Chương giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tại vô cực cũng là mộttrong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán lớp 11, nó được ứng dụng rấtnhiều trong phần đồ thị hàm số
Trang 11 Mở đầu.
1.1 Lí do chọn đề tài.
Trong những năm gần đây cùng với sự đổi mới trong giáo dục là đổi mớitrong thi cử, môn Toán đóng một vai trò quan trọng khi chuyển từ hình thức thi tựluận sang hình thức thi trắc nghiệm.Vì vậy đòi hỏi người dạy và người học phảilinh hoạt nắm bắt thông tin kiến thức chính xác, nhanh, gọn, dễ hiểu Trang bịnhững kiến thức, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho HS là mục tiêu hàng đầutrong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình môn Toán lớp 11nói riêng
Bên cạnh đó do đại dịch covid – 19 diễn biến phức tạp, học sinh ở một sốvùng miền phải tạm nghỉ học, gấp rút dạy và học để kết thúc năm học sớm, nênviệc học và lĩnh hội kiến thức bị gián đoạn, thời gian bị o hẹp, việc dạy và họcđược chuyển sang dạy và học trực tuyến, nên việc lĩnh hội kiến thức sẽ có phầncòn hạn hữu bởi còn rất nhiều em HS của trường chưa có đủ điều kiện về côngnghệ thông tin, mạng internet, thiết bị học trực tuyến Đặc biệt hơn nữa do đặcthù của các em HS trường THPT Quan Sơn, địa hình hiểm trở, sạt lở khi mùamưa về, sự đi lại còn khó khăn, , kinh tế chưa phát triển, còn rất nhiều hộ dânnghèo, sự tiếp cận và việc nhận thức trong sự quan trọng của việc học còn hạnchế, nhất là đối với môn Toán Các em đang còn có tâm lí ngại học Toán bởi vìđầu vào lớp 10 rất thấp, các kiến thức ở lớp dưới bị hổng, môn Toán lại là mônhọc trừu tượng, rất nhiều công thức tính toán khó
Là một giáo viên dạy toán, tôi vừa được tuyển dụng về trường THPTQuan Sơn, tôi nhận thấy việc gieo niềm đam mê đối với môn Toán, giúp các em
HS của trường tự tin hơn trong các kỳ thi là rất quan trọng Khi các em học đượctoán, có niềm đam mê với môn Toán, các em sẽ cảm thấy tự tin hơn và yêu thíchhọc môn Toán hơn, từ đó các em đã tìm tòi và học tập tốt hơn không những mônToán mà còn tốt hơn ở các môn khác nữa Để làm được điều đó thì giáo viênphải đơn giản hóa phương pháp học toán, giúp các em nắm bắt được kiến thứcmới một cách hiệu quả, tiết kiệm thời gian mà không phải học lại nhiều kiếnthức cũ đã bị hổng
Chương giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tại vô cực cũng là mộttrong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán lớp 11, nó được ứng dụng rấtnhiều trong phần đồ thị hàm số lớp 12 Nếu kiến thức về phần giới hạn của dãy số vàgiới hạn của hàm số tại vô cực bị hổng thì các em sẽ gặp rất nhiều khó khăn trong việcnhận dạng đồ thị hàm số và làm các bài tập liên quan đến giới hạn tại vô cực củachương hàm số lớp 12, mà nội dung này chiếm rất nhiều câu trong bài thiTNTHPTQG
Nhằm giúp HS nắm bắt được kiến thức về giới hạn của dãy số và giới hạncủa hàm số tại vô cực một cách gọn gàng, tiết kiệm được thời gian, ứng dụngvào làm các bài tập có liên quan đến tổng của CSN lùi về vô hạn lớp 11 và bàitập của chương đồ thị hàm số lớp 12, đặc biệt là làm được một số câu trong phần
đồ thị về tìm TCN, TCX, nhận dạng đồ thị và bảng biến thiên trong bài thiTHPTQG Từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp tính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tại vô cực cho học sinh 11 trường THPT Quan Sơn” chương trình SGK 11 của Bộ GD& ĐT
Trang 21.2 Mục đích nghiên cứu.
Giúp HS lớp 11 trường THPT Quan Sơn có một phương pháp mới để tínhgiới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số tại vô cực một cách nhanh, gọn, chínhxác, dễ hiểu Để từ đó hiểu được bản chất của các dạng toán về giới hạn và vậndụng vào việc tìm đường TCN, TCX, có trong chương hàm số, hàm số mũ, hàm
số lũy thừa của lớp 12, hiểu được bản chất của công thức tính tổng của CSN lùi
về vô hạn ở lớp 11 Mỗi một nút thắt tuy nhỏ, nhưng mở được, nó sẽ làm giảmmức độ khó trong môn Toán, dần dần mang lại sự yêu thích môn Toán cho HS
HS giải quyết được vấn đề mà yêu cầu bài toán đưa ra một cách: nhanh,gọn, chính xác, có lợi trong việc thi trắc nghiệm, đem lại kết quả tốt hơn cho các
em học sinh trường THPT Quan Sơn
Chia sẻ với đồng nghiệp phương pháp và kinh nghiệm để giải các bài toánliên quan tới giới hạn tại vô cực hiệu quả hơn, đơn giản, tiết kiệm thời gian cho
HS THPT Quan Sơn nói chung và đặc biệt học sinh khối 11 nói riêng
1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu.
Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới các bài toán về giớihạn của dãy số, giới hạn của hàm số tại vô cực
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là từ lý thuyết SGK 11 của Bộ GD & ĐT,đưa ra phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm sốtại vô cực nhanh, gọn, dễ hiểu và chính xác cho HS lớp 11 trường THPT QuanSơn Cụ thể HS các lớp tôi trực tiếp dạy gồm 11A2, 11A4, 11A5
1.4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu.
Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyênngành lý luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học tôi tập trung vào các phươngpháp sau:
Nghiên cứu lý luận: Tìm tòi, nghiên cứu các tài liệu
Điều tra quan sát thực tiễn: Khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số liệu.Thực nghiệm sư phạm
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
Kí hiệu: n→+∞lim u n, hay lim un = 0 khi và chỉ khi với mọi số ε>0 nhỏ tùy ý,luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: |un| <ε, ∀n > n0
Trang 3- Nếu |q| < 1 thì n→+∞lim q n = 0
- Nếu un = c (với c là hằng số) thì n→+∞lim u n = n→+∞lim c = c
* Chú ý: Ta viết lim un = a thay cho cách viết n→+∞lim u n = a
5) Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSC (un) có công bội q thỏa |q| < 1 Khi đó tổng
S = u1 + u2 + u3 + + un + gọi là tổng vô hạn của CSN Khi đó:
+ lim nk = +∞ với mọi số nguyên k > 0
+ lim qn = + ∞ với mọi |q | > 1
c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc1: Nếu lim un = ± ∞ ,lim vn = ± ∞ thì lim (unvn) được xác định như sau:
Quy tắc 2: Nếu lim un = ± ∞, lim vn = l
Trang 4Dấu của l Dấu của v n
2.1.1.4 Bài tập minh họa
Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
* Phương pháp: Gồm các dạng toán sau:
1 Khi tìm lim g(n) f (n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của cả tử và mẫu.
2 Khi tìm lim [√k f(n) – m√g(n)] trong đó lim f(n) = lim g(n) = + ∞ ,
thì ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Dạng 1: Giới hạn của dãy số viết dưới dạng biểu thức là một phân
n2+ 10n3)
=
lim (1− 5 n− 2
n3) lim ( 1 n+ 4
n2+10n3 )
=0+1¿ ¿ = +∞
d) lim3n−2.25n+3n+8.5n n = lim 5n¿¿ = lim 1+ ¿¿ = 18
e) lim 3.22n+1 n+1−5.4−7 3n+1 n+6+1 = lim2.26.2n n−20.4−7.3n n+1+6 = lim 4n ¿¿
= lim 6 ¿¿
f) lim−7.24n+1 n+1+8.3−5.5n+1 n+6+10 = lim−7.24n+1 n +1+8.3−5.5n+1 n+6+10 = lim−14.24.4n+24.3n−5.5n n+6+10
Trang 5= lim 5n ¿¿ = lim ¿¿= 0−5+ ¿ ¿ = −∞
Dạng 2: Giới hạn của dãy số viết dưới dạng biểu thức là một đa thức.Tính:
a) lim (-4n3 + 5n + 2021) b) lim (5n2 + 12n√n - 6n + 2021√n - 2022)c) lim (3n2 - 2).(3 + 5n) d) lim [4n + cos(5n)]
* Gợi ý giải: Nhân và chia biểu thức tính giới hạn cho lũy thừa có bậc cao nhất.
* Bài toán 2: Tính các giới hạn sau:
d) lim n.(4 + cos5 n n ) = lim n lim (4 + cos5 n n ) = +∞ 4=+∞
Dạng 3: Giới hạn của dãy số viết dưới dạng biểu thức có chứa căn
* Bài toán 3: Tính các giới hạn sau:
a)A = lim (√4 n2 +2−√n2 +10) c) C = lim √35n2−8n3
n2 −√9+ 7
n2) = √1−0√9=¿
0
−2 = 0c) C = lim n 3
Dạng 4: Giới hạn của dãy số có chứa dạng vô định: ∞ - ∞
Gặp phải bài toán tính giới hạn dạng này ta phải khử, bằng cách đồng thời nhân và chia với biểu thức liên hợp của nó.
* Bài toán 4 : Tính các giới hạn: a) A = lim (√4 n2+8n+9−√4n2 +1) b) B = lim √n2+2n−3−1 √n2 +1
Trang 6* Gợi ý giải: Chia cả tử và mẫu của biểu thức càn tính giới hạn cho lũy thừa
có bậc cao nhất, sau đó phải khử nếu giới hạn có chứa dạng vô định ∞ - ∞ bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp Ta được:
2.1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực.
2.1.2.1 Định nghĩa: 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; + ∞¿.Tanói hàm số y = f(x) có giới hạn là L khi x →+∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và
xn→+∞ ,tacó f(xn) → L Kí hiệu:x→+∞lim f (x)=L hay f(x)→ Lkhi x→ + ∞
2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a¿. Ta nói hàm số y =f(x) có giới hạn là L khi x → -∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn→ -∞
