Tóm tắt trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn

Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ để dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn v

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN

Người hướng dẫn khoa học:PGS TS Phan Hồng Liên

Học viên: Phạm Thị Kim Thoa

Lý do chọn đề tài:

Mô hình vật lý hiện đại cho thấy có bốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu

Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tương tác yếu trong mô hình Glashow- Weinberg- Salam (lý thuyết điện yếu) Về sau, mô hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn (Standard model) [5] Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này

Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý, giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tia sáng khi đi gần Mặt Trời Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương trình trường của mình Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng số này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vài thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này

Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, em nhận thấy đề tài “ Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn ” là một vấn đề hay và thời sự nên muốn tìm hiểu, nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ để

dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng

số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số vũ trụ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann trong không-thời gian 4 chiều Minkowski Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của

Einstein và tương tác hấp dẫn

Chương 2 Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến tổng

quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp dẫn

Chương 3 Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới

những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ

Chương 1

Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trình vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa vào khái niệm tensor Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian bất biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến

Tensor

Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau:

Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần )

(

2

T  n biến đổi theo quy luật:

n







(1.2.2)

Tensor hiệp biến (Covariant) cấp n là tập hợp các thành phần 1 2 ( )

n

biến đổi theo qui luật:

n







   (1.2.3)

 

'

Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n (còn gọi là Mixed (m, n) - tensor) là tập hợp các thành phần 1 2

1 2

m( )

n

  

biến đổi theo qui luật:

' ' '



(1.2.4)

Tensor độ cong

Khác với đạo hàm bình thường, các đạo hàm hiệp biến không giao hoán với nhau, tức là:

     

         

 

Ta hãy tính giao hoán tử của các đạo hàm hiệp biến khi tác dụng lên một vectơ hiệp biến:

, G x ( ) G x ( ) G x ( )

        

  (1.3.1)

*Tính

              

              

     

             

             

     

(1.3.2)

*Tính   G x( ), tương tự ta có:

( )

              

        

            

        (1.3.3) Thay (1.3.3) và (1.3.3) vào (1.3.1) ta có:

              

              

              

              

             

             

suy ra:

, G x ( ) (   ) G (     ) G

            

               

(       )G

        

           

(thay    ,  )

                 

Vậy: , G x ( ) R G x ( )

  (1.3.4)

trong đó: R.

được gọi là tensor độ cong Riemann

Phương trình Einstein và tác dụng bất biến

Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình học không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó như sau:

Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác dụng được định nghĩa bởi: S d xL x4 ( ) cũng bất biến

Trong lý thuyết tương đối rộng thì không vậy Để xây dựng tác dụng bất biến thay vì d x4 ta phải đi tìm phần tử bất biến tương ứng

trong lý thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến L(x) ta có thể lập tác dụng bất biến dạng:

4 ( )

S   d x  g L x

Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất ( )x và trường hấp dẫn thể hiện trong metric tensor g()( ) x Einstein đã chọn L( , ) g   R L ( ,   ), vớiR L  g

Do đó tác dụng bất biến mô tả hệ trường vật chất và trường hấp dẫn như sau:

4 ( ( , )) g

với S g d x4  g R mô tả bản thân trường hấp dẫn

S d x4  g L( , ) mô tả trường vật chất tương tác với trường hấp dẫn

Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với tác dụng (1.5.5):

0

g

S S S

     (1.5.6) Kết quả là:

3

4

1

g

c

k



  





     [13] (1.5.14)

Tính  S như sau:

1 2

c



 

    [13] (1.5.15)

Như vậy phương trình trường Einstein (1916) là:

4

2

k

c



trong đó G là tensor Einstein, R tensor Ricci, R là độ cong vô hướng,

T tensor năng- xung lượng (một tập hợp các đại lượng xác định mật độ năng

lượng, mật độ xung lượng và mật độ ứng xuất)

Các tensor G và R là những hàm số của g- mô tả hình học của

không thời gian Bên trái ta có không gian cong, còn bên phải là sự phân bố vật chất

và năng lượng [6]

Các kết quả này dẫn đến kết luận rằng tính chất hình học của không thời gian được quyết định bởi trường vật chất

Qui ước lấy các hằng số c=1,   1, nhưng giữ nguyên hằng số Newton [24] thì có các phương trình Einstein là:

1

8 2

R  Rg   GT

(thay kí hiệu hằng số hấp dẫn Newton k bởi kí hiệu G)

Sau này Einstein đã sửa đổi phương trình của mình bằng việc đưa thêm vào

hằng số vũ trụ  bằng cách thay Lg   R 2 (không còn dạng Lg  R) nên phương trình dưới hình thức như sau:

8 2

R  Rg   g   GT

Đây chính là Phương trình vũ trụ Einstein (1917) Như vậy trong chương này

ta đã nghiên cứu được tổng quan về Lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein và tương tác hấp dẫn cùng với nền tảng toán học là hình học Riemann cong – là cơ sở

lý thuyết cho các tính toán ở chương sau

CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC

TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN Tetrad

Tetrad (còn gọi là Vierbein) là bộ bốn vector độc lập tuyến tính, thường được

kí hiệu là ( )a ( ) x , trong đó a được gọi là chỉ số Vierbein, nhận các giá trị 0, 1, 2, 3

Từ bây giờ ta kí hiệu các chữ cái Latin thường a, b, c… là các chỉ số Vierbein, còn các chữ cái Hi lạp   , , vẫn là các chỉ số Lorentz của không - thời gian 4 chiều

mà ta kí hiệu trong chương trước Vierbein ( )a ( ) x có các thành phần ( )a ( ) x thoả mãn điều kiện:

( )a ( ) x ( )b ( ) x ab



    (2.1.1)

trong đó ab

 là metric phẳng Minkowski:

(1, 1, 1, 1)

Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn

Từ định đề tetrad:

( ) 0

a

D q x   (2.3.1)

và cấu trúc bậc bốn, cùng các phương trình của trường hấp dẫn ta có:

1

2

1

2

h B x

h C x









Một cách tương tự cho tensor Ricci, chúng ta có:

1

2

và R h  h

     (2.3.10)

ta được:

 



 







Mặt khác, từ phương trình Einstein

1

8

2 Rg  R   T   g

mà R 4 8 T





   (2.3.12)

ta được:

( 2 ) ( ) ( )

( 2 ) ( ) ( )

B x j B x

C x j C x

  



 (2.3.13)

trong đó 1

4 2



 

 

   

Từ các phương trình (2.3.13), chúng ta có thể kết luận rằng các trường B(x)

và C(x) như là các trường vô hướng với khối lượng bình phương bằng:

2 2 2

m  m   (2.3.14)

Điều này có nghĩa rằng một trong số chúng có tính chất của hạt tachyon trong lý thuyết dây, trừ khi  0

Trong giới hạn của lý thuyết hiệu dụng trong không – thời gian phẳng, Lagrangian tương tác cho những trường này và trường hấp dẫn có thể là:

2 int

2 int

1

4 1

4









 

 





  

   

L

L

(2.3.15)

Chúng ta có thể nói rằng vấn đề được xem xét trên đây liên quan chặt chẽ đến khái niệm đối ngẫu Điều đáng lưu ý là dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn  Chúng có bản chất hấp dẫn

và một trong số chúng là tachyon ( như trong lý thuyết dây ) – hạt có bình phương khối lượng âm

CHƯƠNG III

VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ

Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ

Hằng số vũ trụ lần đầu tiên được Einstein đưa ra năm 1917 như một lực hấp dẫn để giữ cho vũ trụ ở trạng thái cân bằng tĩnh Trong Vũ trụ học hiện đại, nó là ứng cử viên hàng đầu cho năng lượng tối, gây ra gia tốc của sự mở rộng vũ trụ [22]

Có nhiều nhà vũ trụ học chủ trương phục hồi thuật ngữ hằng số vũ trụ trên cơ

sở lý thuyết Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ này với mật độ năng lượng của chân không Mật độ năng lượng của chân không vac

 được định nghĩa với

8

vac

G







 Với mật độ năng lượng này có thể so sánh với các dạng khác của vật chất trong Vũ trụ, nó sẽ đòi hỏi Vật lý mới: thêm một thuật ngữ hằng số vũ trụ có ý nghĩa sâu sắc đối với vật lý hạt và sự hiểu biết của chúng ta về các lực cơ bản của tự nhiên [26]

Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ

Bằng chứng việc quan sát vũ trụ đang gia tốc là rất mạnh mẽ, với nhiều thực nghiệm khác nhau bao gồm khoảng thời gian rất khác nhau, quy mô chiều dài, và quá trình vật lý, trong đó nếu coi vũ trụ là phẳng thì sẽ có một mật độ năng lượng khoảng 4% vật chất baryon, 23% vật chất tối, và 73% năng lượng tối (hằng số vũ trụ)

a, Vũ trụ xuất hiện trẻ hơn so với các ngôi sao lâu đời nhất

Một vũ trụ phẳng chỉ tạo bởi vật chất sẽ chỉ có khoảng 9 tỷ năm tuổi - một vấn đề lớn cho rằng đây là vài tỷ năm trẻ hơn so với các ngôi sao lâu đời nhất Mặt khác, một vũ trụ phẳng với 74% hằng số vũ trụ sẽ là khoảng 13,7 tỷ năm tuổi

Do đó, Vũ trụ phải đang gia tốc giải đã quyết được nghịch lý tuổi

b, Có quá nhiều thiên hà xa xôi

Sử dụng số lượng thiên hà giữa hai dịch chuyển đỏ như một biện pháp

đo thể tích không gian, các nhà quan sát đã đo thể tích ở xa dường như quá lớn so

với những tiên đoán về một vũ trụ giảm gia tốc Một vũ trụ gia tốc có thể giải thích những quan sát mà không viện đến bất kỳ sự tiến hóa thiên hà lạ

c, Độ phẳng quan sát được của vũ trụ mặc dù không đủ vật chất

Sử dụng các phép đo biến động nhiệt độ trong bức xạ nền vi sóng vũ trụ từ khi vũ trụ ~ 380.000 năm tuổi có thể kết luận rằng vũ trụ là không gian phẳng với một vài phần trăm

KẾT LUẬN

Các kết quả chính của luận văn:

 Đã trình bày tổng quan và có hệ thống phương trình tổng quát Einstein cùng với hình học không gian Riemann cong

 Giới thiệu hình thức luận Tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho một loại trường vô hướng hấp dẫn thỏa mãn phương trình Klein – Gordon Dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà bình phương khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn

 Chỉ ra vai trò của hằng số hấp dẫn vũ trụ trong một số lý thuyết Thu nhận được một số bằng chứng thực nghiêm giải thích sự giãn nở

vũ trụ