Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn

Trong thuyết tương đối rộng lực hấp dẫn là bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng, và không phải là một ngoại lực.. CHƯƠNG 1 BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG V

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THỊ KIM THOA

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THỊ KIM THOA

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN 

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số : 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN HỒNG LIÊN

Hà Nội – 2012

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 3

Chương 1: 6

BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN 1.1 Metric Minkowski và Bất biến Lozentz 10

1.1.1 Metric Minkowski 10

1.1.2 Bất biến Lorentz 12

1.2 Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann 14

1.2.1 Tensor 15

1.2.2 Metric Riemann không – thời gian cong 19

1.3 Tensor độ cong 25

1.4 Trường hấp dẫn 28

1.5 Phương trình Einstein và tác dụng bất biến 29

Chương 2 38

NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN 2.1 Hình thức luận Tetrad 38

2.1.1 Tetrad 38

2.1.2 Mối liên hệ giữa Metric và Tetrad 40

2.1.3 Nguyên lý bất biến 42

2.1.4 Biểu thức của Tetrad 43

2.2 Tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát 45

2.3 Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn 48

Chương 3: 51

VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ 3.1 Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ 51

3.2 Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ 57

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….63

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tương tác cơ bản hay lực cơ bản là các loại lực của tự nhiên mà tất cả mọi lực, khi xét chi tiết, đều quy về các loại lực này Mô hình vật lý hiện đại cho thấy có bốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu

Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tương tác yếu trong mô hình Glashow- Weinberg- Salam (lý thuyết điện yếu) Về sau, mô hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn (Standard model) [5] Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này

Tương tác hấp dẫn làsự hút lẫn nhau giữa bất kì hai vật thể vật lí nào, do liên quan với khối lượng của chúng gây ra Tương tác hấp dẫn được thực hiện qua một thực thể trung gian là trường hấp dẫn lan truyền (sóng hấp dẫn) với vận tốc hữu hạn Trong trường hấp dẫn yếu, các vật thể chuyển động chậm so với vận tốc ánh sáng (c) thì định luật vạn vật hấp dẫn của Newton có hiệu lực Với các trường hấp dẫn mạnh và vật thể có vận tốc gần bằng c thì phải sử dụng Thuyết tương đối tổng quát của A Einstein Tương tác hấp dẫn là tương tác yếu nhất trong tất cả các tương tác giữa các hạt cơ bản, nhưng lại là nguyên nhân chi phối chuyển động của các thiên thể Trên Trái Đất, tương tác hấp dẫn là nguyên nhân tạo nên trọng lượng của các vật, giữ cho các vật không rời khỏi mặt đất Trong cơ học cổ điển, lực hấp dẫn xuất hiện như một ngoại lực tác động lên vật thể Trong thuyết tương đối rộng lực hấp dẫn là bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng,

và không phải là một ngoại lực Trong thuyết hấp dẫn lượng tử, hạt graviton được cho là hạt truyền tương tác của lực hấp dẫn

Nếu như Isaac Newton là người tìm ra Định luật vạn vật hấp dẫn vũ trụ nổi tiếng thế kỷ thứ XVII thì đầu thế kỷ thứ XX, Albert Einstein đã phát minh ra Thuyết tương đối hẹp (1905) và mở rộng thành Thuyết tương đối tổng quát (1916) đặt nền móng cho Lý thuyết hấp dẫn lượng tử Cho đến nay Hấp dẫn lượng tử và sự thống nhất bốn loại tương tác vẫn là một vấn đề lớn của Vật lý học thế kỷ 21

Einstein đã xây dựng Lý thuyết tương đối tổng quát (còn được gọi là Lý thuyết tương đối rộng) là một lý thuyết về trường hấp dẫn Theo lý thuyết tương đối

rộng, các vật hút nhau được là do sự uốn cong của không – thời gian và vật chất là yếu tố quyết định sự cong này Nó có thể được coi là phần bổ sung và mở rộng của

lý thuyết hấp dẫn của Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn

Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không – thời gian

Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý, giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tia sáng khi đi gần Mặt Trời Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương trình trường của mình Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng số này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vài thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này

Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “ Trường

vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ ” là một vấn đề hay và thời sự nên muốn tìm hiểu, nghiên cứu

2 Mục tiêu đề tài và phương pháp nghiên cứu

Mục tiêu

Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ để

dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng

số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấp dẫn vũ trụ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann

trong không-thời gian 4 chiều Minkowski Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ 

3 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận văn gồm 3 chương:

Chương I Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của

Einstein và tương tác hấp dẫn

Chương II Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến

tổng quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp dẫn

Chương III Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới

những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ

CHƯƠNG 1 BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những định luật mà ta

đã biết trong cơ học cổ điển không còn áp dụng được nữa Nói cụ thể hơn, quan hệ giữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác đi, không còn đơn giản như trước đây

Cơ học cổ điển được mở rộng ra để áp dụng cho phạm vi mới: đó là môn Cơ học tương đối tính, tức là môn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối

Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [7]

Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà Einstein

nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sự không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chân không và các thí nghiệm khác trong thiên văn trước đó, là như sau:

1 Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu

quán tính (nguyên lí tương đối)

Nói cách khác, các phương trình mô tả các định luật vật lí bất biến đối với phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác (hệ quy chiếu không gia tốc) Tổng quát hơn nguyên lí Galilei trong cơ học cổ điển, ở đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật vật lí đều bất biến trong các hệ quy chiếu quán tính

2 Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng

vận tốc c Còn những hạt có khối lượng m 0 sẽ chuyển động với vận tốc V luôn luôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c

Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác chính là phép biến đổi Lorentz [1]

Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm không gian tuyệt đối, thời gian tuyệt đối, và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối Nó đã mở

rộng nguyên lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học đều diễn ra như

nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành nguyên lí tương đối

Einstein (Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu

quán tính) Einstein là người tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật và tính thống nhất của thiên nhiên Ông đã nêu lên rằng trong thiên nhiên không có cái gì là tùy tiện, thiên nhiên tuân theo một số không nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn giản, lí tưởng cao nhất của khoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ như rời rạc, lẻ tẻ, phải tìm ra những quy luật tổng quát nhất đó Với tư tưởng đó, ngay sau khi xây dựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ông

đã tiếp tục suy nghĩ tìm cách mở rộng lí thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên

lí tương đối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu không quán tính Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên, và xây dựng một lí

thuyết mới mà ông gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát)

Dựa trên hai định luật: định luật vạn vật hấp dẫn của Newton 1 2

2

F r

 

 là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thư hai F  m , với m là khối lượng quán tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằng thực nghiệm là đối với mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn  và khối lượng quán tính m là như nhau:

m



là một hằng số nào đấy Người ta mở rộng tính chất cơ bản của trường hấp dẫn: tất cả các vật, không phụ thuộc vào khối lượng của chúng, chuyển động trong trường hấp dẫn đều giống nhau (với các điều kiện ban đầu cho trước) Sự đồng nhất

của khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫn đến một hệ quả sâu sắc đã được Einstein lấy làm cơ sở của lý thuyết tương đối rộng

Đó là nguyên lý tương đương:

Nguyên lý Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu không quán

tính cũng giống như trong hệ quán tính với sự có mặt của trọng trường Nói một cách khác, hệ quy chiếu không quán tính tương đương với một trọng trường (trường hấp dẫn) nào đó

Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của các vật trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một ngoại trường nào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếu không quán tính Chú ý rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính không hoàn toàn đồng nhất với các trường hấp dẫn “thực”, tồn tại ngay cả trong hệ quán tính Trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệ

4 chiều được xác định bởi:

Mặc dù biểu thức của dS là khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau, nhưng bản thân dS có giá trị không đổi, không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ, và là một bất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều Trong tất cả các hệ H (trừ hệ H0), các hiện tượng vật lí diễn ra không giống nhau như trong các hệ quán tính Theo cơ học Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn Theo thuyết tương đối rộng, đó

là do không gian 4 chiều bị cong đi Tensor G gọi là tensor metric, xác định độ cong của không gian 4 chiều tại từng điểm của nó Ở miền có trường hấp dẫn lớn thì không gian bị cong nhiều Ở miền không có trường hấp dẫn thì không gian là phẳng Ở miền có trường hấp dẫn yếu thì không gian được coi gần đúng là phẳng Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm cho các vật rơi tự do với vận tốc v<<c Theo định nghĩa đó thì không gian ở lân cận Trái Đất được coi là không gian phẳng Không gian 4 chiều phẳng bao gồm không gian 3 chiều Ơclit và thời gian trôi đều đặn như trên Trái Đất Không gian 4 chiều cong bao gồm không gian 3 chiều phi Ơclit và thời gian trôi chậm hơn Không gian 4 chiều càng cong nhiều thì hình học của nó càng khác xa hình học Ơclit, và thời gian càng chậm hơn thời gian trên Trái Đất Như vậy thuyết tương đối rộng nêu lên rằng trường hấp dẫn có tác dụng làm cho không gian 4 chiều cong đi Người ta còn gọi thuyết này là lí thuyết trường hấp dẫn tương đối tính, là một bước mở rộng lí thuyết trường hấp dẫn của Newton, có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối [8]

1.1 Metric Minkowski và Bất biến Lozentz

Một trong những phát minh quan trọng nhất của Vật lí học vào khoảng đầu thế kỉ 20 là tính chất sóng và hạt của ánh sáng, thể hiện trong luận thuyết của Planck đưa ra năm 1900 về lượng tử ánh sáng Đó chính là tiền đề cho một nguyên lý cơ bản của Cơ lượng tử- tính đối ngẫu của vật chất do De Broglie đề xướng năm 1924 nhằm tổng quát hóa ý tưởng của Planck, khẳng định rằng mọi vật thể vi mô đều tự thể hiện đồng thời với hai tính chất tương phản nhau là sóng và hạt Ánh sáng là sóng điện từ đồng thời cũng là dòng hạt photon Ta nói rằng hạt photon tương ứng với trường điện từ và các lượng tử của trường điện từ chính là các hạt photon Một cách tổng quát, bất kì một hạt vi mô nào cũng tương ứng với một trường và các lượng tử của trường này chính là các hạt đó

Mỗi trường đều được mô tả bằng một hàm ( )x phụ thuộc vào tọa độ không- thời gian x gọi là hàm trường, nói chung hàm trường có thể là hàm phức nhiều thành phần, do đó để tổng quát hóa ta viết i( ),x i1, 2, ,n (n là số thành phần)

Một trong những nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết trường nói riêng và của Vật lý học hiện đại nói chung là nguyên lý bất biến tương đối tính, khẳng định rằng mọi hệ quy chiếu diễn ra như nhau, cũng có nghĩa là các phương trình vật lý đều có dạng như nhau, trong hệ quy chiếu không- thời gian liên hệ với nhau bởi phép biến đổi Lorentz

1.1.1 Metric Minkowski

Minkowski đã đưa ra ý tưởng thống nhất không gian ba chiều thông thường

và thời gian thành không - thời gian 4 chiều Trong đó thời gian được xem là chiều thứ tư

Kí hiệu x là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian x:

 0; ;1 2; 3

x  x x x x

trong đó: x0= ct là tọa độ thời gian (c là vận tốc ánh sáng, t là thời gian)

x1; x2; x3 là các tọa độ không gian

0,1,2,3

  là các chỉ số Lorentz

Đôi khi ta còn viết: x   x x0,   trong đóx

là vector không gian 3 chiều thông thường

Để thuận tiện người ta thường dùng hệ đơn vị trong đó c=1 và hằng số Planck 1, khi đó x0  t

Tích vô hướng của hai vector x và y được định nghĩa là:

xy  x y  (1.1.1) với là tensor metric với các thành phần

đôi khi còn viết:   diag (1, 1, 1, 1)   

Ở đây, cũng như về sau ta quy ước rằng khi trong biểu thức có các chỉ số lặp lại hai lần thì lấy tổng theo các chỉ số đó Như vậy (1.1.1) phải hiểu là:

3

0 0 , 1

A  A (1.1.4)

Viết tường minh là: 0

0,

A  A Ai   Ai, i  1,2,3 (ta thường dùng các chỉ

số Hy Lạp  , cho 0, 1, 2, 3 và các chỉ số Latinh cho 1, 2, 3)

Với (1.1.4) ta viết lại (1.1.1) thành:

1,0,

Một số phép biến đổi Lorentz cơ bản:

Phép biến đổi Lorentz đồng nhất:

'

x  x   x (1.1.6) trong đó: x x x x x0; ;1 2; 3 là các tọa độ của vector 4 chiều không- thời gian

.

   

 

     (1.1.8) Nếu kí hiệu:  là ma trận 4x4 có phần tử hàng , cột  là 

x   x  a (1.1.12) trong đó thông sốa có thể nhận mọi giá trị thực tùy ý và được gọi là vector tịnh tiến

Các phép biến đổi Lorentz không đồng nhất còn được gọi là phép biến đổi Poincare’ Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det 1 thường được

kí hiệu bởi P+ Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det  1 thường được kí hiệu bởi P- Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ không chứa phép đảo tọa

độ được gọi là phép biến đổi Poincare’ riêng và được kí hiệu bởi P

Như đã biết, khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều là đại lượng bất biến đối với phép biến đổi Galilei Còn trong không- thời gian 4 chiều, khoảng cách S giữa điểm M được xác định bởi 4 vector x và điểm N được xác định bởi 4 vector y là đại lượng được định nghĩa như sau:

S là bất biến đối với phép biến đổi (1.1.12)

Nếu M và N là hai điểm vô cùng gần nhau thì (1.1.13) trở thành:

2

dS  dx dx  hay dS2  dx dx  (1.1.14) Với dS2 gọi là khoảng cực vi giữa hai điểm trong không- thời gian phẳng Minkowski

Chú ý, các phép biến đổi (1.1.12) không làm biến đổi đại lượng

 2

x  y nhưng làm biến đổi đại lượng x2

1.2 Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann

Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trình vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

 

'

x x   f  x (1.2.1) Phép biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp của (1.2.1)

1.2.1 Tensor

Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:

Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần

T    x biến đổi theo qui luật:

r r r r p

s s s p s

x x

G x  T     x S     x là một đại lượng bất biến

Một số trường hợp của tensor:

Đại lượng  ( ) x được gọi là vô hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biến với phép biến đổi (1.1.1):

'( ') x ( ) x

   (1.2.8) Đại lượng F( ) x được gọi là tensor phản biến – tensor phản biến hạng 1

nếu nó biến đổi theo quy luật:

Đại lượng G x( )được gọi là vector hiệp biến – tensor hiệp biến hạng 1 nếu

nó biến đổi theo quy luật:

1.2.2 Metric Riemann không – thời gian cong

Trong thuyết tương đối rộng, metric Minkowski , không phải là tensor Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.2.1) thay vì  ta dùng tensor metric g( ) x cũng có tính đối xứng:

g x  g x (1.2.13) biến đổi theo qui luật tensor:

(dựa theo công thức (1.2.6) ở trên)

Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

Chỉ số phản biến có thể hạ xuống thành chỉ số hiệp biến theo quy tắc:

 không phải là tensor, vì không biến đổi

theo quy luật (1.2.4)

Thật vậy: Nếu F( ) x là tensor thì:

Để tạo được tensor ta phải lập đạo hàm hiệp biến F( ) x biến đổi theo quy luật (1.2.4) Cụ thể như sau:

không phải là tensor mà được chọn sao cho F( ) x là tensor, tức là khi chuyển sang hệ tọa độ khác, ta có:

Công thức trên chính là quy luật biến đổi của liên thông Affine

Cũng hoàn toàn tương tự, đạo hàm hiệp biến:

Ta tính biểu thức của liên thông affine qua tensor metric g( ) x biến đổi

theo quy luật (1.2.14) thỏa mãn các điều kiện sau:

1, Điều kiện đối xứng:

2

(thay   , )

Đặt: R.                    

Vậy:    ,   G x( )  R. G x ( ) (1.3.4) trong đó: R.được gọi là tensor độ cong Riemann

Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:

 Tính phản xứng:

R    R  (1.3.5) Chứng minh:

Cộng vế với vế của 3 phương trình này, sau đó kết hợp tính chất đối xứng

R= R

R= R

R= R

Từ R.ta lập đại lượng:

.

R  R   g R  (1.3.12) được gọi là tensor Ricci

( ) 1

h x  (1.4.2)

và được đồng nhất với trường hấp dẫn

Chú ý h( ) x là tensor hạng 2 đối với phép biến đổi Lorentz, nhưng không phải là tensor đối với phép biến đổi tổng quát, cụ thể là h( ) x biến đổi theo quy luật:

h x    h x (1.4.5) Xuất phát từ phương trình trắc địa:

2 2

1 2

1.5 Phương trình Einstein và tác dụng bất biến

Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình học không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó như sau:

Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác dụng được định nghĩa bởi: 4

g  J g với det

'

x J

S   d x4  g L ( ,   ) mô tả trường vật chất tương tác với trường hấp dẫn

Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với tác dụng (1.5.5):