Các phương pháp tìm giới hạn dãy số

Các phương pháp cơ bản để tìm giới hạn dãy số .... Phương pháp sử dụng định lý về các phép toán của dãy số hội tụ ..... Trong các kỳ thi HSG toán Quốc gia, thi Olympic toán Quốc tế cấp t

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thạc sỹ Phùng Đức Thắng đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Với những lời chỉ dẫn, sự tận tình hướng dẫn của thầy em đã giúp em vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu này Do hạn chế

về thời gian, kiến thức nên khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong có được những đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn đọc quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô giáo trong tổ giải tích và các thầy cô trong khoa toán đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này, cũng như trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè đã giúp đỡ, động viên em rất nhiều trong suốt quá trình học tập để em có thể thực hiện tốt khóa luận này

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Sinh viên thực hiện

Trương Thị Thu Dung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương pháp tìm giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu của tôi, kết quả không trùng với kết quả nào Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

và mọi kỷ luật của khoa và nhà trường đề ra

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Sinh viên thực hiện

Trương Thị Thu Dung

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Lời nói đầu 5

Phần 1 Các kiến thức cơ bản có liên quan 7

1 Các khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số 7

2 Các định lý về giới hạn dãy số 9

2.1 Các tính chất của dãy hội tụ 9

2.2 Tính chất của đại lượng vô cùng lớn và vô cùng bé 11

2.3 Các nguyên lý về tính đầy đủ của  11

3 Giới hạn hàm số và quy tắc Lopital 12

3.1 Một số định lý về giới hạn hàm số 12

3.2 Quy tắc Lopital 12

4 Một số kiến thức khác có liên quan 13

4.1 Định nghĩa tích xác định 12

4.2 Một số tiêu chuẩn về chuỗi hội tụ 12

Phần 2 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số 15

Chương 1 Các phương pháp cơ bản để tìm giới hạn dãy số 15

1.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa 15

1.2 Phương pháp dùng định lý về giới hạn dãy số 19

1.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn 19

1.2.2 Phương pháp sử dụng định lý về giới hạn kẹp 24

1.2.3 Phương pháp sử dụng định lý về các phép toán của dãy số hội tụ 28

1.2.4 Phương pháp vận dụng tính chất của đại lượng vô cùng bé và

vô cùng lớn 31

1.2.5 Thiết lập và giải phương trình với ẩn số là giới hạn cần tìm 33 Chương 2 Một số phương pháp khác tìm giới hạn dãy số 37

2.1 Chuyển về giới hạn hàm số và áp dụng quy tắc Lopital 37

2.2 Phương pháp sử dụng tích phân 39

2.3 Phương pháp sử dụng chuỗi 42

Chương 3 Giới hạn của một số dãy số đặc biệt 44

3.1 Dãy số cho bởi phương trình đặc trưng 44

3.2 Giới hạn của dãy trung bình cơ bản 46

3.3 Dạng sai phân hữu tỷ 52

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết giới hạn là cơ sở của toán giải tích Mọi khái niệm của giải tích đều được định nghĩa qua giới hạn Do đó khi nghiên cứu về giải tích chúng ta thường xuyên phải giải quyết bài toán tìm giới hạn, trong

đó có giới hạn dãy số

Trong các kỳ thi HSG toán Quốc gia, thi Olympic toán Quốc tế cấp trường THPT và thi Olympic toán hàng năm cho sinh viên giữa các trường Đại học và Cao đẳng thì các bài toán có liên quan đến giới hạn thường xuyên có mặt và được xem là một dạng toán khó, đa dạng, phức tạp, vì vậy nó đòi hỏi người làm toán phải nắm vững, hiểu rõ bản chất của các khái niệm về giới hạn cũng như nội dung các định lý để vận dụng linh hoạt vào các bài toán cụ thể

Với mong muốn tích lũy thêm cho mình những kỹ năng, kinh nghiệm khi tiếp cận với dạng toán về giới hạn em đã nhận đề tài “ Các phương pháp tìm giới hạn dãy số”

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp cho học sinh một số phương pháp để có thể giải quyết các bài toán về giới hạn dãy số từ đơn giản đến phức tạp Qua đó củng cố

và hệ thống lại kiến thức về giới hạn dãy số giúp cho học sinh vận dụng

lý thuyết đã biết vào làm các bài tập có liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên và học sinh THPT

+ Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức của chương trình đại học, một số kiến thức THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tóm tắt các kiến thức về dãy số và giới hạn dãy số

+ Đưa ra một số phương pháp tìm giới hạn dãy số và ví dụ cụ thể tương ứng

5 Nội dung nghiên cứu

Đề tài chia làm hai phần:

- Phần 1 Các kiến thức cơ bản có liên quan

1 Các khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số

2 Các định lý về giới hạn dãy số 3.Giới hạn hàm số và quy tắc Lopital

4 Một số kiến thức khác có liên quan

- Phần 2 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số

Chương 1 Các phương pháp cơ bản tìm giới hạn dãy số Chương 2 Một số phương pháp khác

Chương 3 Giới hạn của một số dãy số đặc biệt

PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

1 Các khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số

Định nghĩa 1 (Định nghĩa dãy số)

Định nghĩa 3 (Dãy số đơn điệu)

- Dãy số  a n gọi là giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) nếu

Định nghĩa 4 (Giới hạn của hữu hạn dãy số)

Số a được gọi là giới hạn hữu hạn của dãy số  a n nếu với mọi số dương , nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi nN ta có

Định nghĩa 5 (Giới hạn vô hạn của dãy số)

Ta nói dãy số  a n có giới hạn là  ( ký hiệu lim n

N  N M  sao cho n N ta đều có a n M

Định nghĩa 6 (Dãy con và giới hạn riêng)

Cho dãy  a n và k 1 k

k

k n

k

a  a ) gọi là dãy con của dãy  a n và ký hiệu (a )

ii) Mọi dãy số đều là dãy con của chính nó

iii) Nếu dãy (am n) là dãy con của dãy  a n và và dãy (

a ) cũng là dãy con của dãy  a n

Định nghĩa 7 (Dãy vô cùng bé và dãy vô cùng lớn)

- Dãy  a n được gọi là dãy vô cùng bé nếu lim n 0

i) Mọi dãy vô cùng lớn là dãy không bị chặn

ii) Không phải mọi dãy không bị chặn đều là dãy vô cùng lớn

2 Các định lý về giới hạn dãy số

2.1 Các tính chất của dãy hội tụ

a) Giới hạn của dãy số hội tụ là duy nhất

b) lim a  a  lim (a  a)  0

n n n

n n n

n n n

n n

- Nếu , 0 thì lim 0

n n

n n n

tụ và có chung một giới hạn

i) Mọi dãy đơn điệu và bị chặn là dãy hội tụ

2.2 Tính chất của đại lượng vô cùng lớn và đại lượng vô cùng bé

- Tích của đại lượng VCB và một đại lượng bị chặn là một đại lượng VCB

- Tích của một đại lượng VCB và một dãy hội tụ là một đại lượng VCB

- Tích của một đại lượng VCL và một dãy có giới hạn khác không là một VCL

2.3 Các nguyên lý về tính đầy đủ của 

Nguyên lý Weierstrass

Nếu dãy  a n tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim n sup n

n a n a

  Nếu dãy  a n giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim n inf n

n a n a

    Nguyên lý Cantor

Dãy đoạn a b n, n gọi là thắt dần nếu

Nguyên lý: a n Dãy là dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy

3 Giới hạn hàm số và quy tắc Lopital

3.1 Một số định lý về giới hạn hàm số

Giới hạn của hàm số f khi x  x0, nếu có là duy nhất

Với mọi dãy  n , mà lim n

Cho hàm số y f x  xác định trên đoạn a b,  Chia đoạn a b, 

thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x i i 0,1, ,n

ax0 x1x2 x n1x n b

(Mỗi phép chia như thế gọi là một phép phân hoạch đoạn a b, ,

Tổng (1) được gọi là tổng tích phân của hàm số f x ứng với  

phép phân hoạch  Nếu khi d  0 giới hạn của tổng  tồn tại, hữu hạn và không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn a b và ký hiệu , 

Khi đó, hàm f x được gọi là khả tích trên đoạn a b, 

4.2 Một số tiêu chuẩn về chuỗi số hội tụ

Điều kiện cần: Chuỗi số

Nếu chuỗi (A) phân kỳ thì chuỗi (B) cũng phân kỳ

Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương (A)

Nếu lim n 1 1

n

n

a a



  thì chuỗi số (A) phân kỳ

Đặc biệt, giả sử tồn tại giới hạn 1

lim

n

n n

a a





Khi đó

- Nếu a  thì chuỗi số (A) hội tụ 1

- Nếu a  thì chuỗi số (A) phân kỳ 1

Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương (A) Giả sử tồn tại giới hạn lim

 

n n

Khi đó

- nếu c  thì chuỗi (A) hội tụ 1

- nếu c  thì chuỗi (A) phân kỳ 1

PHẦN 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHƯƠNG 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa

n n





n n

x

Giải phương trình, ta thu được x  1 3

Ta sẽ chứng minh rằng a   1 3 là giới hạn của dãy

Thật vậy

Ta có 1 1

n n

 



n n

c) Các bài toán với cách giải tương tự

1 Tìm giới hạn lim 2 sin 2

1

n n

n n



n a

d) limlog 0

n a

1.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn

a a a

n

n

 

e R

y e n

Nên dãy  u n là dãy đơn điệu tăng

Nếu dãy  u n bị chặn trên thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

Điều này vô lý do a  1

Như vậy dãy  u n không bị chặn trên Trong đó, nó lại đơn điệu tăng nên  u n là dãy vô cùng lớn khi n   thì u   n

1 2

1

12

n n

n n

n n

k n

Giải Với    ta có bất đẳng thức kép sau: x 1

11

2 2 1

k n

Chú ý: Ở trên ta áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng,

n n

n n

(2  1)    1   

n n

b) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tìm giới hạn

2 2

lim2

22

1.2.4 Phương pháp vận dụng tính chất của các đại lượng vô cùng bé

và đại lượng vô cùng lớn

a) Phương pháp chung

Chúng ta vận dụng linh hoạt các tính chất của các đại lượng vô cùng lớn và các đại lương vô cùng bé với các dãy số mà ta có thể dự đoán được giới của nó là không hoặc có giới hạn vô cùng

2n

  là một đại lượng vô cùng bé

Vậy theo tính chất của đại lượng vô cùng bé suy ra 1 .sin 1

Vậy lim 1 .sin 1 0

  là một đại lượng vô cùng lớn khi n  

Do đó theo tính chất của đại lượng vô cùng lớn ta suy ra

3 2

11

Do đó sin n!  là một đại lượng bị chặn (2)

Từ (1) và (2) theo tính chất của đại lượng vô cùng bé ta có

Để tính giới hạn của dãy số bằng phương pháp này ta cần tiến hành theo hai bước sau:

Bước 1: Dùng các định lý và tiêu chuẩn tồn tại giới hạn ta chứng minh tồn tại giới hạn lim n.

Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương u n1 và (1u n)

Mà 0u n 1 nên u bị chặn trên bởi 1 (2) n

Từ (1) và (2) theo định lý về sự tồn tại giới hạn dãy số suy ra tồn tại li mn u n

14

Theo nguyên lý quy nạp, suy ra u n1u n  n 0,1, 2,

Vậy  u n là dãy đơn điệu tăng

Ta có  u n là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên nên theo định lý

về sự tồn tại giới hạn của dãy số thì tồn tại lim n

n u

 

  Khi   ta có 0

2 2

( 1)lim

ln

x x

lim

ln

x x

 ) 3

0

4lim

12lim

2 2 cos

t

t t

t

t t

 

 (áp dụng quy tắc Lopital)

Bước 2: Xây dựng tổng tích phân của hàm f x trên đoạn  

a b sao cho tổng tích phân giống hệt biểu thức cần tính giới hạn , 

Bước 3: Giới hạn của tổng tích phân là ( )

b a

f x dx

Bước 4: Tính ( )

b a

Khi đó xét phép phân hoạch  chia đoạn  0,1 thành n phần bằng

nhau bởi các điểm chia x i i ,i 1, 2, ,n

x n n





 

n S

Xét hàm số f x( )ln 1 n trên đoạn  0,1 Ta thấy hàm f x 

liên tục trên đoạn 0 ,1 suy ra f(x) khả tích trên đoạn 0,1

Phân hoạch đoạn 0,1 thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia

i

i x

i

i P

 





Vậy lim n 2ln 2 1

n S e 

 Hay

Xét sự hôi tụ của chuỗi số

sin

12

2sin

2

n n

n

n

a a

n ctg n

2

n n

21

14

n

n ctg

Theo tiêu chuẩn Cauchy suy ra chuỗi (1) hội tụ

Vậy theo điều kiện cần của chuỗi số hội tụ thì lim n 0

n a

  

CHƯƠNG 3: GIỚI HẠN CỦA MỘT SỐ DÃY SỐ ĐẶC BIỆT

3.1 Dãy số cho bởi phương trình đặc trưng

Tính giới hạn của dãy u n

Cách giải

Ta làm theo hai bước sau:

- Xác định số hạng tổng quát của dãy

- Tìm giới hạn lim n

n u



Sử dụng các kết quả sau để tìm số hạng tổng quát của dãy số

Số hạng tổng quát của dãy cho ở (*) có dạng

n n

41

32013

Dãy  x n cho trước hội tụ tới a

Khi đó, dãy  y n xác định như sau

Dãy X n:X n lnx n n, 1, 2,

Ta kiểm tra bộ số P n k và dãy số (Xn) thỏa mãn các điều kiện của

định lý Toeplitz (như ý 1) nên ta có dãy

k

n

n k n

k n n

P x x

x P

n

x P

x  x   x  M 

k n

Với mỗi k cố định ta có dãy (X n) hội tụ do dãy  y hội tụ n

Vậy theo định lý Toeplitz dãy

Đặt

1

( 1, 2, ) ( 1, 2, )

n p n

k

p n

Khi đó ta có dãy  y thỏa mãn n

1lim

1 1

1lim lim

Nội dung định lý: Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn a b,  và

có đạo hàm trên khoảng a b,  thì tồn tại một điểm ca b,  sao cho

Ta có '( ) 1g x   f x'( ) nên hàm 0 g x  đồng biến trên Như vậy nếu phương trình g x  nếu có nghiệm thì nghiệm đó   0duy nhất

3.3 Dạng sai phân hữu tỷ

a) Khi gặp những dãy số cho dưới dạng truy hồi x n1 f x n Trong

đó hàm f x  thỏa mãn các tính chất: f là hàm số dương, liên tục và

nghịch biến trên 0,  Ta có thể chỉ ra được giới hạn của dãy chính là

nghiệm của hệ phương trình ( )

x

y y

KẾT LUẬN

Giới hạn dãy số là một trong những dạng toán khó, do đó việc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc không hề đơn giản Do những điều kiện nghiên cứu còn hạn chế nên trong khóa luận không thể đưa ra được tất cả các phương pháp tìm giới hạn dãy số Song trong nội dung khoa luận vẫn đưa ra được đủ các phương pháp cơ bản và quan trọng tìm giới hạn của dãy số

Do kiến thức của bản thân người làm khóa luận còn hạn chế đồng thời chưa có kinh nghiệm trong nghiên cứu đề tài khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót Em hi vọng sẽ nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để nâng cao thêm chất lượng của khóa luận

Em mong rằng đề tài sẽ tiếp tục được mọi người quan tâm để hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 “Bài tập giải tích 1.Số thực – dãy số và chuỗi số” NXB ĐHSP 2003 –

W.J.KACZKOOR – MT.NOWAK (Đoàn Chi biên dịch)

2 “10000 bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn” Phan Huy Khải NXB Hà Nội

3 “Ứng dụng giới hạn để giải toán THPT” PGS – TS.Nguyễn Phụ Hy –

NXBGD – 2000

4 “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT giới hạn dãy số và hàm số” Nguyễn Văn Mậu, NXB Giáo Dục 2003

5 “Giải tích toán học 11” Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh (chủ biên)

6 “Toán Olimpic cho sinh viên tập 1” Trần Lưu Cường – NXBGD 2003

7 “Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán” tập 3 PGS.TS Nguyễn Qúy

Duy NXB Giáo Dục 2002

8 Một số báo Toán học và tuổi trẻ