TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:1... TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
(x + +x 1)dx
2 1
e
x x
2
3
1
2
x− dx
2
1
1
x+ dx
∫
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
π
π
1
0
(e x+x dx)
6
1
3 0
(x +x x dx)
∫ 7
2
1
( x+1)(x− x+1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
1
2 0
(e x+ +x 1)dx
10
2
1
(x +x x+ x dx)
2
1
( x−1)(x+ x+1)dx
12.
3
3
1
x 1 dx
−
+
2
2
2 -1
x.dx
x +
∫
14
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
x 2
5
2
dx
x 2 + + −
∫
16
2
2 1
x 1 dx
ln
+ +
2 3
3 6
x dx x
cos sin
π
π
∫
18 4
2 0
tgx dx x
cos
π
1 x x
0
−
−
− +
∫
20
0
e dx
.
− +
2
2 1
dx 4x + 8x
∫
22
3
0
dx
ln
.
− +
0
dx
1 sin x
π +
∫
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3
sin xcos xdx
π
π
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
∫ 3 4
0
tgxdx
π
∫
Trang 24
4
6
cot gxdx
π
π
∫ 5 6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6
1
2 0
1
x x + dx
∫ 7
1
2 0
1
x −x dx
8
1
3 2
0
1
x x + dx
∫ 9
3
x dx
x +
∫
10
1
0
1
x −x dx
∫ 11
2 3 1
1
1dx
x x +
∫
12
1
2 0
1
1+x dx
∫ 13
1 2 1
1
−∫ + +
14
1
2 0
1
1dx
x +
∫ 15
1
2 2 0
1 (1 3 )+ x dx
∫
16
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 17
2
4
sin
cosx
π
π
18 2
1
2 0
x
e + xdx
∫ 19
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
20
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 21
2
4
sin
cosx
π
π
1
2 0
x
e + xdx
2
3
sin xcos xdx
π
π
24
2
3
sin xcos xdx
π
π
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
26 4
0
tgxdx
π
∫ 27
4
6
cot gxdx
π
π
28 6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
1 2 0
1
x x + dx
∫
30
1
2 0
1
x −x dx
∫ 31
1
3 2 0
1
x x + dx
∫
32
3
x dx
x +
1
0
1
x −x dx
∫
34
2
3 1
1
1dx
x x +
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
Trang 336
1
sin(ln )
e
x dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
+
∫
38
2ln 1
1
e e x
dx x
+
∫ 39
1 ln ln
e
e
x dx
x x
+
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos + x
2
x dx x
∫
42
1
x dx
x+
1
0
1
x x+ dx
∫
44
1
0
1
x+ + x
1
0
1
x+ − x
∫
46
3
1
1
x dx x
+
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
47
1
sin(ln )
e
x dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
+
∫
49
2ln 1
1
e e x
dx x
+
∫ 50
1 ln ln
e
e
x dx
x x
+
51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos + x
1
2 3
0
5
+
∫ x x dx
53 2 ( 4 )
0
sin + 1 cos
π
54
4
2
0
4 x dx −
∫
55
4
2
0
4 x dx −
1
2
0 1
dx x
+
∫
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d =u x v x − v x u x dx
Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv
@ Da ̣ng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
β α
∫
cos
∫
Trang 4@ Da ̣ng 2: f x( ) ln( )ax dx
β α
∫
Đă ̣t ln( )
dx du
dv f x dx v f x dx
=
=
@ Da ̣ng 3: sin
∫ ax ax
cosax
β
α
Ví du ̣ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0 ( 1)
x
x e
dx
x+
2
2
x
u x e
dx dv
x
=
=
b/
3 8
4 3
2 ( 1)
x dx
x −
5 3
4 3
u x
x dx dv
x
=
=
c/
1 2
1
+ −
Tính I1
1 2
01
dx x
= +
∫ bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
1 2
2 2
0(1 )
x dx x
+
∫ bằng phương pháp từng phần : đă ̣t
2 2
u x
x
x
=
=
Bài tập
1
3 3 1
ln
e
x dx x
1 ln
e
∫
3
1
2
0
ln( 1)
1 ln
e
∫
5
3 3 1
ln
dx x
1 ln
e
∫
7
1
2
0
ln( 1)
1 ln
e
∫
9 2
0
( x c osx)s inx dx
π
+
1
1 ( ) ln
e
x
+
∫
11
2
2
1
ln( x + x dx )
3
2
4
tan
π
π
∫
13
2
5 1
ln x dx x
∫ 14
