Một số quá trình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————o0o——————– TRẦN THỊ LEN MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG MÔ HÌNH CHUẨN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————o0o——————–

TRẦN THỊ LEN

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ CỦA TRƯỜNG VÔ

HƯỚNG TRONG MÔ HÌNH CHUẨN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI, 08 - 2015

LỜI NÓI ĐẦU

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu, cuối cùng tôi cũng đã hoàn thànhluận văn nghiên cứu của mình Đây là thời điểm tốt nhất tôi có dịp được bày

tỏ lòng biết ơn của mình đến thầy cô, những người thân đã giúp đỡ động viêntôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn này

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Huy Thảo,người thầy, người hướng dẫn khoa học, người định hướng nghiên cứu cho tôitrong suốt thời gian thực hiện luận văn này

Xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, các giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạtcho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiêncứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, các bạnhọc viên lớp cao học K17 – chuyên ngành Vật lí lí thuyết và vật lí toán đã tạođiều kiện thuận lợi, khích lệ, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học để tôi cóđược như ngày hôm nay

Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành, nhưng thời gian nghiên cứu có hạnnên luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được ýkiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn học viên và nhữngngười quan tâm đến đề tài này

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Học viên

Trần Thị Len

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam kết luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của tôi, đượchoàn thành dựa trên các kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoahọc của TS Nguyễn Huy Thảo Trong toàn bộ nội dung của luận văn, nhữngđiều được trình bày hoặc là của cá nhân hoặc là được tổng hợp từ nhiều nguồntài liệu Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và được trích dẫnhợp pháp Các kết quả của nghiên cứu này chưa được dùng cho bất cứ luận văncùng cấp nào khác

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Học viên

Trần Thị Len

Một số kí hiệu viết tắt

Hình 1.1 Tương tác của fermion và lý thuyết IVB

Hình 3.1 Higgs rã ra fermion

Hình 3.2 Higgs rã ra boson yếu A = W, Z

Hình 3.3 Sơ đồ đầu tiên Higgs rã ra gluon

Hình 3.4 Higgs phân rã để gluon, sơ đồ thứ hai

Hình 3.5 Higgs phân nhánh phân số và tốc độ phân hủy Higgs

Mục lục

1.1 Trường vô hương thực 4

1.1.1 Trường vô hướng thực trong biểu diễn tọa độ 4

1.1.2 Trường vô hướng thực trong biểu diễn xung lượng 5

1.2 Trường vô hướng phức 8

1.2.1 Trường vô hướng phức trong biểu diễn tọa độ 8

1.2.2 Trường vô hướng phức trong biểu diễn xung lượng 9

1.3 Trường fermion 10

1.3.1 Phương trinh Dirac và ma trận Dirac 10

1.3.2 Hình thức luận Lagrange 15

1.3.3 Phương trình fermion trong biểu diễn xung lượng 16

2 Mô hình chuẩn 20 2.1 Sắp xếp hạt của mô hình chuẩn 20

2.2 Lý thuyết trường chuẩn 22

2.2.1 Lý thuyết gause 22

2.2.2 Phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs 24

3 Một số quá trình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn 27 3.1 Quá trình rã của trường vô hướng ra fermion và phản fermion 27

3.2 Quá trình rã vô hướng ra boson yếu 28

3.3 Quá trình rã vô hướng ra các gluon 30

Kết luận 37

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Từ khi phát hiện ra phân rã β của neutron, rất nhiều nỗ lực đã được thựchiện để hiểu bản chất của tương tác yếu Tương tác này đã đi qua nhiều giaiđoạn và kiểm tra để trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh Mô hình đầu tiên cókhả năng mô tả thành công các dữ liệu thực nghiệm ở năng lượng thấp được đềnghị bởi Fermi vào năm 1934:

lý thuyết của Fermi là không thể Tiếp theo là lý thuyết vectơ Boson trung gian(IVB) Ở đây ta giả định rằng tương tác yếu là một vectơ boson trung gian,tương tự QED, nhưng trong trường hợp này nó phải là một boson khối lượnglớn

Hình 1: Tương tác của fermion và lý thuyết IVB

Lý thuyết này cũng đã không thành công Người ta có thể thấy rằng lý thuyếtnày một lần nữa vi phạm tính unita và không tái chuẩn hóa Cuối cùng, vàonăm 1967, Weinberg, Salam và Glashow [11, 12, 13] đề xuất một lý thuyết thốngnhất điện yếu, đây là lý thuyết rất phù hợp với thực nghiệm Lý thuyết này gọi

là Mô hình Chuẩn với tương tác điện yếu Đây là lý thuyết gauge dựa trên cácnhóm đối xứng SU (2)L⊗ U (1)Y với các hạt không có khối lượng [9, 10] Cùngvới tương tác mạnh, ta có nhóm SU (3)C⊗ SU (2)L⊗ U (1)Y mô tả mô hình chuẩn(SM) Cơ chế sinh khối lượng cho tất cả các hạt được gọi là cơ chế phá vỡ đốixứng tự phát (SSB - Spontaneous Symmetry Breaking)

SU (3)C⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y → SU (3)C⊗ U (1)QED

Cho đến nay mô hình này rất thành công vì dự đoán được nhiều hiện tượng

mà sau đó đều được thực nghiệm kiểm chứng với độ chính xác cao Ví dụ như

sự khám phá dòng trung hòa điện tích của lực hạt nhân yếu; ba loại quarkc, t, b;hai boson chuẩn W, Z; ba loại neutrino với khối lượng vô cùng nhỏ Đặc biệt là

sự tìm thấy hạt Higgs trong thời gian gần đây ở máy gia tốc LHC càng khẳngđịnh sự đúng đắn của mô hình này Theo mô hình chuẩn, khối lượng của vậtchất được tạo ra bởi sự tương tác của chúng với trường Higgs Khởi đầu tất

cả đều không có khối lượng, do tương tác với trường Higgs mà vật chất mangkhối lượng, nặng hay nhẹ tùy theo cường độ tương tác của chúng, càng tác độngmạnh với trường Higgs thì vật chất càng có khối lượng lớn

Với mục đích là khảo sát khối lượng của hạt vô hướng trong mô hình chuẩnnên tôi chọn đề tài: “Một số quá trình rã của trường vô hướng trong môhình chuẩn”

2 Mục đích nghiên cứu

Tính bề rộng rã của một số quá trình rã trường vô hướng trong mô hìnhchuẩn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Mô hình chuẩn

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết và vật lý toán

5 Dự kiến đóng góp của đề tài

Đề tài cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao họcchuyên nghành vật lý lý thuyết và những người quan tâm đến: “Một số quátrình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn”

Chương 1

Trường vô hướng và trường fermion

Trường vô hướng thực mô tả hạt có spin bằng 0 và không mang điện

trong đó m là khối lượng của hạt

1.1.1 Trường vô hướng thực trong biểu diễn tọa độ

Phương trình chuyển động của trường

Tµν = ∂£

∂∂ µ ϕ∂νϕ(x) − gµν£

Jµ = 0, Q = 0

1.1.2 Trường vô hướng thực trong biểu diễn xung lượng

Chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn xung lượng bằng cách khai triểnFourier [4, 5]

Đưa vào kí hiệu gián đoạn

Z

d4kδ(k2− m2)θ(−k0)e−ikxa(k)

= 1(2π)32

Z

d − → k

−ikx a(k) + 1

(2π)

3 2

Z

d − → k 2k0e

−ikx a(−k (1.10)

d − → k 2k0e

−ikx a∗(k) + 1

(2π)

3 2

Z

d − → k 2k0e

1.2 Trường vô hướng phức

Trường vô hướng phức mô tả hạt không có spin nhưng có điện tích

Lagrange của trường:

£ = ∂ µ ϕ∗(x)∂µϕ(x) − m2ϕ∗(x)ϕ(x) (1.16)1.2.1 Trường vô hướng phức trong biểu diễn tọa độ

Phương trình chuyển động của trường

1.2.2 Trường vô hướng phức trong biểu diễn xung lượngTương tự như trường vô hướng thực ở trên hàm trường có dạng:

ϕ(x) = 1

(2π)32

Z

d − → k 2ω [e

Q =

Z

d − → k 2ωe

−p02+ α1pbx2+ α2pby2+ α3pbz2+ α0mψ = 0 (1.31)

⇒ α0, α1, α2, α3 là những toán tử

Tác dụng từ phải trái phương trình (1.31) với−pd02+ α1pbx2+ α2pby2+ α3pbz2+ α0m

rồi so sánh với phương trình Klein-Gordon ta có

b

a o2 = ab12= ab22= ab32 = 1 (1.32)

ˆµˆν+ ˆ aνˆµ = 2δµν (1.33)Nếu µ 6= ν thì αµαν = −αµαν = −Iαµαν

I: ma trận đơn vị

det (αµαν) = det (−Iαµαν)

⇒ det α µ det a ν = det (−I) det α ν det a µ

Phương trình Dirac bất biến với phép biến đổi Unita

1.3.2 Hình thức luận Lagrange

£ = i2



ψ(x)γν∂νψ(x) − ∂νψ(x)γνψ(x) − mψ(x)ψ(x) (1.39)Tensor năng xung lượng:

k , r) là hàm sóng đặc trưng cho trạng thái spin của hạt.

Nghiệm ứng với năng lượng âm:

k , r)v( − →

k , s) = 0 v( − →

!β α

!β α

P0 =

Z

d − → P

E m

E m

E m

Chương 2

Mô hình chuẩn

Vật chất được tạo nên từ các yếu tố cơ bản là lepton và quark Các quark vàlepton được chia làm 3 thế hệ có cấu trúc giống nhau [10]

Các quark và lepton được gọi là fermion, chúng đều được phân thành từngcặp Ví dụ: quark được chia thành u (up) và d (down), c (charm) và s (strange),

t (top) và b (botom) Vào năm 1995, tại Fermilab, người ta đã tìm thấy bằngchứng thực nghiệm của quark cuối cùng quark t Các nhà khoa học đã chứng

tỏ các quark kết hợp thành tam tuyến để tạo ra baryon hoặc kết hợp thành cáccặp quark - phản quark để tạo ra meson Lepton cũng kết hợp thành từng cặp,các hạt electron, muon và tauon đều có một neutrino tương ứng không mangđiện, có khối lượng nhỏ Electron giống như proton và neutron, là một hạt bền

và dường như có mặt trong tất các dạng vật chất Các hạt muon và tauon khôngbền và được tìm thấy chủ yếu trong các quá trình rã

* Độ xoắn: Hình chiếu spin lên phương chuyển động:

+ Hạt có độ xoắn trái: −→s cùng phương cùng chiều với −→v

+ Hạt có độ xoắn phải: −→s cùng phương ngược chiều với −→v

Một hạt có hai trạng thái phân cực : left ψL; right ψR Lepton phân cực tráixếp vào lưỡng tuyến SU (2)L và có siêu tích điện yếu Yψ

Với a = 1, 2, 3 ( ba thế hệ lepton, quark)

Nhóm mô tả tương tác điện từ và yếu là SU (2)L ⊗ U (1)Y, do đó toán tử điệntích Q sã là tổ hợp của các vi tử SU (2)L⊗ U (1)Y Toán tử điện tích là toán tử

mô tả đại lượng bảo toàn nên Q là tổ hợp của các vi tử chéo Q = αT3+ βY

Cho lưỡng tuyến lepton có:

Q = ασ3

2 + βYψ

= α2

Do β là tham số tự do không cố định nên ta chọn β = 1 Thay giá trị của α và

Để xây dựng đạo hàm hiệp biến ta cần biểu diễn chính quy của O(n) Chúng làtensor hạng hai phản đối xứng

φij → φ0ij = φij+ ikφkj + jkφik
(2.6)Với φij = −φji Ta viết đạo hàm hiệp biến dưới dạng:

Dµφi ≡ ∂µφi+ gWµikφk (2.7)với Wµik = −Wµki

Ta đặt điều kiện Wµik biến đổi sao cho đạo hàm hiệp biến biến đổi như toán tửtrường, nghĩa là:

2.2.2 Phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs

Trường chuẩn không có khối lượng Tương tác yếu là tương tác tầm gần nên hạttruyền tương tác yếu phải có khối lượng Do vậy, ta phải tìm cách cho trườngchuẩn khối lượng Cơ chế Higgs sẽ giúp ta việc này

Ta hãy xét trường hợp đơn giản: lý thuyết chuẩn của nhóm giao hoán U(1)Lagrange toàn phần như sau [7]

L = Dµϕ∗(x) Dµϕ (x) + µ2ϕ∗(x) ϕ (x) − λ[ϕ∗(x) ϕ (x)]2− 1

4FµνF

µν (2.14)trong đó:

Dµϕ = (∂µ− igAµ) ϕ,

Fµν = ∂µAν− ∂νAµ

Lagrange trên bất biến dưới phép biến đổi định xứ:

ϕ (x) → ϕ0(x) = e−igω(x)ϕ (x) (2.15)Chú ý rằng, ở đây g là hằng số tương tác của nhóm U (1) nhưng không phải

là điện tích của trường ϕ như trong nhóm U (1)Q Dưới biến đổi (2.15) trườngchuẩn biến đổi như sau:

A0µ(x) == Aµ(x) − ∂µω (x) (2.16)Khi µ2 > 0 , thế năng:

1 2

(2.19)

Như vậy ta đã có phá vỡ đối xứng tự phát, khi mà Lagrange, phương trìnhchuyển động cả hai đều đối xứng với nhóm chuẩn G, chỉ chân không là khôngđối xứng Điều này có nghĩa là vi tử của nhómTa tác dụng lên chân không kháckhông:

Ta|0 >6= 0

Hệ quả trực tiếp: trung bình chân không của toán tử trường khác không

< 0|ϕ|0 >6= 0 Trung bình chân không của toán tử trường là giá trị của trường

cổ điển tại điểm mà Lagrange có giá trị cực tiểu:

ϕ0(x) = ϕ− < 0|ϕ|0 > (2.21)Trường ϕ là trường phức, nên ta có thể viết dưới dạng hai trường phức

Từ (2.25) ta có số hạng khối lượng của trường chuẩn Aµ

Trường ϕ02 không khối lượng Vì nó là trường Higgs giả vô hướng nên người tagọi là trường pseudo – Goldstone Trường ϕ01 có khối lượng mϕ0

1 = √ 2µ

Hình 3.1: Quá trình rã của trường vô hướng ra fermion

Biên độ rã của giản đồ này được cho bởi:

2 f

v 2 p 2 p 3 − m2f

Trong hệ quy chiếu khối tâm xung lượng bốn chiều tương đối tính được xác địnhbởi:

2

= NC2m

2 f

v 2 MH2 1 − 4m

2 f

p

4 √

sdΩCM =

1 8π 1 −

MH2

!3/2

NC là số màu; giá trị của nó là 1 cho các lepton và 3 cho các quark

H(p 1 ) → Z(p 2 )Z (p 3 ) /W(p 2 )W(p 3 ) :

Hình 3.2: Higgs rã ra boson yếu A = W, Z

v 

µ

(p2, r2) ν(p3, r3) ⇒ M†H→AA = 2M

2 A

v 2



3 + 14

MH4

MA4 − M

2 H

MH2

1 2 

3 + 14

MH4

M 4 w

−M

2 H

M 2 w



 2 

3 + 14

MH4

M 4 z

− M

2 H

M 2 z



H (p 1 ) → g (p 2 ) g (p 3 )

Giản đồ đầu tiên

Hình 3.3: Giản đồ thứ nhất Higgs rã ra gluon

Biên độ rã của giản đồ này được cho bởi:

M(1)= (−i) gs2m

v ∈aµ,r2∈bν,r3



λa2



δ0γ0



λb2



δ0γ0



λb2

Để tính tích phân, ta sẽ sử dụng phương pháp tham số hóa Feymann để đơngiản hóa các mẫu số:

1 ABC =

Biết rằng tất cả các số hạng là tuyến tính trong kµ triệt tiêu khi tích phân (kµ

là một hàm lẻ), ta có thể loại bỏ chúng từ N0µν, vì vậy còn lại là:

N0µν = 4kµkν− gµνk2+ pµ3pν2(1 − 4yz) + pµ2pν3(−1 − 4yz + 2y + 2z)

+ pµ3pν3 4z2− 2z
+ pµ2pν2 4y2− 2y
+ gµν m2− p2p3+ 2p2p3yz

Ta lấy đồng nhất vết ma trận trong không-thời gian D chiều là 4 (T r {ID} = 4).

Ta định nghĩa tích phân sau:

J D, α, β, a2
≡

Z

dDk (2π)D

k2
α(k 2 − a 2 )β

trong đó D là số chiều không-thời gian Ta có thể thấy rằng:

k2
αkµkν(k 2 − a 2 )β =

Z

dDk (2π)D

4kµkν− gµνk2(k 2 − a 2 )3 =

i 32π 2 gµν = i

#

Giản đồ thứ hai:

Hình 3.4: Giản đồ thứ hai Higgs rã ra gluon

Biên độ phân rã của giản đồ thứ hai này được cho bởi:

M(2)= (−i) gs2m

2v

a µ,r 2 bν,r3δab

Z

d4k (2π)4

T r {γµ(+m) γν(+3+ m) (−2+ m)} (k 2 − m 2 )(k − p 2 )2− m 2 

(k + p 3 )2− m 2

Vì vậy, ta thấy rằng: Iµν = Jµν, do đó biên độ của 2 giản đồ này là như nhau

M(1) = M(2); tiếp theo bình phương biên độ toàn phần được cho bởi:

pµ1 =



MH, − → 0

v 2

αsπ

p

4 √

sdΩCM =

1 16π

Ở đây đã bao gồm các hệ số đối xứng 1/2 trong tích phân trong không gian pha,

vì thời gian là lý tưởng với các hạt cùng trạng thái đồng nhất Do đó, độ rộng

rã của quá trình được cho bởi n = m2/MH2
:

Γ (H → gg) = M

3 H

8πv 2

αsπ

2

n2|D (n)|2

Các kết quả có thể biểu diễn trong hình vẽ:

Hình 3.5: Tỉ số rã theo các kênh rã khác nhau (trái) Độ rộng rã toàn phần (phải)

Qua hình vẽ ta thấy tỉ số rã ở các kênh rã higgs ra top-antitop quark, antibottom quark và ra các boson yếu là lớn, do đó đây sẽ là các kênh cần phảikhảo sát trong quá trình phát hiện Higgs trong thực nghiệm

bottom-KẾT LUẬN

Mô hình chuẩn Glashow - Salam - Weinberg là mô hình thành công nhấtcho sự thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu Trong gần 40 năm quanhiều tiên đoán của lý thuyết đã được thực nghiệm xác nhận với độ chính xácrất cao Đặc biệt, một sự kiện lớn ngày 8 tháng 10 năm 2013 hai nhà vật lýFrancois Englert và Peter Higgs đã chính thức được giải Nobel về hạt Higgs và

cơ chế sinh khối lượng cho các trường chuẩn đây là sự tôn vinh - khẳng định sựđúng đắn của mô hình chuẩn Chính vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi đãtập trung nghiên cứu các kiến thức cơ sở liên quan đến việc xây dựng mô hìnhchuẩn Cụ thế là trường vô hướng thực, trường vô hướng phức, trường fermion.Sau đó chúng tôi tìm hiểu về sự sắp xếp hạt trong mô hình chuẩn và lý thuyếttrường chuẩn

Từ các đỉnh tương tác, chúng tôi đã xác định quá trình rã của Higgs Cáctrường vô hướng tương tác trực tiếp với các hạt leptons và quarks nên các kênh

rã đó tồn tại ở bậc cây Chúng tôi đã tính bề rộng rã của Higgs ra:

– Fermion và phản fermion

– Boson yếu

– Gluon

Từ đó tính được tỉ số rã của các kênh rã

Tuy các trường vô hướng không tương tác trực tiếp với các hạt vectơ bosonkhông khối lượng nhưng chúng có tương tác thông qua đóng góp một vòng.Các kênh rã này sẽ là câu trả lời về bản chất của Higgs tìm được tại máy giatốc năng lượng cao là hạt Higgs trong mô hình vật lý nào