Ta có f(xn) → L Kí hiệu:x→−∞lim f(x)=Lhay f (x)→L khi x → - ∞
2.1.2.3 Bài tập minh họa
Dạng 1: Giới hạn của hàm số y = f(x), khi x →+∞
* Bài toán 5: Tính giới hạn của mỗi hàm số sau, khi x →+∞
Trang 7Dạng 2: Giới hạn của hàm số y = f(x), khi x →-∞
* Bài toán 6: Tính giới hạn của mỗi hàm số sau, khi x →-∞
x2 +√1+ 4
x2 ) = - 12
2.2 Thực trạng vấn đề.
Trong chương trình toán học phổ thông ở SGK11, SBT11, thậm chí một
số sách đọc thêm cũng đều giải quyết bài toán về tính giới hạn của dãy số, giớihạn của hàm số tại vô cực, bằng cách nhân và chia biểu thức tính giới hạn tại vôcực với nk đối với dãy số, với xk đối với hàm số y = f(x), trong đó k là bậc caonhất có trong biểu thức cần tính giới hạn
Trang 8Khi dạy lý thuyết hầu hết các giáo viên khi dạy đến nội dung giới hạn tại
vô cực cũng đều dạy cho HS phương pháp tính giới hạn giống trong lý thuyếtSGK 11 đưa ra Nhưng điều này làm cho lời giải trở nên dài dòng, thậm chí hơidối, nhiều HS học ở mức học trung bình, yếu thậm chí khá, khi giải đến dạngtoán về giới hạn tại vô cực cũng thấy khó hiểu, dài dòng mất nhiều thời gian.Trong việc cải cách về thi cử, khi làm bài thi trắc nghiệm về bài tính giới hạncủa dãy số, giới hạn của hàm số tại vô cực, HS cũng phải tốn thời gian nháphoặc thử trên máy tính bằng cách bấm nhiều số 9: Cụ thể bấm 999999999 thay vào ví trí của biến thì kết quả sẽ trả lời đúng nhưng hơi lâu Thậm chí đốivới HS học lực mức trung bình trở xuống, sẽ thấy khó hiểu và không biết làm, vìvậy việc dạy cho các HS với lực học kém này, cần gọn, nhanh mà dễ hiểu, thìmới kịp tiến độ cho chương trình học ở trường, và hơn hết giảm thời gian tronglàm bài thi
Hơn nữa khi gặp các bài có giới hạn ở dạng vô định ∞−∞, thì làm sao để
HS nhận ra nhanh dạng này, để khử, bằng cách nhân và chia cho lượng liên hợpđối với dạng tính giới hạn của n
√f (x)± m
√g(x), a
√f (n)± b
√g (n) này
Trước thực trạng nói trên, tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi, với những
HS tôi trực tiếp giảng dạy, các em có thể có phương pháp tính nhẩm trong thitrắc nghiệm, hoặc phương pháp giải nhanh trong thi tự luận về phần giới hạn củadãy số, giới hạn của hàm số tại vô cực, để từ đó biết vận dụng, hiểu nhanh hơntrong các bài tập có liên quan tới giới hạn tại vô cực trong việc tìm TCN, TCX
và nhận dạng đồ thị ở chương hàm số (Hàm số mũ, hàm số lũy thừa) lớp 12 vàtính tổng của CSN lùi về vô hạn trong chương trình lớp 11 Nhưng còn nhiều HSkhác của trường thì sao, làm sao thông điệp này của tôi gửi tới tất cả HS củatrường THPT Quan Sơn, cũng như tất cả các bạn HS lớp 11 của các trườngTHPT
Dựa trên tình hình thực tế và lúc này đây tôi mới viết lên SKKN này, đểmong muốn được gửi thông điệp của tôi tới tất cả các em HS của trường THPTQuan Sơn và HS trên mọi miền đất nước Do đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi trong
lý thuyết tôi được học ở Đại Học.Tôi đã tích lũy và phân loại thành các dạngtính giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số tại vô cực nhanh, gọn ,chính xác,
dễ hiểu, để học sinh dễ dàng tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập hơn Lấylại niềm đam mê yêu thích môn Toán nói riêng và có động lực học tập cho tất cảcác môn học ở trường THPT Quan Sơn nói chung cho HS
2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1 Giới hạn dãy số
Dạng 1: Giới hạn của dãy số cho bởi biểu thức là một đa thức.
Un = A(n) + B(n) + C(n) + Trong đó: A(n), B(n), C(n), là những đơn thức(hay là những hạng tử) với biến n
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
b1 Giữ lại hạng tử có bậc cao nhất trong biểu thức tính giới hạn
b2 Rút gọn (nếu có) biểu thức vừa được giữ lại đó
b3 Thay giá trị n = + ∞ vào vào biểu thức vừa được rút gọn.
Kết quả tính được là kết quả giới hạn của dãy số.
* Bài toán 1: Tính các giới hạn sau:
Trang 9a) lim (- 4n3 + 5n + 2021) b) lim (5n2 + 12n√n - 6n + 2021√n - 2020)c) lim (3n2 - 2).(3 + 5n) d) lim [4n + cos(5n)]
Gợi ý giải: Giữ lại những hạng tử cao nhất của biểu thức cần tính giới hạn.
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
b1 Giữ lại những hạng tử có bậc cao nhất của cả tử và mẫu.
b2 Rút gọn biểu thức vừa được giữ lại
b3 Thay n = + ∞ vào biểu thức vừa rút gọn được để tính.
Kết quả tính được là kết quả giới hạn cần tính của dãy số.
* Bài toán 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim 2n 3n22+3 n+1 −n+2 ; b) lim n n34−3n +4 n23+2+1 ; c) limn n32−5n +4n+102−2
* Gợi ý giải:
Giữ lại những hạng tử có bậc cao nhất của cả tử và mẫu có trong mối biểu thức cần tính giới hạn. Ta có:
a) lim 2n 3n22+3 n+1 −n+2 = lim2 n 3 n22 = lim 23 =23
b) lim n n34−3n +4 n23+2+1= lim n n34 = lim 1n = +∞1 = 0
c) limn n32−5n +4n+102−2 = lim n n32 = lim n = +∞
* Nhận xét: Khi dãy số được viết dưới biểu thức là một phân thức mà:
- Bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng tỉ số giữa hệ
số của hạng tử có bậc cao nhất của tử với hệ số của hạng tử có bậc cao nhất củamẫu
- Bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng 0
- Bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng ∞
Dạng 3: Giới hạn của một dãy số được viết dưới dạng lũy thừa với cơ số khác nhau, nhưng cùng số mũ n.
* Phương pháp:Ta thực hiện theo các bước sau:
b1 Đưa về dạng lũy thừa cùng số mũ n Giữ lại hạng tử có cơ số lớn
nhất của biểu thức (Của cả tử và mẫu nếu dãy số là biểu thức có dạng phân thức).
b2 Rút gọn biểu thức vừa được giữ lại.
b3 Thay n = + ∞ vào biểu thức vừa được rút gọn
Trang 10Kết quả tính được là kết quả giới hạn của dãy số.
* Bài toán 3: Tính các giới hạn sau:
a) lim 3n−25n+1 n+3+2n3.5 n
b) lim3.22n+1 n+1−5.4−7 3n+1 n+6+1 ; c) lim−7.24n+1 n+1+8.3−5.5n+1 n+6+10
* Gợi ý giải: Đưa về lũy thừa cùng số mũ với cơ số khác nhau, rồi giữ lại hạng tử có cơ số lớn nhất của tử và của mẫu để tính giới hạn Ta có:
a) lim 3n−25n+1 n+3+2n3.5 n = lim 3n−2.25n+3n+8.5n n = lim 8.55n n = lim 18 = 18
b) lim 3.22n+1 n+1−5.4−7 3n+1 n+6+1= lim 2.26.2n n−20.4−7.3n n+1+6 = lim −20 4– 7.3 n n
= 207 lim ¿)n = 0
c) lim−7.24n+1 n+1+8.3−5.5n+1 n+6+10 = lim −14.24.4n+24 3n−5.5n n+6+10 = lim – 5.54.4n n =−∞
Dạng 4: Giới hạn của dãy số được viết dưới dạng chứa căn thức :
* Phương pháp: Gồm các trường hợp sau:
1 Nếu k = m và bậc f(n) = bậc g(n) thì ta giữ lại căn và hạng tử có bậc cao nhất có trong biểu thức căn tương ứng đó để tính giới hạn Nếu giới hạn tính được có dạng 0.(+ ∞¿ tức là dạng (+ ∞ ) – (+ ∞¿ thì ta đồng thời nhân và chia cho biểu thức liên hợp của biểu thức căn đó.
2 Nếu k ≠ m và hai tỉ số B ậc củ af (n) k ; B ậc củ ag(n) m ; tỉ số nào lớn hơn thì giữ lại căn thức và hạng tử có bậc cao nhất của biểu thức có trong dấu căn đó
để đem đi tính giới hạn của dãy số.
* Bài toán 4: Tính các giới hạn sau:
a) lim (√4 n2 +2−√n2 +10) b) lim √n2 +3−10√9n2 +7
c) lim √3 5n2−8n3 d) lim √38n3−7n2−5n+9
n+12
* Gợi ý giải:
Giữ lại hạng tử có bậc cao nhất có trong từng biểu thức Ta có:
a) lim(√4 n2 +2−√n2 +10) = lim (√4 n2 −√n2) = lim (2n – n)
Trang 11= lim √4n2−8n+9+ −8n+8√4 n2 +1 = lim √4n −8n2 +√4 n2 = lim−8n 4n = -2
b) lim √n2−3n+3−1 √n2 +1 = lim√n2 −1√n2 = limn−n1
Ta thấy mẫu của dãy số là một biểu thức có giới hạn dạng vô định ∞−∞,nên phải khử bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu tađược:
lim √n2¿3n +3 +√n2 +1
n2−3n+3−n2 −1¿ = lim √n2 +√n2
−3 n+2 = lim−3n n+n = lim−3n 2n = −23c) lim (√n4−4 n+12 – n2) = lim (√n4 – n2) = lim (n2- n2) = (+∞) – (+∞)
Là dạng vô định nên phải khử bằng cách nhân và chia cho biểu thức liên hợp: lim
Trang 123 Nếu hàm số cho bởi biểu thức là hàm phân thức, thì ta cũng giữ lại hạng tử có bậc cao nhất của đồng thời cả tử và mẫu để tính giới hạn Các bước cũng giống như tính giới hạn của dãy số.
4 Nếu hàm số cho bởi biểu thức là một hàm chứa lũy thừa với cùng số
mũ, nhưng cơ số khác nhau Muốn tính giới hạn của hàm số tại vô cực của dạng này, ta chỉ việc giữ lại hạng tử có cơ số lớn nhất của cả tử và mẫu, để tính giới hạn.
2.3.2.1 Giới hạn của hàm số tại + ∞
* Bài toán 6: Tính giới hạn của các hàm số cho sau tại + ∞:
a) y = -3x3 + 5x2 - 10x - 6 b) y = 5x x33−5 x −6x−292+7
c) y = √9 x2−x+2−√x2 +5 d) y = √x2+x−3−√x2 +4
e) y = 3.24 3x x−8.7+5.7x x
* Hướng dẫn giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
b1 Giữ lại hạng tử có bậc cao nhất (hoặc hạng tử có cơ số lớn nhất nếu hàm số được viết dưới biểu thức lũy thừa cùng số mũ, nhưng cơ số khác nhau)
có trong biểu thức cần tính giới hạn (Của đồng thời cả tử và mẫu nếu là hàm phân thức, nằm trong căn nếu hàm số là một biểu thức chứa căn).
b2 Rút gọn biểu thức vừa được giữ lại (Phải khử nếu có dạng vô định ∞ - ∞) b3 Thay giá trị x = + ∞ (hoặc x = - ∞ nếu giới hạn tại - ∞) vào biểu thức được thu gọn trên Kết quả tính được là kết quả của giới hạn của hàm số
d¿ lim
x →+∞ y= lim
x →+∞(√x2+x−2−√x2 +4)¿ lim
x→+∞(√x2 −√x2 ) = x→+∞lim ¿ = (+∞¿ - (+∞¿.Là dạng vô định nên phải khử
lim
x→+∞ y= lim
x→+ ∞¿ x2+x−2− x2−5
√x2+x−2+√x2+4 =x→+∞lim ¿ √x2+x−2+ x−7√x2 +4 =x→+∞lim ¿ √x2+x√x2 =x→+∞lim ¿ ¿x∨+ x¿x∨¿¿=x→+∞lim ¿ 2x x =x→+∞lim ¿ 12 = 12
e)x→+∞lim ¿y =x →+∞lim 3.2x−8.7x
4.3x+5 7x =x →+∞lim −8.7x
5.7x =x →+∞lim −8
5 = −85
2.3.2.2 Giới hạn của hàm số tại - ∞
* Bài toán 7: Tính giới hạn của các hàm số sau tại - ∞
a) y = -3x3 + 5x2 - 10x - 6 b) y = −x 6 x34−6 x−29 −5 x2+7
c) y = √4 x2−7 x+32−√9 x2+5 x−7
d) y = √x2+x−3−√x2 +4 e) y = 3.24 3x x−8.7+5.7x x