Một số bài tập minh họa
Bài tập 1
Biểu diễn các số nguyên tố113; 229; 373thành tổng của hai bình phương. Hướng dẫn:
Bài tập 2
a) Có giả thuyết nói rằng tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng p n 2 + (n+ 1) 2 với số nguyên n nào đó, ví dụ: 5 = 1 2 + 2 2 ; 13 = 2 2 + 3 2 Tìm 5 số nguyên tố như vậy.
Hướng dẫn: 41 = 4 2 + 5 2 và một số số có tính chất tương tự như là:
61,113,181,313. b) Một giả thuyết khác là có vô số số nguyên tố p dạng p = 2 2 +p 2 1 , với p 1 là số nguyên tố Hãy tìm 5 số nguyên tố như vậy
Bài tập 3
Tìm một số nguyên dương có ít nhất ba cách biểu diễn khác nhau thành tổng của hai bình phương, không tính dấu và thứ tự số hạng.
Hướng dẫn: Chọn số nguyên có 3 thừa số nguyên tố phân biệt dạng4k+ 1.
Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng của nhiều hơn
nhiều hơn hai bình phương
Không phải mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương, nhưng điều này có thể khác với tổng của ba bình phương, bao gồm cả số 0 Ví dụ, các số như 14, 33 và 67 không thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương, nhưng chúng có thể được biểu diễn bằng tổng của ba bình phương.
Có những số nguyên dương không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba bình phương Cụ thể, theo Định lý 1.3.1, không có số nguyên dương nào có dạng 4n (8m + 7) (với m, n là các số nguyên không âm) có khả năng được biểu diễn thành tổng của ba bình phương.
Số nguyên có dạng 8m + 7 không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba bình phương Để chứng minh điều này, ta xét rằng với mọi số nguyên a, bình phương của nó a² sẽ có ba trường hợp: a² ≡ 0, 1 hoặc 4 (mod 8).
Suy ra a 2 +b 2 + c 2 ≡ 0,1,2,3,4,5 hoặc 6(mod8), với a, b, c bất kì Vì 8m+ 7 ≡ 7(mod8) nên đẳng thức a 2 +b 2 +c 2 = 8m+ 7 là không thể xảy ra.
Tiếp theo ta giả sử
4 n (8m+ 7) =a 2 +b 2 +c 2 (1.1) với n ≥ 1 Khi đó mỗi số nguyên a, b, c đều chẵn. Đặt
Nếu n − 1 ≥ 1, chúng ta tiếp tục lập luận cho đến khi chứng minh rằng 8m + 7 có thể biểu diễn thành tổng của ba bình phương, điều này mâu thuẫn với (1.1) Do đó, định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1.5 Không tồn tại a, b, c sao cho
Tuy nhiên 7 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 Vậy vấn đề thay đổi đáng kể khi ta chuyển sang biểu diễn số nguyên dương qua tổng bốn bình phương.
Vào năm 1621, Bachet đã đề xuất và kiểm nghiệm 325 giả thuyết về việc mọi số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương, bao gồm cả 0^2 Đến năm 1772, Lagrange đã hoàn thiện và công bố lý thuyết về tổng của bốn bình phương Để tiến hành chứng minh, chúng ta sẽ cần hai bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.1 Nếu các số nguyênm vàn đều là tổng của bốn bình phương thì tích m.n cũng biểu diễn được như vậy.
Bổ đề 1.3.2 Nếu p là một số nguyên tố lẻ, thì phương trình đồng dư x 2 +y 2 + 1 ≡ 0(modp) có nghiệm x 0 , y 0 trong đó 0 ≤ x 0 ≤ p−1
Tư tưởng chính của chứng minh là xét hai tập hợp sau:
Hiển nhiên, không có hai phần tử nào của tập S1 đồng dư theo modulo p Thật vậy, nếu 1 +x 2 1 ≡ 1 +x 2 2 (modp) thì x1 ≡ x2(modp) hoặc x 1 ≡ −x 2 (modp).
Trong trường hợp 0 < x1 + x2 < p (trừ khi x1 = x2 = 0), ta có x1 ≡ x2 (mod p), dẫn đến x1 = x2 Tương tự, có thể chứng minh rằng trong tập S2 không tồn tại hai phần tử phân biệt đồng dư theo modulo p Do đó, tồn tại một số nguyên trong S1 đồng dư theo modulo p với một số nguyên trong S2, tức là tồn tại x0, y0 sao cho.
Ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.1 Cho một số nguyên tố lẻ p, tồn tại một số nguyên k < p sao cho kp là tổng của bốn bình phương.
Theo định lý đã được chứng minh, ta có thể tìm được các số nguyên x 0 , y 0 với
2 sao cho x 2 0 +y 2 0 + 1 2 + 0 2 = kp với k chọn thích hợp Từ điều kiện về độ lớn của x 0 , y 0 suy ra rằng kp= x 2 0 +y 0 2 + 1 2 < p 2
Sử dụng hai bổ đề trên ta chứng minh định lý sau. Định lý 1.3.2 Mọi số nguyên tố p có thể viết thành tổng của bốn bình phương.
Với p = 2, định lý đúng vì 2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 Như vậy ta chỉ cần xét các số nguyên tố lẻ.
Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho kp là tổng của bốn bình phương, tức là: kp = x 2 +y 2 +z 2 +w 2 và mấu chốt của luận cứ này là khi k = 1.
Xét k chẵn suy ra x, y, w đều chẵn hoặc đều lẻ hoặc hai chẵn hai lẻ. Trong mọi trường hợp ta có thể giả sử: x≡ y(mod2) và z ≡ w(mod2).
2 đều là các số nguyên và kp
2 ) 2 là một cách biểu diễn của k
2p thành tổng của bốn bình phương Điều này mâu thuẫn với k nhỏ nhất vậy k lẻ.
Với k lẻ ta đi chứng minh k = 1.
Giả sử k ≥ 3, ta có thể chọn các số a, b, c, d sao cho: a≡ x(modk), b ≡ y(modk), c ≡ z(modk), d ≡ w(modk) và
Ta có: a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =x 2 +y 2 +z 2 +w 2 ≡ 0(modk), suy ra a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = nk.
Với giá trị n nguyên không âm ta có:
Khi n = 0, các giá trị a, b, c, d đều bằng 0, dẫn đến k trở thành ước của các số x, y, z, w Trong trường hợp này, điều kiện k^2 | kp hoặc k | p không xảy ra Với điều kiện 1 < k < p và nk < k^2, ta suy ra rằng 0 < n < k Hơn nữa, k^2 np = (kp)(kn) = (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = r^2 + s^2 + t^2 + u^2, trong đó r, s, t, u được định nghĩa như sau: r = xa + yb + zc + wd, s = xb − ya + zd − wc, t = xc − yd − za + wb, và u = xd + yc − zb − wa.
Nhận thấy r = xa+yb+zc+wd≡ (a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) ≡ 0 (mod k) và s, t, u cũng vậy đều chia hết cho k nên suy ra np r k
Theo định lý 1.3.3 của Lagrange, mọi số nguyên dương n (với điều kiện 0 < n < k) đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương, trong đó có thể bao gồm số 0 Do đó, ta có k = 1.
Ta xét hai trường hợp của n như sau:
Đối với n > 1, ta có thể phân tích n thành tích của các số nguyên tố p1, p2, , pr Theo một định lý đã được chứng minh, mỗi số nguyên tố pi có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương Sử dụng đồng nhất thức của Euler, ta có thể biểu diễn tích của hai số nguyên tố bất kỳ thành tổng của bốn bình phương Bằng cách áp dụng quy nạp mở rộng cho một số hữu hạn các thừa số nguyên tố và sử dụng đồng nhất thức, ta có thể khẳng định rằng n cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương.
Ví dụ 1.6 Viết số 459 thành tổng của bốn bình phương?
Ta có 459 = 3 3 17 Dùng phép đồng nhất thức Euler thì:
Ví dụ 1.7 Chứng minh rằng phương trình a 2 +b 2 +c 2 +a+b+c = 1 không có nghiệm nguyên.
HD: Đưa phương trình về phương trình:
Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng các số hạng của một cấp số cộng
Bài viết khám phá khả năng biểu diễn của các số nguyên dương, nhấn mạnh mối liên hệ giữa phép nhân và phép cộng Chúng ta đặc biệt tập trung vào việc biểu diễn các số nguyên dương dưới dạng chuỗi số học Hai loại biểu diễn đơn giản nhất là tổng của các số lẻ dương liên tiếp và tổng của các số chẵn dương liên tiếp, cũng như tổng của các số nguyên dương liên tiếp.
