Một số dạng biểu diễn số nguyên dương

10 2 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng các số hạng của một cấp số cộng 15 2.1 Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Hà Huy Khoái

THÁI NGUYÊN - 2018

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiGS.TSKH Hà Huy Khoái , người đã định hướng chọn đề tài và tậntình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luậnvăn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các giảngviên giảng dạy lớp cao học K10 chuyên ngành Phương pháp Toán sơcấp nói riêng, các thầy, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên nói chung

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp

đã luôn quan tâm, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Anh

Mục lục

phương 3

1.2 Một số bài tập minh họa 9

1.2.1 Bài tập 1 9

1.2.2 Bài tập 2 9

1.2.3 Bài tập 3 9

1.3 Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng của nhiều hơn hai bình phương 10

2 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng các số hạng của một cấp số cộng 15 2.1 Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp 15

2.2 Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số nguyên dương liên tiếp 26

Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét "Mỗi số nguyên tố

lẻ bất kì mà đồng dư với 1 theo modulo 4 đều biểu diễn được dưới dạngtổng của 2 số chính phương" vào năm 1632 Fermat là người đầu tiênchứng minh và đưa ra thông báo trong lá thư gửi cho Marin Mersennenăm 1640

Cũng như Fermat, Lagrange là một nhà lý thuyết số kiệt xuất Trongnhững công trình của ông, có thể kể đến: chứng minh đầu tiên cho định

lý Wilson rằng n là một số nguyên tố khi và chỉ khi (n − 1)! ≡ −1(mod n); kiểm tra các điều kiện để ±2 và ±5 là thặng dư hoặc phithặng dư bình phương của một số nguyên tố lẻ (trường hợp −1 và ±3

đã từng được đề cập bởi Euler); tìm ra các nghiệm nguyên của phương

dẫn tới kết quả khẳng định rằng mỗi số nguyên tố p ≡ 3 (mod 8) đều

có dạng p = a2 + 2b2,

Mục tiêu của luận văn này là trình bày một số kết quả liên quan đếnnhững lĩnh vực nghiên cứu kể trên, cụ thể là bài toán về biểu diễn sốnguyên dương dưới dạng tổng các bình phương, và bài toán biểu diễn

số nguyên dương dưới dạng tổng các số hạng của một cấp số cộng

Chương 1

Một số kết quả kinh điển về bài

toán biểu diễn số nguyên dương

1.1 Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng của

Do tổng của bốn bình phương là cần thiết khi biểu diễn số 7, ta suy

ra ngay số cần tìm phải thoả mãn n ≥ 4 Vẫn còn một khả năng xảy

ra là một số nguyên nào đó chỉ có thể biểu diễn được dưới dạng tổngcủa nhiều hơn bốn bình phương Tuy nhiên, một định lý rất nổi tiếngcủa Lagrange được chứng minh vào năm 1770, khẳng định rằng n = 4

là đủ, nghĩa là: Mọi số nguyên dương có thể biểu diễn thành tổng của

Ta sẽ bắt đầu từ những trường hợp đơn giản Trước tiên ta hãy tìmđiều kiện cần và đủ để một số nguyên dương có thể biểu diễn được thànhtổng của hai bình phương Vấn đề này có thể được quy về xem xét các

số nguyên tố bằng bổ đề dưới đây

Bổ đề 1.1.1 Nếu m và n đều là tổng của hai bình phương thì tích m.ncũng vậy

Và trước khi chứng minh định lý Fermat thì ta đi chứng minh Bổ Đềsau:

Bổ đề 1.1.2 Với p là số nguyên tố và gcd(a, p) = 1 thì phương trình

Dirichlet thì tồn tại ít nhất hai phần tử của tập S đồng dư theo modulo

lại cũng bằng không, mâu thuẫn với giả thiết Do đó:

