

Vì vậy tôi chọn đề tài : Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý.. Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống về tích phân xác định, tích phân suy rộng cùng v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

We Go we [LL] we wey

NGUYEN THI KIM HUYEN

TICH PHAN XAC DINH

vA UNG DUNG TRONG HINH HOC VA VAT LY

Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mãsố: 60 46 40

TOM TAT LUAN VAN THAC Si KHOA HOC

Đà Nẵng - Năm 2011

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LE HAI TRUNG

Phan bién 1: TS Nguyén Duy Thai Son

Phan bién 2: PGS TS Nguyén Gia Dinh

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đông châm Luận văn tôt nghiệp

thạc sĩ khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

-_ Trung tâm Thông tin — Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- 'Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán học phổ thông và đại học vấn đề về tích

phân chiếm một vị trí quan trọng và không thẻ thiếu được trong khối

kiến thức của bất kỳ học sinh — sinh viên nào Với tính đặc thù và độ

hay, khó, cùng với sự đòi hỏi về tư duy trừu tượng cao, các bài toán

liên quan đến tích phân trở thành một trong những chuyên dé quan

trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các câp và tuyển sinh đại

học, cao đăng, trung câp Hơn thế, lý thuyết và các bài toán về tích

phân còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và là công cụ tính

toán hữu hiệu khoa học lý thuyết Vì vậy tôi chọn đề tài : Tích phân

xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

2 Mục tiêu nghiên cứu

Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống về tích phân xác định, tích

phân suy rộng cùng với một vài ứng dụng trong hình học và vật lý

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Tích phân xác định, tích phân suy rộng và ứng dụng trong hình học

và vật lý

3.2 Phạm vỉ nghiên cứu

Thực hiện nghiên cứu tích phân xác định và ứng dụng của tích

phân xác định trong hình học và vật lý của các hàm một biến thực

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, chuyên khảo về tích phân

và ứng dụng của tích phân xác định trong hình học và vật lý

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết Luận án có thể sử dụng như là tài

liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy

phân tích phân xác định thuộc môn toán khối phổ thông trung học

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 02

chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Trình bày các kiến thức cơ bản vẻ tích phân xác định: định nghĩa

tích phần xác định, các tính chất của tích phân xác định, các định lý

về giá trị trung bình đối với tích phân xác định Là cơ sở cho

chương sau khi áp dụng các phép tính của tích phân xác định trong hình học và vật lý

Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác định trong hình học và vật

lý: xác định diện tích của hình phẳng trong hệ tọa độ Đề - các và hệ tọa độ cực; thể tích của vat thé nhận được khi quay quanh trục Ôx, Oy; xác định độ dài của đường cong: xác định trọng tâm của đường cong, trong tam cua vat thé; moment ctia vat thé, áp suất của chất

lỏng lên bề mặt của phiến mỏng: công cần bỏ ra để nâng một vật lên

một độ cao nào đó

_CHUONG 1 KIEN THUC CO SO

1.1 Bai toan dién tich hinh thang cong

Cho hàm sô y = f(x), xác định liên tục trên khoảng đóng la, bị,

ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, bị Xét hình thang cong

AabB là hình giới hạn bởi đô thị của hàm số f(x) trên [a, b], các

đường thăng x =a,x =b và trục hoành Ox, ta đặt vẫn đề định nghĩa

điện tích S của hình thang cong AabB

Y

|

ax, X;%i% x, bX Hinh 1.1

Ta chia đoạn [a, bị thành n đoạn nhỏ bởi các điêm chia:

Xe=a<X,<X,< <X,,<X,< <X,E=D

Các điểm chia X; (=0, l, , n) được chọn tuỳ ý theo thứ tự

tăng dần và điểm đầu X ọ trùng với a, điểm cuối cùng X, trùng với b

Từ các điểm chia xX,(=0,], ,n) ta dựng các đường thăng

X =X,, như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình thang

cong nhỏ P,x, ,x,P G= 1, n) (Hình 1.1), mỗi hình thang cong nhỏ

É, €[X, ¡ X,] Thay mỗi hình thang cong nhỏ P4x,,x,P G= 1,n)

bằng một hình chữ nhật có cùng đáy Ax ; Và chiều cao là f(,) Diện

tích các hình chữ nhật là:

f(ễ¡)Ax,, £(6, )AX,, , £(6, AX,, , £(E, JAX, -

Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần đúng diện tích cân tìm S của hình thang cong AabB đã cho Nói một

1

cách khác, ta có thể viết: S = À f(É,)Ax,

i=l

Ta nhan thay néu s6 doan chia cang nhiều sao cho độ lớn của các

n

đoạn chia càng nhỏ thì tổng Sy f(É,)Ax, càng gân giá trị đúng S

i=l

Từ đó có thể nói rằng khi chuyén gidi han n— oo sao cho Ax,—0(=I1,n) thì giá trị giới hạn của tổng chính là diện tích S cần tìm của hình thang cong AabB đã cho:

maxAx; >0 il

1.2 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm sô f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b],

cha [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia Xo=A<X, <X,< <X,¡ <X,< <X,=DP,

Đặt Ax, =x,—x,, và À= maxAx.,1= l, 2, ,n Ta gọi các điểm chia + {x,} là một phân hoạch của đoạn [a,b] va A là

đường kính phân hoạch Trong mỗi đoạn nhỏ [x,_,, x, | lấy một điểm Š; tuỳ ý:

X,_, $6, $x,,G=1,2, ,n),

và lập tổng:

Go = LNG IAX;, Ax, =x.-x,,, G@=1,n) (1.2)

Ta thấy tổng G = 3 f(É,)Ax, là một số xác định, số đó phụ

i=l

thuộc vào phân hoạch t = (XJ và các điểm ễ, trong [x, ¡, x;] Đại

lượng trên được gọi là tích phân Riman của hàm số f(x) theo phân

hoạch + = {x,} trên đoạn [a, b]

Nếu khi ñn tang vô hạn (n>œ) sao cho

max Ax, =À,À >0, 6G có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này

<i<n

không phụ thuộc vào phân hoạch r+= {x,} trên đoạn [a, b] va cách

chọn điểm G.:

(noo) i= 1

thi I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) (theo Riman)

b

lây trên khoảng [a, b] và kí hiệu là | f(x)dx, nhu vay:

1= [f@)dx (1.4)

1.3 Các tính chất của tích phân xác định

Định lý 1.3.1 (Tinh chât tuyên tính) Nêu f, g 14 hai hàm khả tích trên

[a, b| thì œf + Bg cũng khả tích trên [a, b], trong đó a, B = const

va:

J[tf(©) + Bg()]dx = ø [f&)dx + B |g(@)dx (1.5)

Định lý 1.3.2 Cho 3 khoảng đóng [a, b], [a,c], [c, b], néu f(x)

khả tích trên khoảng có độ dài dài nhất thì cũng khả tích trên hai

khoảng còn lại và:

| f(x)dx = | f(x)dx + | f(x)dx (1.6)

Định ly 1.3.3 Néu f(x) kha tich trén [a, b], f(x) >0 Vxe {a, b],

b

a <b thi [f(dx >0

Dinh ly 1.3.4 Nếu f(x) < g(x) Vxe [a, b] thi [f@x)dx < | g(x)dx

Dinh ly 1.3.5 Néu m va M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trén [a, b] thì:

m(b—a) < [foxydx < M(b—a) (1.8)

1.4 Các định lý về giá trị trung bình Định lý 1.4.1 Giả sử f(x) khả tích trén [a,b], (a<b) va m= inf f(x); M = sup f(x) Khi do tổn tại e [m, M] thỏa mãn:

xe[a, b] xe[a, b]

b

a Định lý 1.4.2 Giả sử:

a) f(x) va f(x)g(x) khả tích trên [a, b] ; b) m< f(x) <M, Vxeé [a, b];

c) g(x) khong déi dau trên [a, b]

Khi d6 voi m< u<M tacé:

1.5 Nguyén ham va tich phan xac dinh Dinh nghia 1.5.1 Cho ham sé f:[a,b] > R Ham sô khả vị F:[a,b] > Rduoc gọi là nguyên hàm của hàm f nếu F(x) = f(x) Vx e [a,b] Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được

kí hiệu là ƒf(x)dx và được gọi là tích phân không xác định của f(x) Định nghĩa 1.5.2 Cho ham f(x) khả tích trên [a, b| Khi đó với mọi

x € [a, b] ham f(x) kha tich trén [a, x] Xét ham ®:[a,b] R cho

bởi:

a

Ham Ø9(x) được xác định như trên được gọi là tích phân xác định như

hàm của cận trên

Định lý 1.5.1 Nêu f(x) liên tục trên [a, bị thì ®(x) là một nguyên hàm cua f(x), tire là:

O'(x) = f(x) Vx € [a, b] (1.13)

Định lý 1.5.2 Nếu f(x) khả tích trên [a,b] thì ®(x) liên tục trên

[a bỊ

Định ly 1.5.3 Giá sử f(x) liên tục trên [a, b] va ®(x) là một nguyên

hàm của f(x) Khi đó:

b

! f(x)dx = O(b) — O(a) = (x), > (1.14) 1.6 Một vai phương pháp tính tích phân xác định

1.6.1 Phương pháp đổi biến số

1.6.2 Phương pháp tích phân từng phân

1.7 Tích phân suy rộng

1.7.1 Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích phân là vô

hạn)

1.7.2 Tích phân suy rộng loại 2 (Trường hợp hàm số lấy tích phân

không bị chặn)

10

UNG DUNG CUA TICH PHAN XÁC ĐỊNH TRONG

HÌNH HỌC VÀ VAT LY

2.1 Sơ đồ áp dụng tích phân xác định

Giả sử ta cân xác định giá trị của một đại lượng hình học hoặc vật lý A nào đó (diện tích của mảnh, thê tích của khôi, áp suât của chat lỏng lên bê mặt phiên ), với việc thay đôi trên đoạn [a, b] được

mô tá bởi biên độc lập x Giả sử đại lượng A là cộng tính, khi đó đê

xác định được đại lượng A ta tiên hành như sau:

- Các điểm X= a, X, ,X,=b6 chia đoạn [a,b] thanh n phan

tương ứng với việc đại lượng A duoc phân thành n “số hạng thành

phần n” AA,,i=1, 2, ,n Nhu vay:

- Biểu diễn mỗi một số hạng thành phan dưới dạng tích của một

vài hàm nào đó (phụ thuộc vào điêu kiện bài toán), sau đó tính toán

tại một điêm bât kỳ tương ứng với đoạn đó và giá trị của hàm:

AA, ~Íf(é,)Ax, Trong việc xác định giá trị gần đúng AA, ta chấp nhận một vài điểm ước lượng sau: cung trên một phan đủ nhỏ được thay bằng dây mà nối hai đầu mút của nó; vận tốc biến thiên trên một đoạn đủ nhỏ coi như là hang số Ta nhận được giá trị gần đúng của

đại lượng A dưới dạng tông:

A =f(,)Ax, +Íf(š,)Ax, + + (6, )AX, (2.2)

- Chuyên qua giới hạn ta nhận được giá trị của đại lượng A:

n b

A = limS`f( )Ax, = [f(@x)dx (2.3)

2.2.1 Diện tích hình phăng giới hạn bởi đô thị hàm sô y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] (f(x) nằm trên trục Ox), hai đường thắng x = a,

x =b và trục Ox từ bài toán xác định diện tích hình thang cong ta có ngay:

II

Như vậy ta có nội dung của định lý sau đây:

Định lý 2.2.1 Nêu y = f(x) > 0 và liên tục trên đoạn [a, bị thì diện

tích của hình thang cong tạo bởi đô thị của hàm số y = f(x) và trục

Ox được xác định bởi công thức (2.4)

Hệ quả 2.2.1 Chú ý răng nêu như hình thang cong D năm dưới trục

Ox: D= {(x, y):a< x <b, y=f(x) < 0}, thi khi d6 dién tich S, cua

hình thang cong D bằng diện tích của hình thang D đối xứng với D

qua trục Ôx:

Sp= Su Í (-f(x)) dx =— ! fox)dx, (2.5)

Nhu vậy gộp cả hai trường hợp trên ta viết công thức xác định diện

tích hình phăng được viêt dưới dạng:

b

a

Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đô thị hàm sô x = 0(y) liên tục trên đoạn [c, dỊ, hai đường

thăng y = c và y = d và trục Oy” (Hình 2.1)

d

Hinh 2.1 Khi đó, công thức tính diện tích là:

d

2.2.2 Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f,(x), y=f,(x)lién tuc trén đoạn [a,b|, hai đường thăng

X=a,x=b,(a<Ðb) (Hình 2.4) thì diện tích của nó được xác định

bằng:

b

S= | |f,(x)—f,(x)|dx (2.8)

12

y=f@&)

y=Ê@&)

Hình 2.4

2.2.3 Giả sử miền xác định được cho trong tọa độ cực Gọi miền D

hình quạt cong, được giới hạn bởi các ta @=0,@= và đường cong r =r(0) (Hình 2.6)

OL

Hinh 2.6 Dinh ly 2.2.2 Néu ham r=r(@) = 0 va liên tục trên [ơ, B| thì diện tích của hình quạt cong được tính bởi công thức:

17

S= 3|r (0Mọ

2.2.4 Nêu diện tích của miễn cần tính được giới hạn bởi các đường

cong được cho dưới dạng tham sô:

Ù) = 0€) y=wt)

ở đây t <t<t,, thì bằng phép đổi biến ta đưa được tích phân cần tính về dạng:

S = [f(x)dx = | w()@()dt, (2.11)

2.3 Tính độ dài đường cong Giả sử ta có đường cong AB được cho bởi đô thị của hàm sô

y = f(x) liên tục trên đoạn [a, bị (Hình 2.12) Ta chia đoạn [a, bị thành n mảnh nhỏ bởi các điểm chia:

X:Aa=X,<X,< <X <X.,.< <X ,=b.

13

Hình 2.12

Ta dựng các dudng thang x =x.,i=1, 2, ,n-1 Nhu thé

cũng AB sẽ bi chia thành n cung nhỏ bởi các diém

A=M,,M, M,, ,M = B theo hướng từ A đên B Nôi các điêm

trên với nhau bằng các đường thắng ta nhận được một đường gấp

khúc M,M M, Kí hiệu L, 1a d6 dài của đường gấp khúc nhận

được, độ dài của mỗi mâu nhỏ là Al,, = max AI,

1<i<n

Định nghĩa 2.3.1 Đường cong AB được gọi là cầu trường (nắn

thăng) nếu tôn tại giới hạn hữu hạn của các đường gấp khúc mô tả

đường cong AB khi 1 > 0 Gidi hạn trên ta gọi là độ dài cung AB

của đường cong và kí hiệu là L,, Như vậy:

430

Định lý 2.3.1 Nếu đường cong AB cho bởi đổ thị của hàm số

y = f(x), 6 day f(x) va f'(x) liên tục trên đoạn [a, b|, khi đó AB là

cầu trường và:

b

Lụ = [v1+lf (x)Ÿ dx (2.13)

Hệ quả 2.3.1 Nếu như AB được cho dưới dạng tham số:

‘ = x(t)

y=yO

ở đây ast <P; Ax(a),y(a)), BCx(B),y(B)) Gia su x = x(t); y = y(t)

là các hàm khả vi liên tục trên [ơ, B] Khi đó công thức (2.13) viết

L = {vi + [y (x)Ï dx

Ta tiến hành đổi biến trong tích phân nhận được: x = x(t), khi đó:

được dưới dạng:

14

v(x)= $v_ - 3, ; dx = x(t)dt

dx x(t)

Tu day ta suy ra:

L+ (28) `= (x©} +(y@)& — (212

(@)

Hệ quả 2.3.2 Nếu như AB được cho trong tọa độ cực

r =r(0), @€ |ơ, B| Khi đó ta có thê tham sô hóa phương trình của

đường cong bằng cách:

Ẳ = 1(Q)cos@

y = r(@)sing với @e |ơ, BỊ Khi đó từ công thức (2.14) ta nhận được:

B

=fy(r@) + (r@) do (2.15)

2.4 Tinh thé tich vat thé 2.4.1 Tính thể tích vật thể khi biết diện tích thiết điện ngang: Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại các điểm x=a,x=b,a<b (Hình 2.15)

Hình 2.15 Giả sử ta biết diện tích S của thiết diện của vật thể trên một mặt

phăng vuông góc với trục Ox là § = S(x), trong đó x là hoành độ của giao điểm của mặt phẳng cắt trục Ox, giả sử S(x) là một hàm số liên

tục trong khoảng đóng [a, b| Ta sẽ định nghĩa thể tích vật thể nói trên

Chia [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

A=X)< XK, <8 XS Xj <5 xX, =D.

15

Qua mỗi điểm chia X,,1=0,n ta dựng một mặt phẳng vuông góc

voi truc Ox, các mặt phang d6 chia vat thé thanh n vat thé nho Trén

mỗi đoạn [x:_¡ x, | lay một điểm ễ, tuỳ ý, dựng hình trụ đứng giới

hạn bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm

X =X, ¡,X=X, và mặt trụ có đường sinh song song với trục Ôx, đi

qua biên của thiết diện vật thể đã cho bởi mặt phăng X = Š , thể tích

của hình trụ đó là S(é,)Ax,, Ax, =X,—X,¡

Thé tích cua tat cả các hình trụ đó ứng với mọi 1,1 = I,2, ,n là:

2 ,S(É)AX;

Khi đó giới hạn của tổng SSG AX; khi n—>œ sao cho

i=l

maxAx, 0 duoc goi 1a thể tích vật thể đã cho Theo định nghĩa

b tích phân xác định, giới hạn đó chính là Ề (x)dx, tích phân này tổn

tại vì S(x) được giả thiết liên tục trong [a, b]

Vay, néu goi V la thê tích vật thể nói trên ta được:

b

2.4.2 Thể tích vật thể tròn xoay: Giả sử phải tìm thể tích của vật thé

tròn xoay tạo bởi hình thang cong AabB giới hạn bởi đường

y=fx),xe€ |a bỊ trục Ox, các đường thắng X=a,X=b khi

quay nó quanh trục OÔx (Hình 2.18)

Hình 2.18

16

Gia su f(x) liên tục trong [a, b|, khi đó mọi thiết diện vuông góc với trục Ox đều là mặt tròn có tâm nằm trên Ox và có bán kính là

y = f(x) nên diện tích S(x) của thiệt điện ứng với hoành độ x là:

S(x) = ny

b

Do đó, từ công thức V = | S(x)dx ta suy ra công thức tính thê tích của vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox là:

b

Nếu như cần tính thể tích của vật thể nhận được khi quay

AabB quanh trục Oy (Hình 2.19) ta lập luận như sau:

v3

Ä —T -— /

E===í

— 9Q a ——§b

B

Hình 2.19

Ta chia vật thê thành các hình trụ với bán kính

a=Xg<X¡< <X;j¡<X,< <x,=b, chiều cao f(x,) Thể tích của

khối được tạo bởi hai hình trụ liền kề nhau bằng:

MX, f(x,) —7x,_, f(x,_,) (2.18) Gọi š e[x,,,x,]=1,n) Nếu phép chia cho ta các phần bán kính rât nhỏ, nhỏ đên mức mà các điêm x ,x.,€ €[x,,,x,] rât

i-l?

gân nhau, do đó ta có thể thay thé X 4X; bằng ễ, , khi đó biểu thức (2.18) viết được dưới dạng:

mx, f(x,) có 1X, Í(X,,) = 2m f(, )AX,

Lập tổng của các thể tích và chuyển qua giới hạn khi

n —> œ tương ứng với maxAx, —> Ö Ta nhận được:

b

V, =2n | xf(x)dx (2.19)

a

17

2.5 Diện tích mặt tròn xoay

Tiên hành xem xét mặt nhận được khi quay đường cong y = Í(x)

(hàm y=f(x) được giả thiết là không âm và khả vi liên tục trên

[a, b]) quanh truc Ox Ta cần xác định diện tích của mặt tròn xoay

nhận được Trước tiên ta sẽ làm sáng tỏ câu hỏi, hiểu thế nào là diện

tích của mặt được hình thành khi quay một đường cong quanh trục

Ox?

Ta chia đoạn [a, b] một cách tùy ý thành n phân:

X:A=X,<X,< <X.<X.< <Xx =b,

Tại đây mỗi một điểm x, xác định một điểm M, (x,, f(x,)) trên

đường cong Nối tất cả các điểm M, ta nhận được đường gap khúc

mô tả đường cong đã cho Xét trường hợp đơn giản nhất, trên một

mẫu M,.M, của đường gấp khúc Khi quay đường đã cho quanh

trục Ox ta nhận được một hình nón cụt mà diện tích bê mặt của nó

bằng Z(y, ,+y,)Al,, ở đây AI, là độ dài của đoạn M,.M, Kí hiệu

Pla tổng diện tích bề mặt của tất cả các hình nón trên:

P,= ồ,x(y,, + y,)AI,

i=1

Dinh nghia 2.5.1 Néu ton tại giới hạn hữu hạn P_ khi

X= max Ax, —>0, thì ta sẽ gọi nó là diện tích bể mặt của vật thể

1<i<n

tròn xoay và kí hiệu là P:

P= limP (2.21)

À0

Định lý 2.5.1 Nếu hàm số y = f(x) khả vi liên tục trên [a, b] thì điện

tích bề mặt P của vật thê tròn xoay được xác định theo công thức:

P= on) f(x),/1 + (œ)} dx (2.22) 2.6 Khối lượng, moment và tọa độ trọng tâm của đường cong

Giả sử đường cong L được cho dưới dạng:

y = y(x), x € [a, b], (2.25)

hoặc dưới dạng tham số:

18

( m y = y(t) cịỊt.t.] [t,, t,] a Cac ham y(x), x = x(Ð, y= y() được xác định như trên được giá thiết là khả vi liên tục

Chúng ta sẽ xem xét đường cong trên như là một sợi dây vật chất (có khối lượng) Giả sử khối lượng được phân bổ dọc theo sợi dây

với mật độ bằng đơn vị, tức là khối lượng của mỗi một mẫu của đoạn

dây trên bằng với độ dài của nó Khi đó moment của đường cong

tương ứng với trục Ôx, kí hiệu là M_ được xác định bởi công thức:

và trong trường hợp tham số:

ty

tị

Moment của đường cong tương ứng với trục Oy, kí hiệu là M,

được xác định bởi công thức:

và trong trường hợp tham số:

ty

tị

Ta biết răng moment của một chất điểm bắt kỳ với khối lượng m tương ứng với trục (tọa độ) nào đó bằng tích khối lượng của nó với

độ dài từ chất điểm đến trục Trong trường hợp hệ có k chất điểm thì moment sẽ bằng tổng các moment của các điểm riêng biệt Nếu như các khối lượng không tập trung tại các điểm riêng biệt mà phân bổ một cách trù mật (liên tục) thì để mô tả moment ta cần đưa vào tích phân xác định

Giả sử đường cong L cho bởi phương trình (2.25) Ta chia đoạn

[a, bị thành các mảnh nhỏ bởi các điểm chia

Xp=a<X,<X,X< < X= b

19

Phép chia đoạn trên sẽ tương ứng với phép chia đường cong thành

những mảnh nhỏ Tại mỗi phần nhỏ đó ta lây tùy ý các điểm M, với

tọa độ (š., y(E,)) Khi d6 khôi lượng của mảnh thứ ¡ bằng với độ dài

của nó và bằng { 1 + y(x)’dx

Theo định lý về giá trị trung bình ta có:

x

Ỉ 1+ y(x)'dx = j1 +y()Ax,,

o day M.(é,, y(é,)) 1a một điểm nào đó trên đoạn thứ ¡ của đường

cong, con Ax,= x, — x, , Ta sé giả định rằng khối lượng của mảnh

thứ ¡ là trù mật tại điểm M, Khi đó moment của mảnh thứ 1 tương

ứng với trục Ox bằng tích của khối lượng mảnh này với khoảng cách

từ điểm M, đến trục Ox, hay y(é, a1 + yi(é,)Ax, Để nhận được

moment của cả đường cong ta cân lây tông của tât cả các moment của

các mảnh nhỏ Như thê ta nhận được tông tích phân của tích phân

xác định:

[y&)1 + y@9”dx

Chuyển qua giới hạn ta nhận được công thức (2.26) Lý luận tương

tự cho ta các công thức (2.27) và (2.28) Như vậy ta phát biêu được

định lý sau đây:

Định lý 2.6.1 Giả sử đường cong L được cho dưới dạng

y = y(x), x € [a, b], kha vi lién tuc trén [a, b] Khi d6 moment cua L

theo trục Ox, kí hiệu là M_ được xác định theo công thức (2.26) và

moment cua L theo truc Oy, kí hiệu là M, được xác định theo công

thức (2.28)

Bây giờ ta giả sử trọng tầm của đường cong có tọa độ là (xạ, Vạ)

Nếu cho rằng m là khối lượng của cả đường cong được phân bổ một

cách trù mật tại một điêm, là trọng tâm của đường cong, thì moment

của chât điêm trên có khôi lượng m tương ứng với trục Ox bang

20

my„ Mặt khác, đây cũng chính là moment M_ của cả đường cong tương ứng với trục Ôx, suy ra:

M, = MY >

từ đó:

M,

m

Một cách tương tự ta tính được:

My

m

ở đây khối lượng m của đường cong L chính bằng độ dài của đường cong đó:

m= | I+y(x) dx,

và trong trường hợp đường cong được cho dưới dạng tham số:

m= Í4jx@” + y(Œdt

Ta phát biểu được định lý sau:

Định lý 2.6.2 Trọng tâm của đường cong L, kí hiệu là MŒ,, yạ), được xác định theo công thức (2.30) — (2.31)

Chú ý: Nêu trong trường hợp khôi lượng phân bô dọc theo đường cong với hàm mật độ p(x) thì trong các công thức đôi với m,M.,M, dưới dấu tích phân ta thêm vào hàm p(x)

Từ công thức đối với tọa độ trọng tâm của đường cong ta nhận được hệ quả hình học có ý nghĩa sau đây: nêu ta nhân cả hai vê của đăng thức M_ =my, với 2z ta nhận được:

2mM , = 2amy,,

b

2n| y(x)J/1 + y(x)”dx = 2mmy,

Khi đó về trái của biểu thức nhận được chính là diện tích của bê

mặt tròn xoay, nhận được khi ta quay đường cong

Hay: