-1- MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… Mở đầu……………………………………………………………… Chương I Biểu diễn số hệ số đếm thập phân………… 1.1 Biểu diến số hệ số đếm thập phân…………………… 1.1.1 Khái niệm hệ đếm…………………………………… 1.1.2 Hệ đếm thập phân…………………………………… 1.1.3 Hàm S(n) 1.1.4 Mệnh đề 1.1.5 Hàm T(s) 1.2 Một số toán giải phương pháp biểu diễn số hệ số đếm thập phân Chương II Biểu diến số hệ đếm hệ thập phân … 2.1 Biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân… 2.1.1 Hệ đếm La mã ……………………………………… 2.1.2 Hệ đếm số 60…………………………………… 2.1.3 Hệ đếm số 5……………………………………… 2.1.4 Hệ đếm số 20…………………………………… 2.1.5 Hệ đếm số 12…………………………………… 2.1.6 Hệ đếm số 2……………………………………… 2.1.7 Hệ đếm số 8……………………………………… 2.1.8 Hệ đếm số 16…………………………………… 2.1.9 Hệ đếm số 24…………………………………… 2.1.10 Hệ đếm số 30…………………………………… 2.1.11 Hệ đếm số 3……………………………………… 2.1.12 Hệ đếm số 7…………… 2.2 Hệ đếm với số bất kì……………………………………… 2.2.1 Định nghĩa ……………………………………… 2.2.2 Định lý 1.…………………………………… 2.2.3 Định lý 2.2.4 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số 10 sang 19 19 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 21 22 22 22 23 23 hệ đếm số k 24 2.2.5 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số k sang hệ đếm số 10 25 2.2.6 Chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số sang 25 hệ đếm số …………………………………… 2.3 Một số toán giải phương pháp biểu diễn số hệ đếm thập phân………………………………… 26 -2- 2.4 Ứng dụng hệ đếm máy tính………………………… 30 2.4.1 Sử dụng máy tính để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số ………………… 30 2.4.2 Sử dụng phần mềm Maple để chuyển đổi biểu diễn số 2.5 Sử dụng lí thuyết hệ đếm để giải số toán thi quốc tế… Kết luận …………………………………………………………… Tài liệu tham khảo………………………………………………… 32 35 41 42 MỞ ĐẦU Như biết, hệ đếm lí thuyết tốn học xuất nhu cầu thực tiễn sống, hình thành phát triển với phát triển văn minh nhân loại Trong sống phải sử dụng hệ số 10 để tính Hệ đếm số 2, với hệ đếm số 10, số 8,…là sở làm việc máy tính Lí thuyết hệ đếm cịn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác tốn học: lí thuyết chia hết, tốn rời rạc, phương trình nghiệm ngun phương trình hàm, qui nạp tốn học, tốn trị chơi… Mặc dù hệ đếm đóng vai trò quan trọng sống ngày người, song kiến thức hệ đếm cịn quan tâm giảng dạy bậc học phổ thơng Vì vậy, phần lớn sử dụng thành thạo cơng cụ có ứng dụng hệ -3- đếm (máy tính, máy ảnh kỹ thuật số, máy nghe nhạc, điện thoại dy động…) lại khơng có kiến thức sơ đẳng hệ đếm Chẳng hạn, nhiều học sinh trung học phổ thơng biết sử dụng máy tính để thực hành phép tính (khơng phép tốn số học, mà phép toán phức tạp) họ gần hồn tồn khơng có hiểu biết chế thực tính tốn máy tính Những kiến thức hệ đếm cho ta nhìn nhận ứng dụng sâu sắc tốn học sống đại Chính vậy, chọn đề tài nghiên cứu là: “Biểu diễn số nguyên dương hệ số đếm khác ứng dụng” Đây mảng đề tài mà nhà trường phổ thơng cịn đề cập đến, nên việc tìm hiểu sâu, việc tìm kiếm tài liệu cịn gặp khó khăn, u cầu bồi dưỡng học sinh giỏi lại cần thiết Vì vậy, luận văn tác giả dùng công cụ biểu diễn số để giải số lớp tốn Luận văn trình bày hai chương, phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Biểu diễn số hệ số đếm thập phân Trong chương chúng tơi trình bày cách hệ thống kiến thức hệ thập phân; số tính chất hàm số số học S(n), T(n) liên quan đến biểu diễn số tự nhiên n tốn có sử dụng biểu diễn số hệ thập phân Chương Biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân Trong chương chúng tơi trình bày lí thuyết biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân; chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác; số cách giải toán dụng cách biểu diễn số hệ đếm thập phân; giới thiệu số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có ứng dụng hệ đếm; dùng máy tính để chuyển đổi biểu diễn số qua hệ đếm số khác -4- -5- CHƯƠNG BIỂU DIỄN SỐ TRONG HỆ CƠ SỐ ĐẾM THẬP PHÂN 1.1 Biễu diễn số hệ thập phân 1.1.1 Khái niệm hệ đếm Hệ đếm tập hợp kí hiệu qui tắc sử dụng kí hiệu để biểu diễn xác định giá trị số Mỗi hệ đếm có số kí số (digits) hữu hạn Tổng số kí số hệ đếm gọi số (base hay radix) Hệ đếm thập phân hệ đếm phổ biến 1.1.2 Hệ đếm thập phân Hệ thập phân (hay hệ đếm số 10) hệ đếm có 10 ký tự dùng số lượng Hệ đếm dùng rộng rãi giới Nguồn gốc bắt nguồn từ cấu sinh học người, người có 10 ngón tay Hệ thập phân phát minh người Ảrập cổ, bao gồm 10 kí số theo kí hiệu sau: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Qui tắc tính giá trị hệ đếm đơn vị hàng có giá trị 10 đơn vị hàng kế cận bên phải Số nguyên dương hệ thập phân viết tổng chuỗi kí số thập phân 10 lũy thừa Trong số mũ lũy thừa tăng thêm đơn vị kể từ số mũ lũy thừa phía bên phải Số mũ lũy thừa hàng đơn vị hệ thập phân Ví dụ: Số 5246 thể sau: 5246 =5 103 +2.102 +4.101 +6.100 Như vậy, số 5246 có: Kí số số nguyên đại diện cho giá trị đơn vị Kí số số nguyên đại diện cho giá trị chục Kí số số nguyên đại diện cho giá trị trăm -6- Kí số số nguyên đại diện cho giá trị ngàn Nghĩa là: số lũy thừa 10 tăng dần từ phải sang trái tương ứng với vị trí kí hiệu số Mỗi kí số vị trí khác số có giá trị khác ta gọi giá trị vị trí 1.1.3 Hàm S(n) Cho n số nguyên dương Ta gọi chữ số tổng (viết hệ thập phân) Sau vài tính chất đơn giản hàm ây vài tính chất vài tính chất đơn giản hàm ơn giản hàm 1.1.4 Mệnh vài tính chất đơn giản hàm ề Cho m, n số nguyên dương, ta có: 1) S (n) n(mod9) 2)  S (n) n 3) S (n) n  n 9 4) S (m  n) S (m)  S (n) 5) S (mn) S (m)S (n) Chứng minh: 1) Giả sử hệ thập phân n có biểu diễn: (ak ak   a1a0 ) vài tính chất đơn giản hàm ó: n ak 10k  ak  110k     a110  a0 , S (n) ak  ak     a1  a0 k k1 Do vài tính chất đơn giản hàm ó: n  S (n) ak (10  1)  ak  (10  1)    a1 (10  1) i i Bởi 10  9(10    10  1) chia hết cho n  S (n) chia hết cho hay S ( n) n(mod9) 2) Do n > nên ak > , từ vài tính chất đơn giản hàm ó S (n) ak  ak     a1  a0  Ngoài ra: S (n) ak  ak     a1  a0 ak 10k  ak  110k     a110  a0 n 3) Ta có theo 2) S (n) n , S ( n) n  ak ak   a1 0  n a0   0,1, ,9 -7- 4) Giả sử hệ thập phân, n m có biểu diễn: ( ak ak   a1a0 ) ; (bs bs  b1b0 ) Khơng tính tổng qt, giả sử n m hay k s , vài tính chất đơn giản hàm ó ta viết: n  m ak 10k  ak  110k     (as  bs )10 s    (a1  b1 )10  (a0  b0 ) Nếu a0  b0 chữ số thập phân c0 a0  b0 số hạng vài tính chất đơn giản hàm ầu tiên n + m Trong trường hợp ngược lại, tồn chữ số thập phân c0 cho a0  b0 10  c0 , vài tính chất đơn giản hàm ó trường hợp ta có: n  m ak 10k  ak  110k     (as  bs )10s    (a1  b1  1)10  c0 Lý luận tương tự vài tính chất đơn giản hàm ối với ký số cịn lại, ta có: S ( n)  S (m) (ak  ak     a1  a0 )  (bs  bs     b1  b0 ) ak    as 1  (as  bs )    (a1  b1 )  (a0  b0 ) ak    as 1  (as  bs )    (a1  b1  1)  c0  S ( n  m) 5) Giả sử hệ thập phân, n m có biểu diễn: (ak ak   a1 a0 ) ; (bs bs  b1b0 ) Khi vài tính chất đơn giản hàm ó: nm n(bk 10k  bk  110k     b110  b0 ) nbk 10k  nbk  110k     nb110  nb0 Do vài tính chất đơn giản hàm ó: -8- S (nm) S (nbk 10k  nbk  110 k     nb110  nb0 ) S (nbk 10k )  S (nbk  110 k  )    S (nb110)  S (nb0 ) S (nbk )  S (nbk  )    S (nb1 )  S (nb0 ) bk bk  b1 b0 1 1  S ( n)   S ( n)     S ( n)   S ( n) bk S (n)  bk  S (n)    b1 S (n)  b0 S (n) S (n)(bk  bk     b1  b0 ) S (n) S (m) Như vậy, mệnh vài tính chất đơn giản hàm ề 1.1.4 vài tính chất đơn giản hàm ược hoàn toàn chứng minh ■ 1.1.5 Hàm T(n) Cho số nguyên dương Từ ta tạo thành số cách xố vài lần (ít lần) chữ số tận bên phải Khi ta gọi số gốc số Đặt tổng tất gốc 1.2 Một số toán giải phương pháp biểu diễn số hệ số đếm thập phân Bài toán 1: Cho số tự nhiên n k thoả mãn điều kiện: với số thập phân (hữu hạn hay vơ hạn) a  b 10, có chữ số kề a i  i 1,2,3,  a i , a i 1 Chứng minh: Giả sử n ab k 0, a1 , a , a , n khác Khi đó, hai chữ số thập phân k 0, a1 , a , a , n a i 0  i 1, 2, 3, Ta có: n ab 10a  b 1010  b   b 100  9b (1) Giả sử trái lại điều khẳng định tốn khơng đúng, tức tồn hai chữ số thập phân kề nhau Chỉ có hai khả xảy ra: 1) Nếu a1 a c  Khi đó: -9- 100k cc, a3 a n (2) Từ ta có (do c  ): 100k 11cn 11c  1 n 11c   11c   k  n 100 100 (3) Từ (1) suy ra: 11cn 11c100  9b  100c 11  b   bc (4) Do đó: 11c  1 n 100c11  b   bc  100  9b 100c 11  b   100  b  c  suy ra: 11c  1 n 100c11  b   100, b, c 9 (5) Thay (4) (5) vào (2) ta có: c11  b   Do 0 bc 1 100 (6) bc k  c11  b   100 nên từ (6) suy điều vơ lí k số nguyên dương nên nằm đoạn bc    c11  b   100 ; c11  b   1 Vậy suy mâu thuẫn, tức 2) Nếu tồn chữ số i 1 mà có độ dài nhỏ a1  a a i a i 1 Khi ta có: k 10 i  a1 a  , ai 1 n (7) Đặt h k 10 i   na1 a a i  , h  0, h 1 h 0, a i 1 n Áp dụng kết phần 1) suy với số tự nhiên a i  a i 1 Như trường hợp giả thiết phản chứng sai ■ -10- Bài toán 2: Xác định tất số nguyên dương n cho n viết hệ thập phân, n lớn tổng bình phương chữ số đơn vị Giải: Giả sử hệ thập phân n có biểu diễn dạng sau: n a k a k  a1 a , nguyên ai 9, j 1, k Như vậy: n a  10a1  10 a  10 k  a k   10 k a k (1) Theo giả thiết ta có:  a02  a12   a k2  a k2 a0  10a1  10 a   10 k a k (2) suy ra:  a0  a0  1  a1  a1  10   a  a  100    a k  a k  10 k  0 hay: a1  a1  10  a  a  100  a k a k  10 k    a  a0  1 Do a 9 (3) nên   a  a0  1   9.8  73 Như từ (3) suy ra: (4) Do ai 9 i 1, k , nên ta có: a1  a1  10   9a1 Từ (5) suy (5) a a3 a  a k 0 Thật vậy, a j 0 ta có: (6) a j  10 j 9  10 j 9  102  91 Vì a a3 a  a k 0 khơng xảy vế trái (4)  91 Điều mâu thuẫn với (5) Như từ (3) đến: (7) a1  a1  10   a  a0  1  a  a0  1  a1 10  a1  Cho a nhận giá trị từ đến vế trái (7) nhận giá trị tương ứng 1, 0, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73 Tương tự cho a1 giá trị từ đến vế trái (7) nhận giá trị tương ứng 0, 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, 16, 9, Từ đó: a  a0  1  a1 10  a1  21, a1 7 Vậy n 35 n 75 a 5 a1 3 ... biểu diễn số hệ thập phân Chương Biểu diễn số hệ đếm ngồi hệ thập phân Trong chương chúng tơi trình bày lí thuyết biểu diễn số hệ đếm hệ thập phân; chuyển đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm. .. đếm số khác; số cách giải toán dụng cách biểu diễn số hệ đếm thập phân; giới thiệu số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có ứng dụng hệ đếm; dùng máy tính để chuyển đổi biểu diễn số qua hệ đếm. .. giá trị số Mỗi hệ đếm có số kí số (digits) hữu hạn Tổng số kí số hệ đếm gọi số (base hay radix) Hệ đếm thập phân hệ đếm phổ biến 1.1.2 Hệ đếm thập phân Hệ thập phân (hay hệ đếm số 10) hệ đếm có