(

0 < |x0| ≤ (k − 1) < √p

0 < |y0| ≤ (k − 1) <√p

Bây giờ ta có thể chứng minh được định lý Fermat

Định lý 1.1.1 (Định lý Fermat) Một số nguyên tố lẻ p có thể biểu diễnđược dưới dạng tổng của hai bình phương khi và chỉ khi p ≡ 1(mod4)

thuyết đồng dư tuyến tính tồn tại một số c để bc ≡ 1 (mod p) Theo

Như vậy, (−1) là một thặng dư bình phương của p, và theo một kết quả

Điều ngược lại, giả sử p ≡ 1(mod4) Vì (−1) là một thặng dư bình

.Một trong những giá trị a thoả mãn là : a =

"

(p − 1)2

#

! Do (a, p) = 1

−x20 ≡ a2x20 ≡ (ax0)2 ≡ y02(modp)hoặc

Vậy định lí được chứng minh

Hệ quả 1.1.1 Số nguyên tố p bất kỳ có dạng 4k + 1 có thể biểu diễnduy nhất (không kể thứ tự của số hạng) thành tổng của hai bình phương

Ví dụ 1.3 Xét số nguyên tố p = 13 Số nguyên a tương ứng trongchứng minh định lý trên có thể lấy là a =

"

(p − 1)2

#

! = 6! = 720

Một nghiệm của phương trình đồng dư

720x ≡ y(mod13) hay 5x ≡ y(mod13)tìm được bằng cách xét tập hợp S = {5x − y|0 ≤ x, y < 4} Các phần

là số squarefree (số không có ước chính phương khác 1) Khi đó n cóthể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương khi và chỉ khi mkhông chứa thừa số nguyên tố dạng 4k + 3.

Chứng minh

• Giả sử m > 1

1 Điều kiện đủ: m > 1, ta phân tích m thành tích các thừa số nguyên

có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương Khi đó đồng nhấtthức

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2,

chỉ ra rằng, tích của hai (và theo quy nạp, tích của hữu hạn tuỳý) số nguyên, mà mỗi số biểu diễn được dưới dạng tổng hai bìnhphương, cũng biểu diễn được dưới dạng đó.

là tổng của hai bình phương

Giả sử p là một ước nguyên tố lẻ tuỳ ý của m (không mất tính tổngquát ta giả sử m > 1) Nếu d = gcd(a, p) thì a = rd và b = sd vớigcd(r, s) = 1 Ta được:

Do gcd(r, s) = 1 nên suy ra một trong các số r hoặc s, chẳng hạn

r, nguyên tố cùng nhau với p

Ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1.2 Một số nguyên dương n biểu diễn được dưới dạng tổngcủa hai bình phương khi và chỉ khi mỗi thừa số nguyên tố dạng 4k + 3xuất hiện với lũy thừa chẵn

a) Có giả thuyết nói rằng tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng p =

Tìm 5 số nguyên tố như vậy

61, 113, 181, 313

1.3 Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng của

nhiều hơn hai bình phương

Không phải mọi số nguyên dương đều có thể viết được dưới dạng tổngcủa hai bình phương, nhưng với tổng của ba bình phương thì sao? (ở

diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương nhưng ta lại có:

m, n là các số nguyên không âm) có thể biểu diễn được thành tổng của

Ví dụ 1.5 Không tồn tại a, b, c sao cho

7 = a2 + b2 + c2 hoặc 15 = a2 + b2 + c2

chuyển sang biểu diễn số nguyên dương qua tổng bốn bình phương.Năm 1621 Bachet đã đưa ra và kiểm nghiệm đến số 325 giả thuyếtnói rằng mọi số nguyên dương đều có thể viết được dưới dạng tổng của

công bố về tổng của bốn bình phương

Để thuận lợi ta chứng minh hai bổ đề sau

Bổ đề 1.3.1 Nếu các số nguyên m và n đều là tổng của bốn bình phươngthì tích m.n cũng biểu diễn được như vậy

Chứng minh

Giả sử tồn tại

(a1, a2, a3, a4)(b1, b2, b3, b4)sao cho:

(

m = a21 + a22 + a23 + a24

n = b21+ b22+ b23+ b24.Khi đó:

m.n = (a21 + a22 + a23 + a24)(b21 + b22 + b23 + b24)

= (a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4)2+ (a1b2 − a2b1+ a3b4 − a4b3)2

+ (a1b3 − a2b4 − a3b1 + a4b2)2 + (a1b4 + a2b3− a3b2 − a4b1)2

Bổ đề 1.3.2 Nếu p là một số nguyên tố lẻ, thì phương trình đồng dư

2Chứng minh

Tư tưởng chính của chứng minh là xét hai tập hợp sau:

Hiển nhiên, không có hai phần tử nào của tập S1 đồng dư theo modulo

Sử dụng hai bổ đề trên ta chứng minh định lý sau

Định lý 1.3.2 Mọi số nguyên tố p có thể viết thành tổng của bốn bìnhphương

Chứng minh

các số nguyên tố lẻ

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho kp là tổng của bốn bình

khi k = 1

Xét k chẵn suy ra x, y, w đều chẵn hoặc đều lẻ hoặc hai chẵn hai lẻ.Trong mọi trường hợp ta có thể giả sử:

x ≡ y(mod2) và z ≡ w(mod2)

này mâu thuẫn với k nhỏ nhất vậy k lẻ.

Với k lẻ ta đi chứng minh k = 1

Giả sử k ≥ 3, ta có thể chọn các số a, b, c, d sao cho:

a ≡ x(modk), b ≡ y(modk), c ≡ z(modk), d ≡ w(modk)

Khi n = 0 thì a = b = c = d = 0 Khi đó k là ước của các số x, y, z, w

Vì 0 < n < k nên suy ra n là giá trị nguyên dương nhỏ hơn k thỏamãn np biểu diễn được qua tổng của bốn bình phương Vậy k = 1.Tất cả những điều trên đưa ta đến một kết quả kinh điển của Lagrangesau:

Định lý 1.3.3 Mọi số nguyên dương n đều có thể viết thành tổng củabốn bình phương trong đó có thể có số 0

Chứng minh

Ta xét hai trường hợp của n như sau:

+)Với n > 1 ta phân tích n = p1p2p3 pr,với p1, p2, pr là các số

thành tổng của bốn bình phương, phép đồng nhất thức của Euler cho

ta biểu diễn tích của hai số nguyên tố bất kỳ thành tổng của bốn bìnhphương Bằng quy nạp mở rộng cho một số hữu hạn bất kỳ các thừa

số nguyên tố và áp dụng đồng nhất thức lần thì ta có n biểu diễn dướidạng tổng của bốn bình phương

Ví dụ 1.6 Viết số 459 thành tổng của bốn bình phương?

không có nghiệm nguyên

HD: Đưa phương trình về phương trình:

Chương 2

Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng các số hạng của một cấp số cộng

Một chuỗi dài về sự khám phá các khả năng biểu diễn của các số nguyêndương và nêu bật một số liên hệ cơ bản giữa tính nhân và tính cộng củachúng Đặc biệt chúng ta quan tâm đến việc biểu diễn của các số nguyêndương thành các chuỗi số học Loại đơn giản nhất là biểu diễn dưới dạngtổng các số lẻ dương liên tiếp hoặc tổng của các số chẵn dương liên tiếp,hay tổng của các số nguyên dương liên tiếp

Một thực tế lịch sử đã chứng minh rằng việc tạo ra các con số tự nhiên

từ các tiến bộ về số học và việc biểu thị chúng với các dạng hình họcluôn có nguồn gốc và hình thành từ lý thuyết số ban đầu Sự hình thànhcác số tam giác 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, và các số vuông 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5,

Và dưới đây là nội dung biểu diễn số nguyên dương dưới dạng cấp sốcộng

2.1 Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng

tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp

Cho a, a + 2, a + 4, , b là một cấp số cộng, với a, b là các số nguyên vàcông sai là 2

Khi đó, một số nguyên dương N bất kỳ khác có thể được biểu diễnbằng chuỗi:

a + (a + 2) + (a + 4) + + b

Nên N = r(r + a − 1), với r là số nguyên dương Mặt khác rõ ràngvới mọi số nguyên lớn hơn 1 luôn có thể viết thành tích của hai số bất

Nếu N là số nguyên tố, thì nó có một cặp duy nhất các ước bù nhau

tổng của các số lẻ liên tiếp, cũng không thể biểu diễn được thành tổngcủa các số chẵn liên tiếp