Lịch sử cho thấy rằng sự phát triển của các con số tự nhiên và cách biểu diễn chúng qua hình học bắt nguồn từ lý thuyết số Các số tam giác được hình thành từ chuỗi 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, trong khi các số vuông được tạo ra từ chuỗi 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5.
Và dưới đây là nội dung biểu diễn số nguyên dương dưới dạng cấp số cộng.
Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp
tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp
Cho a, a+ 2, a+ 4, , b là một cấp số cộng, với a, b là các số nguyên và công sai là 2.
Khi đó, một số nguyên dương N bất kỳ khác có thể được biểu diễn bằng chuỗi: a+ (a+ 2) + (a+ 4) + +b.
Nên N = r(r + a − 1), với r là số nguyên dương Mọi số nguyên lớn hơn 1 có thể viết thành tích của hai số bất kỳ trong số ước bù nhau của nó, tức là N = d.d0, với d là một trong các ước của N Từ đó, ta có d.d0 = r(r + a − 1), và vì a ≥ 1 nên r + a − 1 ≥ r, dẫn đến d = r và d0 = r + a − 1 ≥ d Số hạng đầu tiên của chuỗi số là a = d0 − d + 1 và số hạng cuối cùng là b = d0 + d − 1 Nếu N là số nguyên tố, thì nó chỉ có một cặp duy nhất các ước bù nhau d = 1, d0 = N, do đó a = b = N, và N không thể biểu diễn thành tổng của các số lẻ hoặc chẵn liên tiếp.
Nếu N là hợp số, nó sẽ có ít nhất một ước d > 1, cho phép N được biểu diễn dưới dạng tổng của các số Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng số nguyên tố không thể được biểu diễn bằng tổng của các số dương lẻ hoặc dương chẵn liên tiếp Theo Định lý 2.1.2, mọi số nguyên dương N có ít nhất một ước d > 1 có thể được biểu diễn thành một chuỗi số học của d số nguyên dương với công sai là 2, với mỗi cặp ước bù 1 < d ≤ d 0.
Nếu \( d_0 - d \) là số chẵn, tổng (2.1) sẽ bao gồm \( d \) số dương lẻ liên tiếp Ngược lại, nếu \( d_0 - d \) là số lẻ, tổng này sẽ bao gồm \( d \) số chẵn dương liên tiếp Như vậy, chúng ta có hai hệ quả quan trọng.
Hệ quả 2.1.1 Nếu hai ước bù nhau bất kỳd, d 0 của một số nguyên dương
N có hiệu là số chẵn d 0 −d = 2(c− 1), với c là một số nguyên dương, thì N có thể được biểu diễn dưới dạng một tổng của d số lẻ dương liên tiếp.
Ví dụ 2.1 Số 120 được viết: 120 = 10.12 = 3 + 5 + + 21 (có 10 số hạng).
Số 187 = 11.17 = 7 + 9 + 11 + + 27 (có 11 số hạng). Đặc biệt Khi d = d 0 (c = 1), ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.1 Mọi số chính phương N = d 2 có thể được viết dưới dạng tổng của d số dương lẻ đầu tiên:
Số Tổng Số các số hạng
Hệ quả 2.1.2 Nếu bất kỳ hai ước bù nhaud, d 0 của một số nguyên dương
N có hiệu là một số lẻ, tức là d 0 − d = 2c− 1 với c là một số nguyên dương Thì N có thể biểu diễn được dưới dạng một tổng d số chẵn liên tiếp:
198 = 11.18 = 8 + 10 + 12 + + 28 (có 11 số hạng). Đặc biệt d 0 = d+ 1,(c = 1) ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.2 Mọi số nguyên dương có dạng N = d(d+ 1) có thể viết dưới dạng tổng của d số chẵn dương đầu tiên: Lấy
Với d = 2,3,4, ,9, Định lý 2.1.2 chỉ ra các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số dương lẻ hoặc chẵn liên tiếp Hai hệ quả từ định lý này giúp xác định cấu trúc phân tích nhân tử của các số, cho phép nhận biết xem tất cả các số hạng trong chuỗi biểu diễn là lẻ hay chẵn Một câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại các số nguyên nào khác không.
Số Tổng Số các số hạng
Bảng 2 dương có thể được biểu diễn duy nhất thành tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp Để giải thích điều này, chúng ta sẽ chỉ ra một số gợi ý áp dụng cho các dạng số đặc biệt Bắt đầu với các biểu diễn chuỗi của lũy thừa các số nguyên tố riêng biệt, ta xem xét thứ tự của các cặp ước số bù nhau Do đó, chúng ta có thể đưa ra mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.1.3 Các số có dạng p (n+1) , trong đó p là số nguyên tố bất kỳ và n là một số nguyên dương, có thể được biểu diễn duy nhất thành n+ 1
2 tổng của p k các số dương lẻ liên tiếp, trong đó k 1,2, , n+ 1
, với bxc là kí hiệu cho số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Vì vậy đối với mỗi k chúng ta có: p (n+1) = (p (n−k+1) −p k + 1) + (p (n−k+1) −p k + 3) + + (p (n−k+1) +p k −1)
2 4 = 7 + 9 (2 số hạng) hay 2 4 = 1 + 3 + 5 + 7 (2 2 số hạng);
3 5 = 79 + 81 + 83 (3 số hạng) hay 3 5 = 19 + 21 + 23 + + 35 (3 2 số hạng).
Các trường hợp cụ thể của Mệnh đề 2.1.3.
Mệnh đề 2.1.3 (a) khẳng định rằng không có số nguyên tố nào khi nâng lên lũy thừa lẻ có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, hoặc dưới dạng tổng các số dương chẵn bắt đầu từ 2.
Mỗi số hạng trong (2.5) là lẻ, do đó mỗi biểu diễn chuỗi của p (n+1) là một chuỗi lẻ Hơn nữa, nếu n + 1 là lẻ thì 2k(n+ 1) và p (n−k+1) > p k
Do đó số hạng đầu tiên trong mỗi chuỗi là lớn hơn 2.
Mệnh đề 2.1.3 (b) Mọi số nguyên tố được nâng lên một lũy thừa chẵn có thể được viết thành một tổng các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Và tiếp theo ta tìm hiểu về biểu diễn chuỗi của các hợp số Đối với trường hợp các số lẻ ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.4 Mỗi hợp số dương lẻ có thể biểu diễn được thành tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Xét một hợp số dương lẻ có dạng nguyên tố p1, p2, , pk Trong đó p1, p2, , pk là các số nguyên tố lẻ, không nhất thiết phân biệt sao cho: p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ ≤ p k
Tất cả các ước số của số này đều là lẻ, và hai ước bù nhau bất kỳ d, d 0 khác nhau một số chẵn đơn vị, do đó tất cả các số hạng trong biểu diễn chuỗi (2.1) đều là lẻ Hơn nữa, trong số các cặp d, d 0 có ít nhất một cặp thỏa mãn điều kiện 1 < d ≤ d 0 Vì vậy, các hợp số lẻ có thể được biểu diễn thành ít nhất một tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Mệnh đề 2.1.4 được minh họa qua bảng 3, trong đó liệt kê tất cả các biểu diễn chuỗi của các hợp số p1p2, (p1p2)² và (p1p3)³ thành tổng của các số nguyên dương lẻ liên tiếp, với p1 và p2 là các số nguyên lẻ bất kỳ sao cho p1 < p2 Đặc biệt, biểu diễn chuỗi của số (p1p2)², bao gồm p1p2 số hạng, cũng có thể được viết lại theo một cách khác.
N 2 = 1 + 3 + 5 + + (2N −1), với N = p 1 p 2 Tương tự biểu diễn chuỗi số của (p 1 p 2 ) 3 trong đó bao gồm p 1 p 2 số hạng, cũng có thể viết thành:
Các biểu diễn chuỗi của hợp số lẻ khi nâng lên lũy thừa lớn hơn 1 không bị ảnh hưởng bởi dạng phân tích thừa số nguyên tố của chúng Quan sát này gợi nhớ đến một mệnh đề quan trọng trong toán học.
Mệnh đề 2.1.4’ Số có dạng N (n+1) trong đó N là số lẻ lớn hơn 1 và n là một số nguyên dương, có thể được biểu diễn không duy nhất thành n+ 1
2 tổng củaN k số dương lẻ liên tiếp Như vậy đối vớik = 1,2,3, ,
Số Tổng Số các số hạng p 1 p 2 (p 2 − p 1 + 1) + (p 2 − p 1 + 3) + + (p 2 − p 1 − 1) p 1
(2.6) Các số có dạng N (n+1) trong đó N là số lẻ, luôn luôn có thể tách thành nhân tử d = N k , d 0 = N (n−k+1) với 2k ≤ n+ 1 Do đó ta suy ra (2.6).
Từ Định lý 2.1.2 rõ ràng nếu N là số nguyên tố thì (2.6) trở thành (2.5).
Với số mũ của N là số lẻ hay chẵn, chúng ta có các mệnh đề sau đây:
Không tồn tại số nào có dạng N (2n+1), với N là số lẻ lớn hơn 1 và n là số nguyên dương, có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Cho n −→ 2n, rõ ràng trong (2.6) 2k < 2n + 1 Do đó mỗi số hạng trong các biểu diễn chuỗi N (2n+1) lớn hơn 1.
Mệnh đề 2.1.4’ (b) Mọi số hạng có dạng N 2n , trong đó N là một số lẻ lớn hơn 1 và n là một số nguyên dương có thể viết thành tổng của
N n các số dương lẻ đầu tiên.
Ví dụ 2.4 Số 15 4 có 12 ước d như vậy 1 < d ≤ d 0
Số 15 có thể được biểu diễn thành 12 tổng của các số lẻ dương liên tiếp, với các nhân tử nguyên tố không ghi vào hai trong số các tổng này (d = 3.5, 3 2 5 2) Đối với d = 3 2 5 2, số 15 4 có thể viết thành tổng của 15 2 số lẻ dương đầu tiên (theo Mệnh đề 2.1.4’(a)) Đồng thời, số 15 5 cũng có thể được biểu diễn bởi hai tổng không phụ thuộc và nhân tử nguyên tố của nó, nhưng không có tổng nào bắt đầu từ 1 (Mệnh đề 2.1.4’(b)).
Kết quả cho thấy rằng các hợp số dương lẻ và số chẵn có dạng 2(n+1), với n là một số nguyên dương, có thể được biểu diễn duy nhất thành tổng của các số dương lẻ liên tiếp Điều này có nghĩa là các tích của các số nguyên tố chẵn (lũy thừa của 2 lớn hơn 1) và các tích của các số nguyên tố lẻ đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Từ định lý 2.1.3, chúng ta khẳng định rằng mọi hợp số dương lẻ và tất cả các số chẵn đều có thể được biểu diễn dưới dạng 2(n+1), trong đó n là một số nguyên dương Điều này cho thấy rằng các số này có thể được tạo thành từ tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Biểu diễn duy nhất của các số nguyên dương thành tổng các số dương chẵn liên tiếp yêu cầu rằng hiệu của bất kỳ hai ước số bù nhau là lẻ Do đó, các ước số của những số này không thể hoàn toàn là số lẻ và chỉ có một ước số chẵn Như vậy, nhân tử nguyên tố của các số này phải bao gồm một số nguyên tố chẵn duy nhất và một tích của các số nguyên tố lẻ.
Theo định lý 2.1.4, các số chẵn có dạng 2(2m + 1) với m là số nguyên dương có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của các số dương chẵn liên tiếp.
Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số nguyên dương liên tiếp
tổng các số nguyên dương liên tiếp
Cho a, a+ 1, a+ 2, , b là một chuỗi của r số nguyên dương liên tiếp. Khi đó, một số nguyên dương N bất kỳ có thể biểu diễn được thành chuỗi a+ (a+ 1) + (a+ 2) + +b nếu N = 1
Mặt khác, N luôn có thể được viết thành N = d.d 0 , trong đó d, d 0 là ước của N Do đó chúng ta có:
Vì a > 1 nên r(2a+ 1) > r Hơn nữa vì r và r+ 2a−1 có tính chẵn lẻ khác nhau, nên có ít nhất một trong các ước d, d 0 phải lẻ.
Với d = 1, r = 2 và d₀ = 2a + 1 phải là số lẻ, ta có định lý 2.2.1, khẳng định rằng không tồn tại số nào có dạng 2^(n−1) với n là số nguyên dương, có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên dương liên tiếp.
Mệnh đề 2.2.1 (a) Mọi số dương lẻ đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên dương liên tiếp.
Mệnh đề 2.2.1 (b) khẳng định rằng tất cả các số nguyên tố lẻ có thể được biểu diễn như tổng của hai số nguyên dương liên tiếp Cụ thể, với mỗi số nguyên tố lẻ p, có thể viết p = p - 1.
2 đối với bất kỳ cặp các ước bù nhau cho trước d và d 0 của một số tự nhiên N trong đó d là số lẻ d > 1 có thể xảy ra d < 2d 0 hoặc d > 2d 0
Nếu d < 2d 0 thì r = d và r+ 2a−1 = 2d 0 từ đó suy ra
2 Nếu d > 2d 0 thì r = 2d 0 và r+ 2a−1 = d từ đó suy ra
Định lý 2.2.2 khẳng định rằng mỗi số tự nhiên N đều có ít nhất một ước lẻ d lớn hơn 1, có khả năng được biểu diễn dưới dạng tổng của các số nguyên liên tiếp.
Như vậy đối với mỗi ước lẻ d > 1 của N = d.d 0 , N được viết như sau:
Với N = p[d = p, d 0 = 1], Định lý 2.2.2 quy về Mệnh đề 2.2.1 và các chuỗi (2.7), (2.8) tương ứng bao gồm d và 2d số nguyên dương.
Và số hạng đầu tiên trong biểu diễn chuổi của N là 1 Và chúng ta có các phát biểu sau:
Hệ quả 2.2.1 Mỗi số tự nhiên có dạng n(n+ 1)
2 , có thể biểu diễn thành tổng của n số nguyên dương đầu tiên. n(n+ 1)
2 = 1 + 2 + 3 + +n (2.9) Bảng 8 biểu thị các số như vậy. n Số Tổng
Theo Định lý 2.2.2, mọi số tự nhiên không có dạng 2^(n−1) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số nguyên dương liên tiếp Định lý 2.2.1 cung cấp điều kiện cần thiết để có được tất cả các biểu diễn này cho bất kỳ số tự nhiên nào.
Mỗi số tự nhiên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số lẻ hoặc chẵn liên tiếp Định lý 2.2.2 được chia thành ba phần, trong đó phần (a) khẳng định rằng tất cả các số chẵn có dạng 2n(2m+1) với điều kiện 2m+1 < 2(n+1) đều có thể biểu diễn độc lập như tổng của một số lẻ các số nguyên dương liên tiếp, với m và n là các số nguyên dương.
Một số tự nhiên N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số lẻ các số nguyên dương liên tiếp nếu thỏa mãn điều kiện d < 2d0 với mọi cặp ước bù nhau d, d0 và d lẻ d > 1 Điều này chỉ áp dụng cho N chẵn, và các tích của tất cả các thừa số nguyên tố lẻ của N phải nhỏ hơn hai lần tích của tất cả các thừa số nguyên tố chẵn Khi phân tích N thành thừa số nguyên tố theo dạng 2^n = p1p2 pl, với n là số nguyên dương và p1p2 pl < 2.2^n, ta thấy rằng các tích bất kỳ của các số nguyên tố này sẽ nhỏ hơn 2^(n+1), từ đó suy ra tất cả các biểu diễn chuỗi của N.
Với mọi ước lẻ d > 1 sao cho d < 2d 0
Một minh họa được liệt kê trong bảng 9. m n ≥ N = 2 n (2m + 1) Tổng Số các số hạng
Biểu diễn chuỗi của các số chẵn thấp nhất có thứ tự (nhỏ nhất n) cho m = 1,2,3, ,10.
Tất cả các biểu diễn chuỗi có thể của số N = 2^n (2m + 1) chỉ phụ thuộc vào số ước nhân tử 2m + 1 Đặc biệt, khi m là số nguyên tố, thì sự biểu diễn N theo dạng này là duy nhất.
Số chẵn có thể được biểu diễn dưới dạng 2^n * p, với n là số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ bất kỳ, đồng thời p phải nhỏ hơn 2^(n+1) Điều này cho thấy rằng số chẵn này có thể được phân tích thành tổng của p số nguyên dương liên tiếp.
Và (2.9) trở thành tổng của p các số nguyên dương đầu tiên Do đó chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.2 (b) chỉ ra rằng, với các số N = 2^n p, trong đó N là số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ bất kỳ, nếu p + 1 = 2^(n + 1), thì N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của p số nguyên dương đầu tiên.