2
0
cos
π
∫
Trang 515
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
π
∫
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫5 − −+
3
1
x x
x
a
dx b x a
x )( ) (
1
3 ∫1 ++ +
0
3
1
1dx
x
x x
x
x x
∫1 +++
0 2 3
1 1
0
3 2
) 1 3
x
0
2
2 ( 3 ) )
2 (
x x
7 ∫2 −+
1
2008
2008 ) 1
(
1
dx x
x
x
8 ∫
+ +
−
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
2
2 2
4 ) 1 (x dx
x
10 ∫1 + −
0
2
3 2
) 1 ( x dx
x
n n
1
2 4 2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12 ∫2 +
1
4) 1 (
1
dx x x
13 ∫2 +
0
2
4
1
dx
x 14 ∫1 +
0 4
1 x dx x
x x
∫2 − +
0
1
16 ∫1 +
0
3
2 ) 1 ( x dx x
2
2
3 2
1
dx x x
x 18 ∫3 −+ ++
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19 ∫2 +−
1
4 2 1
1
dx x
x
20 ∫1 +
0 3
1
1 dx
x
0
6
4 5 6
1
2dx
x
x x x
22 ∫1 +−
0 2 4
1
x x
23
∫1 ++
0
6
4
1
1
dx x
1
2 0
x
dx
+
∫
25
1
2
dx
x + + x
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
Trang 61 2 x 4 xdx
0
2 cos
sin
∫
π
2 ∫2
0
3
2 cos sin
π
xdx x
0
5
4 cos
sin
π
0
3
3 cos ) (sin
π
dx x
0
4
(sin
2
cos
π
dx x x
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
π
dx x x
x x
7 ∫2
3
sin
1
π
π
dx
0
4 4 10
(sin
π
dx x x x
x
9 ∫2 −
0 2 cos
π
x
0 2 sin 1
π
dx x
11 ∫2 +
0
2
3
cos
1
sin
π
dx x
x 12 ∫3
6
4 cos sin
π
dx
0
2
2 2sin cos cos
sin
π
x x
x x
dx 14 ∫2 +
01 cos cos
π
dx x x
15 ∫2 −
0 2 cos
cos
π
dx x
x 16 ∫2 +
0 2 sin sin
π
dx x x
17 ∫2 +
0
3
cos
1
cos
π
dx x
x 18 ∫2 + +
0 sin cos 1
1
π
dx x x
19 ∫2 −
3
2 ) cos
1
(
cos
π
xdx
20 ∫
+
−
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
21 ∫4
0
3
π
xdx
tg 22. ∫4 g x dx
6
3 cot
π
π
23 ∫3
4
4
π
π
xdx
tg 24 ∫4 +
01 1
π
dx tgx
25 ∫
+
4
4 cos(
cos
π
π
x x
dx
0 4sin 5cos 5
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
27 2∫π +
0
sin
0 2sin 3cos 13
π
x x
dx
Trang 729 ∫4 +
0
4
3
cos
1
sin
4
π
dx x
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
31 ∫2 +
01 cos
3
sin
π
dx x
4
sin 2
sin
π
dx
33 ∫4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
π
dx x x
35 ∫π
0
sin
4
3
sin
sin sin
π
π
dx xtgx
x x
01 sin cos
π
x x
0 2sin 1
π
x dx
39 ∫2
4
5
3 sin
cos
π
π
xdx
0
2 cos 1
4 sin π
x xdx
05sin 3
π
x
6
4 cos sin
π
dx
43 ∫
+
3
6 sin(
sin
π
dx
4 ∫
+
3
4 cos(
sin
π
dx
45 ∫3
4
6
2
cos
sin
π
xdx
46 tgxtg x )dx
6 ( 3
6
π π
π
0
3 ) cos (sin
sin
4
π
x x
0
2
2 ) sin 2 (
2 sin
x
49 ∫2
0
3
sin
π
dx
0
2cos
π
xdx x
0
1 2
2
sin
π
dx e
x
x x
∫2 ++
01 cos
sin 1 π
53 ∫4 +
6
2 cot
4 sin
3
sin
π
π
dx x g tgx
x x
0
2 5sin 6 sin
2 sin π
x x
xdx
55 ∫2
1
)
6
2
cos
) ln(sin
π π
dx x x
Trang 857 ∫2 x− x dx
0
2 cos ) 1 2 (
π
58 π∫
0
2
cos sinx xdx x
59 ∫4
0
2
π
xdx
61 ∫2
0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
0
) 1
ln(
π
dx tgx
0
2 ) cos 2 (sin
π
x x
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x x
65
2
2
sin 2 sin 7
π
π
66
2
0
π
67
0
4sin
dx x
π
68
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
∫b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [ π
∈
+) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t = n
d cx
b ax
+ + +) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2+βx+γ
1
Với (αx2 + βx+ γ)’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ , hoặc đặt t = ax1+b
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = a tgt, t ]
2
; 2 [−π π
∈
+) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
cos , t }
2 {
\]
;0 [ π π
∈
+) R (n 1 n 2 n i )
x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
Trang 91 2∫3 +
5 x x2 4
dx
2 ∫2 −
3
2 x x2 1
dx
3 ∫
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4 ∫2 +
1 x x3 1
dx
5 ∫2 +
1
2 2008dx
1 x2 2008
dx
1
0
2
2 1 x dx
1
0
3
2 ) 1 ( x dx
9 ∫3 ++
1 2 2
2
1
1
dx x
x
x
10 ∫2 −+
2
0 1
1
dx x x
11 ∫1 +
0 ( 1 x2)3
dx
12 ∫2 −
2
0 ( 1 x2)3
dx
13 ∫1 +
0
2
2
2
1 x
dx x
15 ∫2 +
0 7 cos2
cos π
x
0
2 cos cos
sin
π
dx x x
x
17 ∫2 +
0 2 cos2
cos π
x
xdx 18 ∫2 + +
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x x
19 ∫7 +
0 3 2
3
1 x
dx x
20 ∫3 −
0
2
3 10 x dx x
21 ∫1 +
0 2x 1
xdx
22 ∫1 + +
3
1
x x
dx x
23 ∫7 + +
2 2x 1 1
dx
24 ∫1x + x dx
0
8
15 1 3
25
∫2 −
0
5
61 cos3 sin cos
π
xdx x
∫3 +
ln
0 e x 1
dx
27 ∫
1
1 1 x x2 1
dx
28 ln∫2 +
0
2
1
x
x
e
dx e
29 ∫1 − −
4
5
2 8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
31 ∫3 ++
3 5
1 x dx
x x
32 ∫4 x − x +x dx
0
2
3 2
33 −∫0 + +
1
3
(e x dx
x x 34 lnln∫32 lnln2 +1dx
x x x
Trang 1035 ∫3 +
0
2 2 cos
3 2 cos
2 cos π
dx x
tgx x
x
36 ln∫2 +
0 ( x 1 )3
x
e
dx e
37 ∫3 +
0 2 cos2
cos π
x
xdx 38 ∫2 +
0 1 cos2 cos π
x xdx
x
x
∫7 ++
0 3 3
2
40 ∫a x +a dx
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
∫
−
a
a
a
dx x f x f dx
x
f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- ;32
2
3π π ] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2 cos 2
Tính: ∫
−
2 3
2 3 ) (
π
π
dx x f
+) Tính −∫1 ++
1
2
4 1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a
a
dx x
f( ) = 0.
Ví dụ: Tính: −∫1 + +
1
2) 1 ln(x x dx ∫
−
+ +
2
2
2) 1 ln(
cos π
π
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a
a
dx x
f( ) = 2
∫a f x dx
0
)
(
Ví dụ: Tính ∫
1
1
2
x
dx
2
2
cos
4 sin
−
+
−
dx x
π
π
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ =∫
+
−
a a
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) (
(1 ≠ b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
+
3
3
2
2 1
1dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin π
π
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π], thì
∫
0
2
0
) (cos )
(sin
π π
dx x f x f
Trang 11Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009 cos sin
sin
π
dx x x
x
∫2 +
0 sin cos
sin
π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π =π ∫π
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
Ví dụ: Tính ∫π +
0 1 sinx dx
x
∫ +
π
0 2 cos
sin
dx x
x x
Bài toán 6: ∫ + − =∫b
a
b
a
dx x f dx x b a
f( ) ( ) ⇒ ∫b f b−x dx =∫b f x dx
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính ∫π +
0
2
cos 1
sin dx
x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a∫+T =∫T
a
dx x f dx x f
0
) ( )
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008∫π −
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
1 ∫
−
1
1
2
2 1
1 x dx
−
+
− +
−
4
4
4
3 5 7 cos
1 π
π
dx x
x x x x
3 ∫
1
1
2) 1 )(
1
dx
− −
+
2
2
2 sin 4 cos π
π
dx x
x x
5 ∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
x 6. sin(sin x nx) dx
2
0
7 ∫
2
2
5
cos 1
sin
π
π
dx x
x
cot
= +
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−
−
3
3
2 1dx
0
2 4x 3dx x
3 ∫2 −
0
2 x dx
0
dx m x
− 2
2 sin
π
π
dx x
5 ∫
−
−
π
π
dx x
sin
6
2
π
π
dx x g x
tg
Trang 127 ∫4
3
4
2 sin
π
π
dx
0
cos
1 x dx
9 ∫
−
−
− +
5
2
) 2 2
3
0
4
2x dx
11 ∫
−
−
3
2
3 cos cos
cos π
π
dx x x
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY