Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT M

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT

MÔN: TOÁN

Tác giả: Lê Thị Thu Hương Tổ: Toán - Tin

Năm: 2020 - 2021 Điện thoại: 0941 05 4567

Năm học: 2020 - 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT

MÔN: TOÁN

Năm học: 2020 - 2021

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Đóng góp của đề tài 2

PHẦN 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

2.1 Cơ sở lý luận 3

2.1.1 Cấp số cộng 3

2.1.2 Cấp số nhân 3

2.1.3 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: 3

2.1.4 Một số công thức lượng giác thường dùng trong giải toán liên quan dãy số 3

2.2 Thực trạng vấn đề giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 4

2.3 Một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 4

2.3.1 Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) 4

2.3.2 Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học 32

2.3.3 Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 39

PHẦN III KẾT LUẬN 44

3.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 44

3.2 Kiến nghị 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

1

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong giai đoạn hiện nay, để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Người giáo viên phải có kiến thức đa dạng, xác định được những vấn đề cần đổi mới, nắm vững kĩ năng truyền đạt kiến thức, chủ động và có sáng kiến Từ đó, làm cho học sinh biết tự học, tự vận dụng, biết hợp tác và chia sẻ, học cách thức đi tới sự hiểu biết, coi trọng sự khám phá và khai thác trong học thuật…

Thực tiễn dạy học chương trình Đại số và Giải tích 11 cho thấy, chủ đề dãy

số là một chủ đề trừu tượng, hơn nữa các bài toán về dãy số là một nội dung gần như không thể thiếu trong các đề thi học sinh giỏi Toán THPT Khi gặp các bài toán này, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm ra cách giải của chúng, đặc biệt là bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa, ở một số lớp bài toán liên quan đến dãy số, khi đã xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số thì bài toán gần như được giải quyết Đứng trước tình hình

đó, người giáo viên phải nắm vững kiến thức và kĩ năng cần truyền đạt đến học sinh để thiết kế dẫn dắt học sinh đi từ dễ đến khó, từ ít đến nhiều Giáo viên xác định việc dạy cách học, học cách học hoặc hướng vào người học là để phát huy tính tích cực chủ động của người học, hỗ trợ người học tìm chọn và xử lí thông tin một cách linh hoạt và sáng tạo Vì thế, để đổi mới phương pháp giảng dạy có hiệu quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới Vị trí của giáo viên không phải được xác định bằng sự độc quyền về thông tin và trí thức

có tính đẳng cấp, mà bằng những phẩm chất, trí tuệ và sự từng trải của mình trong quá trình dẫn dắt học sinh tự học Vì các lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu:

“Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt”

Nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời góp phần nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm của bản thân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số dạng toán về dãy số có công thức truy hồi đặc biệt,

từ đó trang bị cho các em học sinh khá, giỏi các kĩ năng cơ bản để tìm công thức số

2

hạng tổng quát của dãy số trong chương trình môn toán THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và các tài liệu tham khảo liên quan

Chú trọng các phương pháp dạy học trên cơ sở phương pháp khoa học: phương pháp tái hiện, phương pháp tư duy, phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,…

Định hướng cho học sinh tìm ra cách giải quyết bài toán nhằm phát huy khả năng quan sát, khả năng vận dụng kiến thức, tái hiện kiến thức và kết hợp kiến thức liên quan trong quá trình giải toán

1.5 Đóng góp của đề tài

Đề tài đã tổng hợp một số kỹ năng cơ bản trong việc tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua các phương pháp sau :

- Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ)

- Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học

- Phương pháp tổng hợp

- Thông qua việc định hướng các phương pháp giải, giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng phân tích, biến đổi công thức truy hồi dạng đặc biệt của dãy số, kĩ năng đặt ẩn phụ, kĩ năng sử dụng công thức lượng giác đưa dãy số đã cho về dãy

số đặc biệt đã có cách tìm ra công thức số hạng tổng quát, kĩ năng dự đoán công thức số hạng tổng quát, kĩ năng chứng minh công thức số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học đã có cách tìm ra công thức số hạng tổng quát…

n n

- Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos 

4

cos2 2cos2   1 1 2sin2

- Công thức nhân ba

sin3 3sin 4sin3

cos3 4cos3 3cos

2.2 Thực trạng vấn đề giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

Chủ đề dãy số là một chủ đề đóng vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống Trong chương trình toán THPT, các bài toán thường gặp về dãy số là các bài toán như: giới hạn, số hạng tổng quát, tính đơn điệu, bị chặn,… Trong đó bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Olimpic Toán, các kì thi học sinh giỏi quốc gia, các kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi trường Khi gặp các bài toán dạng này, học sinh thường lúng túng không biết tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào Trước tình hình đó, việc định hướng cho các em tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số là một nhiệm vụ cần thiết đối với người giáo viên trong quá trình dạy học Nhất là khi dãy số đó cho bởi các công thức truy hồi đặc biệt Khi tìm được công thức

số hạng tổng quát của dãy số thì việc xét tính đơn điệu, bị chặn hay tìm giới hạn của dãy số hầu như được giải quyết Bằng các kinh nghiệm, vốn tri thức của mình, người giáo viên định hướng cho học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua một số phương pháp như đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác,… để từ đó đưa dãy số đã cho về dãy số đặc biệt đã có cách tìm công thức số hạng tổng quát như CSC, CSN, …

2.3 Một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

2.3.1 Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ)

Khi k 1 thì u n1 u n   r n N, * Khi đó,  u là một CSC nên ta tìm được n

số hạng tổng quát của dãy số

Khi k  1 thì  u không phải là CSC hay CSN do n r 0 Ta nghĩ đến việc phân tích công thức truy hồi, thông qua việc đặt dãy số phụ đưa dãy số đó về một CSN

5

Ví dụ 1: Cho dãy số  u thỏa mãn: n

1

* 1

3

,3

n n

tỉ theo n ) thì ta sẽ làm như thế nào ?

Ta đưa công thức truy hồi đã cho về dạng:

u n1 g n   1 k u n g n   u n1 k u n  g n  1 k g n  

Khi đó, ta sẽ tìm cách phân tích : f n g n  1 k g n  

Vấn đề đặt ra là tìm g n như thế thế nào?  

*) Nếu f n là một đa thức thì ta xét các trường hợp như sau:  

Khi k 1: f n g n  1 g n  là một đa thức có bậc nhỏ hơn 1 bậc so với bậc của đa thức g n và không phụ thuộc vào hệ số tự do của   g n Khi đó ta  

chọn g n là một đa thức bậc   s 1 và có hệ số tự do bằng 0

+) Nếu k  1 thì ta chọn g n là một đa thức cùng bậc với đa thức   f n  

Khi đó, đặt: v n u n g n  Ta đưa về: v n1 k v ,n   n 1  v n là CSN

Ta tìm được v n  u n

Bài toán được giải quyết

Ví dụ 2: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1

* 1

7

Nhận xét: Ngoài cách đặt dãy số phụ thì ở bài này ta có thể nghĩ đến phương

pháp cộng dồn để tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số Cách này thường được dùng khi k 1

Thật vậy: Từ công thức truy hồi ta có:

Ta thấy, tổng 10 16 6    n  1 4  là tổng của n số hạng đầu của 1

CSC có số hạng đầu bằng 10, công sai d  6

Tìm công thức số hạng tổng quát u theo n n

(Đề thi HSG tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020)

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016)

Định hướng:

312

Nhận xét: Khi công thức truy hồi của dãy số có dạng: u n1 h n u  n  f n 

(trong đó f n h n là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n thì ta sẽ    ,

biến đổi như thế nào để bằng cách đặt ẩn phụ đưa được về một dãy số mới là một

(Trong đó f n h n là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo n )    ,

Định hướng: Phân tích h n f n làm xuất hiện    , t n g n để đưa công    ,

10

Tính lim 32

n n

u n

u n

u n

Định hướng: Để tìm giới hạn trên, ta đi tìm số hạng tổng quát un của dãy số

Từ công thức truy hồi, ta có:

3 2 1lim

(Đề thi HSG Toán 11 tỉnh Nghệ An năm 2016-2017)

Nhận xét: Một số đề thi học sinh giỏi các tỉnh cùng dạng tương tự như sau:

Ví dụ 8: Cho dãy số  u thỏa mãn: n

15

Ví dụ 9: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1   2

* 1

của dãy số theo n và tính lim 4 n n

nu

(Đề thi HSG Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 )

Dạng 4: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1 0 *

Ví dụ 10: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1 *

16

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n

(Đề thi Olimpic Toán 11 năm 2019-2020 Hà Nội)

( trong đó, f n là một đa thức theo   n và 0k t, ,R)

thì ta tìm g n để phân tích :   t.n  f n  g n  1 kg n  Khi đó đưa được công thức truy hồi về dạng:

u n1  g n   1 k u n  g n  

Bài toán được giải quyết

Lưu ý: g n m.n h n , trong đó h n là một đa thức cùng bậc với đa  

Bài toán được giải quyết

Bài toán được giải quyết

Bài toán được giải quyết

Ví dụ 14: Cho dãy số  u thỏa mãn: n

1 2

1 1

201920202

Từ công thức truy hồi của dãy số, ta có: 3u n1 2u n u n1  0

Xét phương trình đặc trưng của dãy số: 3x2 2x  1 0

Phương trình có 2 nghiệm: 1 1, 2 1

3

x  x  

Nhận xét: Nếu VP của công thức truy hồi ở dạng 5 là một đa thức f n thì  

ta tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào ?

Khi dãy số có công thức truy hồi dạng:

trong đó f n là một đa thức bậc   k theo n ; ,a b0

Ta tìm cách phân tích f n g n  1 ag n bg n 1 * , đưa công thức truy hồi đã cho về dạng:

u n1 g n  1 a u n g n b u n1 g n 10

Khi đó, đặt v n u n  g n ,  n 2 v n1 a v n b v n1  0Vấn đề ở chỗ, ta tìm g n như thế nào?  

Từ  * ta thấy, f n là một đa thức bậc   k theo n nên ta phải chọn g n sao  

+) Nếu phương trình: x2 ax b 0  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì

1  a b 0 nên VP của  * là một đa thức bậc m

+) Nếu phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt mà trong đó có một nghiệm bằng 1 thì suy ra 1  a b 0, nghiệm còn lại bằng b 1 m1b a m  VP 0của  * là một đa thức bậc m1 và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g n  

Khi đó bậc của g n là   k 1 và có hệ số tự do bằng 0

+) Nếu phương trình  1 có nghiệm kép bằng 1   a 2,b 1  VP của

 * là một đa thức bậc m2 và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g n Khi  

( trong đó f n là một đa thức theo n ,   0 a b R a,  ; 2 4b0)

Định hướng: Tìm g n sao cho   f n g n  1 ag n bg n  1

Khi đó, đưa công thức truy hồi về dạng:

u n1 g n  1 a u n g n b u n1 g n 10

Khi đó, đặt v n u n  g n ,  n 2 v n1 a v n b v n1  0Như vậy, để chọn g n ta cần chú ý như sau:  

+) Nếu phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 thì g n là một đa  

23

( Đề thi chọn HSGQG THPT Tỉnh Kon Tum năm 2018-2019)

Định hướng: Đưa  1 về công thức truy hồi dạng 6

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

Định hướng: Đưa công thức truy hồi về dạng 6

u n2 u n1 6u n   n 1

Ta tìm đa thức g n để phân tích được:  

n  1 g n 2g n  1 6g n  **

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

Định hướng: Ta tìm biểu thức g n để phân tích được:  

Đây là một dãy số dạng 5 đã có cách giải

Bài toán được giải quyết

n n

n n

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n?

Định hướng: Ta thấy công thức truy hồi của dãy số đã cho có dạng 7 khi b0

Bài toán được giải quyết

u u

( Đề thi chọn HSG Tỉnh Gia Lai năm 2019-2020)

Định hướng: Công thức truy hồi của dãy số có dạng 7 trong trường hợp

n

v v

?

( Đề thi chọn HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020)

Định hướng: Từ công thức truy hồi của dãy số, ta thấy có dạng tương tự

công thức truy hồi dạng 7, vì vậy ta giải quyết vấn đề của bài toán theo cách định

hướng của dãy số dạng 7

,

n n

1 1

n n n n

Ta đã đưa về dãy số có dạng 5 đã biết cách giải

Bài toán được giải quyết

Ví dụ 21: Dãy số  u thỏa mãn: n

2 1

1

12

n n

1 1

22

2

n n n n

n

u u

Ta đã đưa được về dãy số dạng 5

Bài toán được giải quyết

Ví dụ 22 Dãy số  u thỏa mãn: n 1

2 1

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

(Đề thi chọn HSGQG tỉnh An Giang năm 2020-2021)

(Đề thi HSG Tỉnh Quảng Trị năm 2019-2020)

Định hướng: Giải tương tự ví dụ 22

Ví dụ 24: Cho dãy số  u thỏa mãn: n

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

Định hướng: Ta biến đổi công thức truy hồi đã cho về công thức truy hồi

n

u u

Dãy số  * là dãy số có dạng 9 ở trên

Bài toán được giải quyết

Nhận xét: Với dãy số  u thỏa mãn: n

33

Ví dụ 2 : Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1

* 1

( Đề thi HSG toán 12 Tỉnh Bình Định năm 2019-2020)

Định hướng: Ta thấy 1 2 2 2 2cos3 2cos 3 2cos 33

Như vậy bài toán được giải quyết

Ví dụ 3: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1 *

34

Khi đó:  

2 1

Như vậy bài toán được giải quyết

Ví dụ 4: Cho dãy số  u thỏa mãn: n

1

2

* 1

33

1 1,

n n

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

( Đề thi HSG toán 12 TP Hà Nội năm 2019-2020)

Định hướng: Ta thấy, trong công thức truy hồi xuất hiện u n2  1 nên ta nghĩ đến phép thế lượng giác để khử căn

Từ giả thiết, suy ra

35

Ví dụ 5: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1

* 1

2 11,2

n n

Định hướng: Ta thấy, để tìm các giới hạn yêu cầu, ta đi tìm công thức số

hạng tổng quát un của dãy số  u n

Từ công thức truy hồi của dãy số  u , ta suy ra: n 0u n   1, n 1

Từ đó ta tính được lim ;limwv n n

Bài toán được giải quyết

Ví dụ 6: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1

2 1

12

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

Định hướng: Từ công thức truy hồi: u n1 2u n2  , ta nghĩ đến công thức 1lượng giác: 2cos2  1 cos2

u cos     n

Bài toán được giải quyết

Ví dụ 7: Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1 2

36

Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n ?

Định hướng: Ở bài này, khi u1   thì không tồn tại 3 1  để cos  3 Khi

đó bài toán được giải quyết như thế nào?

Nhận xét: Từ ví dụ 6, 7 trên, ta có các bài toán tổng quát như sau:

1) Cho dãy số  u thỏa mãn: n 1 2