Trong bảng 10 chúng tôi liệt kê 5 số đầu tiên và số biểu diễn của chúng. n N = 2 (n+1) − 1 N = 2 n p Tổng
Dễ dàng thấy số N = 2 n p của Mệnh đề 2.2.2.a là đúng, tức là chúng đều bằng tổng của các ước số riêng.
Thật vậy tổng này là:
Công thức (1 + 2 + 2^2 + + 2^n)(p + 1) - N = (2^(n+1) - 1)2^(n+1) - N = 2N - N = N cho thấy rằng N = 2^n.p với p < 2^(n+1) - 1 là số thừa, tức là nó nhỏ hơn tổng số các ước số riêng của nó Cụ thể, tổng này trở thành N + (2^(n+1) - p - 1) > N, cho thấy rằng N là số thừa.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét chuỗi số 2n(2m+1), với điều kiện (2m+1) không phải là số nguyên tố và 2m+1 < 2n Mục tiêu là tìm ra số lượng lớn nhất của cặp ước bù nhau d = 2m+1, trong đó d0 = 2n Qua đó, chúng ta đưa ra một mệnh đề quan trọng liên quan đến các số này.
Mệnh đề 2.2.3 (a) Mọi số hạng 2 n (2m+ 1), với 2m + 1 < 2 (n+1) và m, n là các số nguyên dương có thể được viết thành tổng của 2m+ 1 số nguyên dương liên tiếp như sau:
Rõ ràng Mệnh đề 2.2.3(a) quy về Mệnh đề 2.2.2(a) nếu 2m + 1 là số nguyên tố, số hạng đầu tiên trong (2.10) bằng 1 với m = 2 n − 1 do đó ta có:
Mệnh đề 2.2.3(b) chỉ ra rằng mọi số có dạng \(2^n (2^{n+1} - 1)\) là số nguyên dương có thể biểu diễn thành tổng của \(2^{n+1} - 1\) số nguyên dương đầu tiên Nếu \(2^{n+1} - 1\) là số nguyên tố, mệnh đề này trở về mệnh đề 2.2.2(b) Bảng 11 liệt kê 5 số đầu tiên có dạng \(2^n (2^{n+1} - 1)\) với \(2^{n+1} - 1\) là hợp số, đồng thời cung cấp biểu diễn của chúng thành tổng của các số nguyên dương liên tiếp.
Bảng 11 Định lý 2.2.2 (b) chỉ ra rằng số chẵn của các số nguyên dương liên tiếp có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng 2(n−1) p, với n là số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ bất kỳ thỏa mãn p > 2n.
Một số tự nhiên N có thể được biểu diễn thành tổng của một số chẵn các số nguyên dương liên tiếp nếu tồn tại các cặp ước bù d, d0, với d > 2d0, trong đó d > 1 và lẻ Phân tích N thành thừa số nguyên tố theo dạng 2^m p1p2 pl, với m, l là các số nguyên dương và p1, p2, , pl là các số nguyên tố lẻ Nếu l = 1, thì N chứa một thừa số nguyên tố lẻ Trong trường hợp l = 2, N sẽ có dạng 2^m.p1p2, dẫn đến hai cặp ước bổ sung d = p1, d0 = 2^m.p2 và d = p2, d0 = 2^m.p1, đều thỏa mãn các điều kiện đã nêu.
Không thể xảy ra trường hợp N = 2m.p với p > 2m+1 Mọi số nguyên tố lẻ có thể biểu diễn thành tổng của hai số nguyên dương liên tiếp, do đó m cũng có thể bằng không Tất cả các số có thể biểu diễn thành tổng của một số chẵn các số nguyên dương liên tiếp phải có dạng 2n−1.p, với p > 2n Các số này chỉ có một ước lẻ duy nhất, dẫn đến một biểu diễn tỏng chẵn duy nhất Minh họa cho Định lý 2.2.2(b) có thể thấy trong bảng 12, liệt kê các số thứ tự thấp nhất tương ứng với số nguyên tố nhỏ nhất vượt quá 2n.
Với p = 2 n + 1 (2.11) trở thành tổng của p− 1 số nguyên dương đầu tiên, do đó chúng tôi có thể phát biểu mệnh đề sau: