PHÒNG GD ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) PHẦN KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN (16 điểm) Bài 1: (5,0 điểm) Cho hệ phương trình: () a, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên. c, Chứng minh rằng điểm (với là nghiệm của hệ phương trình ()) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. d, Tìm giá trị của m để biểu thức có giá trị lớn nhất ( với là nghiệm của hệ phương trình ()). Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 2: (2,0 điểm) Cho . Chứng minh rằng Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở E và F. Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH. Chứng minh rằng A là trung điểm của GH. Bài 4: (2,0 điểm) Một học sinh giải bài toán “ Tìm các giá trị của m để phương trình () có hai nghiệm thỏa mãn ” như sau: Phương trình () có hai nghiệm khi . . Vậy phương trình () có hai nghiệm: . Do đó: . Vậy có duy nhất giá trị thỏa mãn điều kiện đầu bài. Theo đồng chí bài giải trên của học sinh giải đúng chưa? Vì sao? Nếu bài giải của học sinh sai, đồng chí hãy giải lại bài toán trên. Bài 5: ( 4,0 điểm) a, Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn thì và đều là số chính phương. b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Trang 1PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
PHẦN KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN (16 điểm)
Bài 1: (5,0 điểm)
Cho hệ phương trình: − = +mx y x my− =12m m (*)
a, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b, Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
c, Chứng minh rằng điểm M x y( ; ) (với (x y; ) là nghiệm của hệ phương trình (*)) luôn nằm trên một đường thẳng cố định
d, Tìm giá trị của m để biểu thức P xy= có giá trị lớn nhất ( với (x y; ) là nghiệm của
hệ phương trình (*)) Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho a b c, , > 0 Chứng minh rằng 1 1 1 4 1 1 1
Bài 3: ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân đỉnh A Từ một điểm D trên đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở E và F Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH Chứng minh rằng A là trung điểm của GH.
Bài 4: (2,0 điểm)
Một học sinh giải bài toán “ Tìm các giá trị của m để phương trình
2
2x + 2m− 1 x m+ − = 1 0 (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 3x1 − 4x2 = 11” như sau:
Phương trình (*) có hai nghiệm khi ∆ ≥ 0
2m 1 8 m 1 4m 12m 9 2m 3 0
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm: 1 2
33
8
m= thỏa mãn điều kiện đầu bài Theo đồng chí bài giải trên của học sinh giải đúng
chưa? Vì sao? Nếu bài giải của học sinh sai, đồng chí hãy giải lại bài toán trên
Bài 5: ( 4,0 điểm)
a, Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + =m 4n2 +n thì m n−
và 4m+ 4n+ 1 đều là số chính phương
b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
19x + 28y = 729.
Hết
Trang 2PHÒNG GD & ĐT ĐÁP ÁN
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
1
5 đ
a
1 đ
Nếu m=0 thì HPT có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;0) 0,5 Nếu m≠ 0 thì HPT có nghiệm duy nhất
2
1
1
m
m
−
−
0,5
b
2,0
Từ PT (1) ta có: y=mx-2m Thế vào PT (2) :
(m2 − 1)x=(2m+ 1) (m− 1) 0,5 Nếu m=1 thì PT có nghiệm nguyên là = −x Z y x∈ 2
Nếu 1 2 1;
0,25 0,25
Để HPT có nghiệm nguyên , ta tách các giá trị nguyên trong các biểu thức của x và y:
0,25
Để x và y nguyên thì m+ ∈ 1 U( )1 ⇔ + ∈ −m 1 { 1;1} ⇔ ∈m {0; 2 − } 0,25
- Nếu m=0, thì HPT có nghiệm (x;y)=(1;0) 0,25
- Nếu m=-2, thì HPT có nghiệm (x;y)=(3;-2) 0,25 c
1 đ
Nếu m=1 ta có y=x-2 cố định
0,25
0,25
Đường thẳng y=-x+1 và y=x-2 là đường thẳng cố định. 0,5 d
2
P xy
2 2
2
0,5
Dấu bằng xảy ra khi 1 3 1
+
0,25 Vậy GTLN của P=1/4 khi và chỉ khi m=-1/3 0,25
2
2 đ
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
3
Chứng minh tương tự, ta có: 3 1 42 ;3 1 42
b c+ ≥ b c c a+ ≥ c a
0,5
Trang 30,5
3
3 đ
1 2 1
1
K
I
B
A
Gọi I, K là tâm các HCN BDEG và CDFH, ta có µB1 =Cµ1 0,25
HCN BDEG có IB=ID ⇒ ∆IBD cân đỉnh I µB1 =D¶1 0,5
Tương tự D¶2 =Cµ1 ⇒Bµ1 =D¶2 0,25
/ / ; / /
IA DK ID AK
Mà GI=ID, do đó GI=AK, GI//AK nên IGAK là HBH 0,5
Chứng minh tương tự ta có AH//IK và AH=IK 0,25
Do đó G,A,H thẳng hàng và GA=AH suy ra A là trung điểm của
GH
0,25
4
2 đ Sai lầm thứ nhất: Lời giải cho rằng
Lẽ ra, theo đề bài x x1 , 2 là bình đẳng có thể hoán vị cho nhau và thiếu ( )2
2m− 3
0,5
Sai lầm thứ hai: Lời giải cho rằng: ( )2
2m 3 2m 3
∆ = − = − Lẽ ra phải là: ( )2
2m 3 2m 3
Cách giải đúng như sau: Phân tích đa thức vế trái của PT (*), ta
được các nghiệm của PT là: -1/2 và 1-m
0,5
Suy ra
1 2
1
2
2
m
m
m m
0,25 Vậy m=33/8; m=-2 là các giá trị cần tìm 0.25
Trang 44 đ
a
2 đ
Ta có
3m + =m 4n + ⇔n 4 m −n + m n− =m ⇔ m n− 4m+ 4n+ = 1 m
(*)
0,5
Gọi d là UCLN của m-n và 4m+4n+1 thì (4m+4n+1)+4(m-n) Md
8m 1 d
Từ (*) ta có 2 2
Vậy m-n và 4m+4n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương
0,25
b
2 đ
Ta có
19x + 28y = 729 ⇔ 18x + 27y + x +y = 729 ⇒x +y M 3 ⇒x y; 3 M 0,5 Đặt x=3u, y=3v ( ) 2 2
Lập luận tương tự u= 3 ,s v= ⇒ 3t 19s2 + 28t2 = 9 0,5
Do s, t không đồng thời bằng 0 và 19s2 + 28t2 ≥ 19 9 > 0,25
Từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm 0,25