Đề ôn HK I Toán 12 số 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. a>0 a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.. b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.. Vẽ hìn

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán Lớp 12

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

* * *

Câu 1: (4,0 điểm)

2

x y x

-=

- có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M song song

với đường thẳng ( )d : y=- 4x+1.

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) log 3(x- 1)- log3(x- 1)=0

b) 2x+1+3.2x- 2³ 11

Câu 3: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi xÎ -[ 1;3] , ta có 6£ x4- 2x2+ £7 70.

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh đáy bằng a,

cạnh bên bằng 3

2

a (a>0)

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a (Vẽ hình)

Hết

-Lưu ý: Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên: SBD:

Giám thị 1: ……… Giám thị 2: ………

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM : Toán Lớp 12

m

1

• Đạo hàm

( )2

1

0 2

y x

• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ;2 , 2;) ( +¥ ) 0,25

• Giới hạn, tiệm cận

®+¥ = ®- ¥ = Đồ thị có tiệm cận ngang y=1.

- lim2 ; lim2

-® = +¥ ® =- ¥ Đồ thị có tiệm cận đứng x=2.

0,25 0,25

• Bảng biến thiên

- ¥ ||

+¥

1

1,0

• Đồ thị

0,75

• Gọi m là hoành độ của điểm M.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: ( )

( )2

1 2

y m

m

- , (m¹ 2) 0,25

• Vì tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng ( )d : y=- 4x+1 nên

ta có

2 2

4

m

-1 2

2

m

2

m= hoặc 3

2

m=

0,25`

• Với 3

2

m= ta có 3

1 2

yæöç =-ç ÷çè ø÷÷ Ta được điểm 3

; 1 2

Mæ ö÷

ç - ÷

0,5

Với 5

2

m= ta có 5

3 2

yæö÷

ç =÷

ç ÷

çè ø Ta được điểm M 52;3

æ ö÷

çè ø

• Điều kiện xác định : x- > Û1 0 x>1 0,25

• Ta có log 3(x- 1)- log3(x- 1)=0

2log x 1 log x 1 0

• Û - = Ûx 1 1 x=2 (thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Phương trình có một nghiệm x=2 0,5

• 2x+1+3.2x-2³ 11 2.2 3.2 11

4

11

4

0,5

• Û x³ 2

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình [2;+¥ ) 0,5

• Xét hàm số y= f x( )=x4- 2x2+7 trên đoạn [- 1;3], ta có

- f x¢ =( ) 4x x( 2- 1)

- f x¢ = Û =( ) 0 x 0;x= ±1 (thuộc đoạn [- 1;3])

0,25

• Ta có f( )± =1 6;f ( )0 =7; f ( )3 =70

Kết luận [ ] ( ) ( )

1;3

max f x f 3 70

1;3

min f x f 1 6

• Suy ra: Với mọi xÎ -[ 1;3], ta có 6£ f x( )=x4- 2x2+ £7 70 0,5

• SO là đường cao của hình chóp (tính chất của hình chóp đều) 0,25

SO =SA - AO = - =

2

a SO

• Thể tích khối chóp S.ABCD

3 2

a a

• Gọi H là trung điểm của SA Kẻ đường trung trực của cạnh SA trong

mặt phẳng (SAO) cắt đường thẳng SO tại I.

- Mặt khác I Î SO nên w cách đều 4 điểm A, B, C, D, tức là

0,5

• Từ (1) và (2) suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 0,25

• Bán kính mặt cầu:

- Hai tam giác vuông SHI và SOA đồng dạng (vì có chung gócS$) nên

ta có :

IS SA

SA= SO Þ = SO

2

a

a

• Vậy, bán kính mặt cầu 3

4

a

r=IS =

0,5

0,25

• Hình vẽ: Vì 2

a a

SO= < =OA nên I ở ngoài đoạn SO.

H

D

S

w

0,5

I