Nếu N là hợp số thì nó có ít nhất một ước d > 1 và như vậy N cóthể được biểu diễn thành ít nhất một trong những các tổng nói trên, vàđược phát biểu bằng các định lý sau:

Định lý 2.1.1 Số nguyên tố không thể biểu diễn được bằng tổng của các

số dương lẻ liên tiếp hoặc bằng tổng các số dương chẵn liên tiếp

Định lý 2.1.2 Mọi số nguyên dương N có ít nhất một ước d > 1 có thểbiểu diễn được thành một chuỗi số học của d số nguyên dương với công

vậy ta có hai hệ quả sau:

thì N có thể được biểu diễn dưới dạng một tổng của d số lẻ dương liêntiếp

N = d[d + 2(c − 1)] = [2(c − 1) + 1] + [2(c − 1) + 3] + + 2(c − 1) + 2d − 1]

(2.2)

Ví dụ 2.1 Số 120 được viết: 120 = 10.12 = 3 + 5 + + 21 (có 10 sốhạng)

Số 187 = 11.17 = 7 + 9 + 11 + + 27 (có 11 số hạng)

Mệnh đề 2.1.1 Mọi số chính phương N = d2 có thể được viết dướidạng tổng của d số dương lẻ đầu tiên:

dương Thì N có thể biểu diễn được dưới dạng một tổng d số chẵn liêntiếp:

là lẻ hoặc đều là chẵn Một câu hỏi đặt ra: Có hay không các số nguyên

tố riêng biệt, khi có một thứ tự của các cặp ước số bù nhau Do đó,chúng ta có mệnh đề sau đây:

Vì vậy đối với mỗi k chúng ta có:

Mỗi số hạng trong (2.5) là lẻ, do đó mỗi biểu diễn chuỗi của p(n+1) là

Do đó số hạng đầu tiên trong mỗi chuỗi là lớn hơn 2

Mệnh đề 2.1.3 (b) Mọi số nguyên tố được nâng lên một lũy thừachẵn có thể được viết thành một tổng các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu

p1 ≤ p2 ≤ p3 ≤ ≤ pk

Vì tất cả các ước số của số này là lẻ, hai ước bù nhau bất kỳ của

thành ít nhất một tổng của các số dương lẻ liên tiếp

Chúng ta minh họa Mệnh đề 2.1.4 bằng cách liệt kê trong bảng 3 tất

cả các biểu diễn chuỗi của các hợp số p1p2, (p1p2)2 và (p1p3)3 thành tổng

1 + 3 + 5 + 7 + + (2p1p2− 1) p 1 p 2

(p1p2) 3 (p 2 p 3 − p 1 + 1) + (p 2 p 3 − p 1 + 3) + + (p 2 p 3 + p1− 1) p 1

(p3p2− p 2 + 1) + (p3p2− p 2 + 3) + + (p3p2+ p 2 − 1) p1(p 1 p 3 − p 2 + 1) + (p 1 p 3 − p 2 + 3) + + (p 1 p 3 + p 2 − 1) p 2

Từ Định lý 2.1.2 rõ ràng nếu N là số nguyên tố thì (2.6) trở thành(2.5)

Với số mũ của N là số lẻ hay chẵn, chúng ta có các mệnh đề sau đây:

số lẻ lớn hơn 1 và n là số nguyên dương, mà có thể viết được thành mộttổng của các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1

Cho n −→ 2n, rõ ràng trong (2.6) 2k < 2n + 1 Do đó mỗi số hạng

số lẻ lớn hơn 1 và n là một số nguyên dương có thể viết thành tổng của

3, 5, 32, 3.5, 52, 33, 32.5, 3.52, 34, 53, 33.5, 32.52

và có thể biểu diễn được thành 12 tổng của các số lẻ dương liên tiếp.Các nhân tử nguyên tố của 15 không ghi vào hai trong số các tổng này

bắt đầu từ 1 (Mệnh đề 2.1.4’(b))

Do đó chúng tôi có được kết quả sau đây: Các hợp số dương lẻ và

diễn duy nhất được thành tổng của các số dương lẻ liên tiếp Nói cáchkhác, các tích của các số nguyên tố chẵn (lũy thừa của 2 lớn hơn 1) vàcác tích của các số nguyên tố lẻ, đều có thể biểu diễn duy nhất thànhtổng của các số dương lẻ liên tiếp

Và từ đó chúng ta có thể khẳng định được định lý sau:

Định lý 2.1.3 Tất cả những hợp số dương lẻ và tất cả những số chẵn

tổng của các số dương lẻ liên tiếp

Mặt khác, biểu diễn duy nhất thành tổng các số dương chẵn liên tiếp

là tất cả các số nguyên dương trong đó hiệu của bất kỳ hai ước số bùnhau của nó là lẻ (Hệ quả 1.2.1).Vì vậy, các ước số của những số nguyêndương này không thể là tất cả lẻ và không nhiều hơn một trong số chúng

có thể là chẵn Do đó, nhân tử nguyên tố của các số nguyên biểu diễnduy nhất thành tổng các số dương chẵn liên tiếp là số dương, phải gồmmột số nguyên tố chẵn duy nhất và một tích của các số nguyên tố lẻ

Do đó chúng ta có định lý sau:

Định lý 2.1.4 Các số chẵn dạng 2(2m + 1) với mỗi m là số nguyêndương biểu diễn được duy nhất thành tổng của các số dương chẵn liêntiếp

Theo Mệnh đề 2.1.2 thì một số có dạng 2(2m + 1) với một cặp ước bù

chẵn đầu tiên và ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.5 (a) Mỗi số nguyên có dạng 2(2m+1) mà m = k(4k−3)với k là một số nguyên dương, có thể viết được thành tổng của 4k − 2

số dương chẵn đầu tiên

số dương chẵn đầu tiên

Vì 2 là ước của tất cả các số có dạng 2(2m + 1), nên ta có mệnh đề:Mệnh đề 2.1.6 Mọi số có dạng 2(2m + 1), với m là một số nguyêndương, có thể viết được thành tổng của hai số dương chẵn liên tiếp.Hiển nhiên, tổng là 2m + 2(m + 1) Nếu m là số nguyên tố thì đây làbiểu diễn duy nhất.

Mệnh đề 2.1.6’ Mọi số có dạng 2p trong đó p là một số nguyên tố lẻ,

có thể biểu diễn được thành tổng của không quá hai số dương chẵn liêntiếp

Các số tự nhiên duy nhất mà các Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4 không áp

dương.Những số này bao gồm các ước số mà hợp của các cặp bù nhau,chúng tạo ra cả hai loại tổng: thành tổng các số dương lẻ liên tiếp cũngnhư tổng các số dương chẵn liên tiếp "Thành phần hỗn hợp" có thểviết như sau:

Định lý 2.1.5 Được biểu diễn thành tổng của các số dương lẻ liên tiếpcũng như tổng của các số dương chẵn liên tiếp là tất cả số chẵn có dạng:

2(n+1)(2m + 1)

trong đó m, n là những số nguyên dương

trong đó k là một số nguyên dương sao cho 2k < n + 1 Khi đó đối vớimỗi k các chuỗi kết quả bao gồm các số dương lẻ liên tiếp Một lớp khác

Trong cả hai trường hợp, chuỗi kết quả bao gồm các số dương chẵn liêntiếp

Theo Mệnh đề 2.1.5.a và Mệnh đề 2.1.5.b tổng của 4k − 2 hoặc 4k + 1

số dương chẵn đầu tiên mang số chẵn của dạng được mô tả bởi Định lý2.1.5 Vì không có lũy thừa của 2 nào có thể biểu diễn được dưới dạngmột tổng các số dương chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 (Mệnh đề 2.1.3.a)suy ra tổng của 4k hay 4k − 1 số dương chẵn đầu tiên phải sinh ra các

số chẵn có dạng được mô tả bởi Định lý 2.1.5 Do đó chúng ta có cácmệnh đề sau:

Do đó Mệnh đề 2.1.2 cho ta 4k(4k + 1) = 2 + 4 + 6 + + 8k và(4k − 1)4k = 2 + 4 + 6 + + 8k − 2